特别值法在高考数学解题中的应用

本文格式为Word版，下载可任意编辑——特别值法在高考数学解题中的应用摘要：文章谈了特别值法在高考数学解题中的应用。在考试中有些数学题采用一般方法很难求解，在这时可以选择代入特别值，以达到简化题目、减少思维量的效果。

主题词：数学高考特别值法简化应用

随着高考的日益邻近，各位考生进入了紧张的备战阶段，如何在短时间内使数学成绩突飞猛进成为大家关心的问题。身为一个过来人，我想把我的经验传授给大家，让大家能在高考的考场上得心应手，取得好成绩。

第一，在高考场上要放松心态，抱着一颗冲击别人的心态来考试，譬如你平日刚上重本线，可以把自己的目标定为上一个很好的二本即可，既没有超出你能力范围，又没有给你自己太大的压力，有利于考出好成绩。假使实在很紧张，还有一种很好的方法，就是在考试的前一天完全放弃看书，去亲近自然，接触自然，相信自己，给自己以良好的示意，这样你就一定能在考场上发挥出平日的水平，甚至超常发挥。

其次，在最终一个月内要确凿把握书本上的知识点，把握基本方法、基本技巧，这样即使你做不出最终一题，也能保证较高的分数。

第三，在把握了基本的知识和技巧之后你就需要一定的应试技巧来取得成功，这些技巧好多，如直接法，数行结合法，大致求解法，特别值法，等等。这里着重介绍特别值法在数学高考中的应用。

特别值法的定义：解数学题时，假使直接解原题有时难以入手，不妨先考察它的某些简单的特例，通过解答这些特例，最终达到原题的目的。这种解决数学问题的思想方法，寻常称为“特别值法〞。［１］

特别值法的理论基础：对于一般性成立的结果，特别值则一定成立，而当特别值成立时一般性的结果不一定成立。这是很简单的一个思维规律，我们可以通过显而易见的简单得出结果的特别值进行运算，得出结果再与答案相比较，选出正确答案的方法。

如：要证明（教材基础）：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

证：先证相邻对换的情形。

设排列为a…aabb…b，对换a和b，变为a…abab…b.显然，a，…，a;b，…，b这些元素的逆序数经过对换并不改变，而a，b两元素的逆序数改变为：当a＜b时，经对换后a的逆序数增加1而b的逆序数不变;当a＞b时，经对换后a的逆序数不变而b的逆序数减少1.所以排列a…aabb…b与排列a…abab…b的奇偶性不同。

再证一般对换的情形。

设排列为a…aab…bbc…c，把它当作m次相邻对换，变成a…aabb…bc…c，再做m+1次相邻对换，变成a…abb…bac…c.总之，经2m+1次相邻对换，排列a…aab…bbc…c，变成排列a…abb…bac…c，所以这两个排列的奇偶性相反。［2］

从这道证明题可以看出由一般到特别的思想和方法在数学中随处可见，所以我们要充分利用这一点，想到一般性的结论同样也适用于特别性。我们可以利用这一点来解决高考数学中的满足一般性结论的选择和填空题来达到事半功倍的效果。

第一种状况：数列问题

例1.（2023重庆卷理）设a=2，a=，b=，n∈N，则数列{b}的通项公式=b=?摇?摇?摇?摇.

由条件得b===2=2b，且b=4所以数列{b}是首项为4，公比为2的等比数列，则b=42=2.

然而假使我们在考场上没有发现b=2b，我们该怎么办呢？这时我们可以用特别值法来求解，由于a=2，由上述所给条件可得b=4，b=8，b=16，b=32，b=64，由此我们可以猜测出b=2。但假使这是道简答题怎么办呢？这时我们也可以利用猜测出的结论来引导思路。由于b的结果是等比数列，我们依照等比数列求法的一般方法即b/b来求，也可以轻易地得出答案，所以特别值法在这解题中也是十分有用的。

例2.（2023四川卷理）已知等比数列（a）中a=1，则其前3项的和S的取值范围是（）。

A.（-∞，-1］B.（-∞，0）∪（1，+∞）

C.［3，+∞）D.（-∞，-1］∪［3，+∞）

∵等比数列（a）中a=1，∴当公比为1时，a=a=a=1，S=3.当公比为-1时，a=-1，a=1，a=-1，S=-1，从而淘汰A、B、C，应选D。这样解可以俭约好多时间。

例3.在各项均为正数的等比数列（a）中，若aa=9，则loga+loga+loga+loga+…loga的值为（）。

A.12B.10C.8D.20

此题假使依照一般的计算法则loga+loga+loga+loga+…loga=logaaa…a，再求解之是十分麻烦的。此时我们可用一种巧妙的方法来解答，我们可以把公比q=1，则a=3，a=3，再代入求解会很简单得出答案。但需注意的是这种解法不能运用在简答题中。

其次种状况：三角函数问题

例4.（2023四川卷理）若0≤α≤2π，sinα＞cosα，则α的取值范围是（）。

A.，B.，πC.，D.，

∵sinα＞cosα∴sinα-cosα＞0，即2sinα-cosα=2sinα-＞0.又∵0≤α≤2π，∴-≤α-≤，∴0≤α-≤π，即x∈，，应选C.

这时假使我们用特别值法可以通过比较答案找出特别值，即将π/2，π，4π/3，3π/2直接代入即可知π/2，π满足，且4π/3时两式的值相等，由此可得正确答案为C。比按一般步骤算要快得多，且不简单出错。

第三种状况：不等式问题

例5.（2023全国文）不等式＞0的解集是（）。

A.（-2，1）B.（2，+∞）

C.（-2，1）∪（2，+∞）D.（-∞，-2）∪（1，+∞）

此题也可以用特别值法进行求解，首先通过比较代入3，此时符合题意，再带入数字0此时也符合运算结果，所以答案应选择C。我们不难发现这种方法很实用，只需观测即可得到正确的结果。

例6.（2023重庆卷理）不等式x+＞2的解集是（）。

A.（-1，0）∪（1，+∞）B.（-∞，-1）∪（0，1）

C.（-1，0）∪（0，1）D.（-∞，-1）∪（1，+∞）

此题的解法如上题，找到四个选项不同之处带入-和2，即可知道正确答案是A。

第四种状况：体积问题

例7.直三棱柱ABC-ABC的体积为V，P、Q分别为侧棱AA、CC上的点，且AP=CQ，则四棱锥B-APQC的体积为（）。

A.VB.VC.VD.V

分析：由于上、下底三角形形状未定，P、Q可移动，直接找V与V之间的关系不大便利，在此可考虑：当P趋向A，Q趋向C时，V趋向V=V=V，应选B。［１］这道题用此方法就简单好多。

数学作为一门