人教版-概率与排列教学大全

排列、组合和概率

1本单元重、难点分析

本单元重点知识有排列与组合、二项式系数、等

可能性事件、互斥事件、对立事件与相互独立事件等

概念；排列数与组合数公式，二项式定理及其通项公

式洛类事件的概率计算公式，•组合数的性质及二项

式系数的性质等.求解排列组合问题的重要方法有

分类求和、逆向思考冼选后排、特元优先、捆绑法、

插空法、枚举法及二项展开式中的赋值法等.

本单元难点是关于排列、组合与概率的应用问

题、二项式定理的应用、含排列数或组合数的证明或

求解等.

学好本单元知识，对解决一些实际问题的计算

以及对进一步学习概率与统计等内容有重要作用.

2典型例题选讲

例某届世界乒乓球锦标赛男单决赛在中国选

手甲、乙两人之间进行，比赛采用“七局四胜制，（即

比赛不超过七局，先胜四局者获胜且比赛结束），每

局比赛相互独立.

I）如果本场决赛在打完第7局后结束且甲获得

冠军，求第I局至第7局中：

①甲4胜3负的不同排列有多少种？

②甲在4胜3负的不同排列中，至少3局连胜

的情况有多少种？

③乙在3胜4负的不同排列中，恰有2局连胜

的概率是多少？

2）设每局比赛甲胜乙的概率为当乙

5

连胜前4局而获得冠军的概率恰为p=I-I4X4-

X时,求X.

3）如果每局比赛甲胜乙的概率为高，求:

①乙先胜第I局后甲连胜4局而获得冠军的概

率;

②本场比赛在打完第6局后结束且甲获得冠军

的概率；

③甲获本场比赛冠军的概率.

讲解I）即前6局打成3：3平，第7局甲胜，所

以

①甲4胜3负的排列，即为甲在前6局中3胜

（3负）的不同排列，故有C=20种.

②因为甲4局连胜的情况只有I种，而恰有3

局连胜的情况可分两类：前3局连胜有123局，234

局，345局共3种；后3局连胜即567局连胜时前面

胜的一局有I,2,3共3种可能,所以至少3局连胜

的情况共有I+3+3=7种一

③［解法1］乙在前6局中3局获胜的情况共有

C种，而恰有2局连胜的情况由枚举法可得12种,

123

故由等可能性事件的概率公式得

［解法2］乙在前6局中3局获胜的情况共有心

种，而恰有2局连胜可看成3个负局形成的4个空

档上插入2个不同元素(把连胜的2局捆绑成I个

大胜局)，故有4种插法，所以p=.

［解法3］“恰有2局连胜”的事件A的对立事件

彳为“3局连胜”或“无2局连胜"易得F(A)=

4+(423

=y，A)=I-P(A)=y.

2）甲胜乙的概率为Y,则乙胜甲的概率为I-

故乙连胜前4局而获得冠军的概率为（I-X）4.

由（I-X）4=I-14/4-X=>I-CX+d--

C/+=I-I4d+x4=>5X34-3x2-2x=0（x

HO）=>5x2+3x-2=0=>=春或不=-I/

2

04P(A)《I,，x=—.

3)因为每局比赛相互独立,且甲胜乙的概率为

q,所以

②易知，前5局中甲3胜2於且第6局甲胜，记

此事件为父，前5局中甲3胜2负的事件为％,则

3rf3】叶3〕阿3

P(AJ=p(As)*y=—[-—•—=

I，LJ

648

3125-

③设打完第k局(k=4,5工〃)结束且甲获得冠军

的事件为上狈卜甲获得冠军，的事件A包含四个互斥

事件儿，人,儿，A一所以P(A)=P(儿+&+'+

3r

4)=P(儿)+P(As)+P(+P(AJ=y+

-vf3],2]2]3

…彳T.彳+

iyk.

3s23__11097

7=I5625■

说明本例第I）小题包含排列、组合与等可能

性事件的概率.首先要注意题设中隐含“前6局3：3

平且第7局甲胜”的条件，,其次应注意求胜负情况的

排列种数是组合问题，•另外，为避免重复与遗漏，用

分类求和的方法较好.

第2）小题在解方程时，用二项式定理展开后求

解，并注意任何事件发生的概率p€[O,l].

第3）小题应注意把甲的每局比赛看成概率为

高的一次独立试验.第③问应把“甲获本场比赛冠

军”的事件分解成4个互斥事件的和.

3容易产生的错误

I）含有排列数4或组合数U的式子求值或

求解方程或不等式时，常容易忽略"0（Y《。且xW

N（的隐含条件，从而导致增解；或忘记C；=u1"的

性质而造成漏解，•或不注意使用阶乘形式的排列数

与组合数