清华大学材料力学范钦珊主讲-第三章-弹性杆件横截面上的-正应力分析

2023年3月16日材料力学(I)返回主目录弹性杆件横截面上的正应力分析第3

章第3章

引言正应力分析方法正应力公式的应用结论与讨论弹性杆件横截面

上的正应力分析

引言第3章弹性杆件横截面

上的正应力分析1若干概念和定义2正应力分析的超静定性质3线弹性材料的物性关系

引言1.若干概念和定义应力—分布内力在一点的集度F1FnF3F2

引言

工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。

应力就是单位面积上的内力‗若干概念和定义

引言

正应力和切应力

位于截面内的应力称为“切应力”

(ShearingStress).垂直于截面的应力称为“正应力”

(NormalStress)；若干概念和定义

引言lims=FNDDA®DA0limt=FQDAD®DA0yxzP1

P2ΔADFRΔFQyΔFQzΔFN若干概念和定义

引言

线变形与剪切变形，这两种变形程度的度量分别称为“正应变”(NormalStrain)和“切应变”(ShearingStrain),分别用

和表示。

正应变与切应变若干概念和定义

引言问题：“正应变是单位长度的线变形量”？

σσxxdxτσxσxdxuu+duτβα)(直角改变量bag+==dxduxe若干概念和定义

引言2正应力分析的超静定性质

当外力已知时，可由平衡方程求得内力分量—静定问题。当内力分量已知时，只能确定应力与相关内力分量之间的关系，却无法求得各点应力—超静定问题。

引言正应力分析的超静定性质xyz

一般情形下，应力与相应内力分量关系如下：MyMzFNò-=AzxMyA)d(sò=AyxMzA)d(sò=AxxFNAds

引言正应力分析的超静定性质σxτxyτxzdAxyzMxFQyFQzòA(xzdA)y＝Mx

+ò-A(xydA)zòAxzdA＝FQzòAxydA＝FQyσxτxyτxzdA

引言正应力分析的超静定性质3.线弹性材料的物性关系exxE=sxexE=tg=Gσxεxgt=Gτγ线弹性材料的物性关系

引言胡克定律

正应力分析方法第3章弹性杆件横截面

上的正应力分析

正应力分析方法1.平面假定与变形协调方程2.应变分布与应力分布4.正应力表达式3.应用静力学方程确定待定常数

平面假定

变形

物性关系

静力方程

正应力分析方法应变分布应力分布应力公式1.平面假定与变形协调方程

考察产生正应力的最一般情形，即FN、My、Mz同时作用的情形。

正应力分析方法平面假定与变形协调方程平面假定

正应力分析方法三种位移dx平面假定与变形协调方程

正应力分析方法dxu0+du0u0FNxFNxFNxFNx平面假定与变形协调方程

正应力分析方法平面假定与变形协调方程

正应力分析方法

轴向位移du

0

绕y

轴转动

对于dx

微段，在三个内力分量作用下，两截面将保持平面，但发生三种相对位移：

绕z轴转动dydz平面假定与变形协调方程

正应力分析方法dxu0+du0u0FNxFNx平面假定与变形协调方程

正应力分析方法ud0ud=-y(dz)+z(dy)xyzdu0MyFNMz-y(dz)z(dy)平面假定与变形协调方程

正应力分析方法uudd0zydq+yzdq-=变形协调方程

根据叠加原理，横截面上任意一点(y,z)的位移，可表示为：

此即变形协调方程(CompatibilityEquationofDeformation)

。平面假定与变形协调方程

正应力分析方法2.应变分布与应力分布=udxd=xe0ezy-rz+yr

微段横截面的相对位移，亦即微段各处的变形。于是横截面上任意点处的正应变为应变分布与应力分布

正应力分析方法均为待定常数。0=ddux0e=ddxyy,rqr=ddxzzq此即横截面上各点正应变分布方程。其中应变分布应变分布与应力分布

正应力分析方法sexxE=errzyEEyEz=-+0

应力分布此即横截面上各点正应力分布方程。

胡克定律，由应变分布得到横上一点处的正应力为应变分布与应力分布

正应力分析方法3.应用静力学方程

确定待定常数

xNAAFd=òsxzAAyMd=-ò()sxyAAzMd=ò()s

将带有待定常数的应力公式代入与正应力有关的三个静力方程：

正应力分析方法应用静力学方程

确定待定常数整理后得到EAESESFzzyyN()()()err011-+=ESEIEIMzzzyzyz()()()err011-+-=11ESEIEIMyyzzyyy()()()err0-+=

正应力分析方法应用静力学方程

确定待定常数其中

SzASyAyAzA==òòdd,

静矩IzAIyAyAzA==òò22dd,惯性矩IyzAyzA=òd

惯性积zyEAESESFzyN()()()err011-+=ESEIEIMzzzyzyz()()()err011-+-=ESEIEIMyyzzyyy()()()err011-+=

正应力分析方法应用静力学方程

确定待定常数zyEAESESFNzy()()()err011-+=ESEIEIMzzzyzyz()()()err011-+-=ESEIEIMyyzzyyy()()()err011-+=Sy=Sz=0,Iyz=0

若将坐标原点选在形心处，且y轴和z轴均为主轴，则有

正应力分析方法应用静力学方程

确定待定常数zyEAESESFNzy()()()err011-+=ESEIEIMzzzyzyz()()()err011-+-=ESEIEIMyyzzyyy()()()err011-+=于是，得到待定常数

1=MEIyyy,r

1=MEIzzzr

这三个常数分别表示FN、My、Mz

引起的微段变形程度0=EA,eFN

正应力分析方法应用静力学方程

确定待定常数4.正应力表达式sxFNA=yyMzI+zzMyI-

正应力分析方法正应力表达式

正应力公式的

应用第3章弹性杆件横截面

上的正应力分析

正应力公式的应用4.关于中性轴的概念3.应用举例2.几种特例1.公式中各项正负号的确定第一种办法：由FN、My、Mz的正负号确定。

第二种办法：

根据FN、My、Mz的实际方向及其在所求应力点引起的正应力之拉、压性质确定。

xyzMy+_Mz+_Nx__1.公式中各项正负号确定

正应力公式的应用公式中各项正负号确定2.几种特例MMyz==0FNx¹0,sxFNxA

轴向拉伸或压缩

正应力公式的应用几种特例

平面弯曲My=0,FN=0，Mz=0zMzW,sxmax=sxzMyzI=-，

正应力公式的应用几种特例平面弯曲Mz=0,FN=0，My=0yMyW,sxmax=yMzyI=xs，

正应力公式的应用几种特例

yMzyI=xssxzMyzI=-zMzW,sxmax=yMyW,sxmax=

其中Wy和Wz

分别称为横截面对于y轴和z轴的“弯曲截面系数”（SectionModulusinBending)

平面弯曲

正应力公式的应用几种特例

斜弯曲FN=0，My=0Mz0,=sxyyMzI=-

x,max=WyMy＋WzMz)(zzMyI+，

正应力公式的应用几种特例

偏心载荷

纵向载荷作用线平行于杆件的轴线，但不重合，这种载荷称为偏心载荷。

正应力公式的应用几种特例应用举例例题一已知：矩形截面梁截面宽度b、高度h、长度l，外载荷FP1和FP2求：根部截面上的最大正应力3.应用举例

正应力公式的应用应用举例例题一A、B二点应力最大MMsmax+=+WWyyzz)smax(-=-+MWMWyyzz

正应力公式的应用？应用举例例题一

对于圆截面，上述公式是否正确

正应力公式的应用应用举例例题二已知：外加载荷FP以及横截面尺寸

求：

ABED截面上四个角点上的正应力

正应力公式的应用应用举例例题二确定截面上的内力分量两种方法

正应力公式的应用应用举例例题二sx=yMzyI+zMyzI-应力平面FNA-

正应力公式的应用3.关于中性轴的概念关于中性轴的概念中性轴横截面上正应力为零的点连成的直线

正应力公式的应用中性轴的位置关于中性轴的概念

正应力公式的应用

平面弯曲：中性层、中性轴；加载方向与中性轴之间的关系。关于中性轴的概念

正应力公式的应用关于中性轴的概念斜弯曲：中性轴位置；加载方向与中性轴之间的关系。

正应力公式的应用

偏心载荷：有没有中性轴；是否通过截面形心。关于中性轴的概念

正应力公式的应用结论与讨论第3章弹性杆件横截面

上的正应力分析

关于应力分析的结论

应力的概念，确定应力的超静定性质，以及由此而产生的分析应力的基本方法。结论与讨论结论

应力分析中，重要的是要确定应力分布规律，在此基础上即可由静力学平衡方程确定各点的应力表达式。1．几点结论结论

为了确定横截面上的内力分量，可以有两种方法：关于外力的简化与内力分量的确定结论与讨论在截面的形心和形心主轴处建立Oxyz坐标系，然后将一般外力向坐标轴投影、取矩，进而由平衡求得内力分量。

Oy)先在指定截面处截开(假想的，并建立xz坐标，再将作用在截面一侧的外力，向另一侧面上的坐标分别投影或取矩，即得该截面上的内力分量。结论结论与讨论2.几点讨论

关于公式的适用范围

直杆与曲杆的变形、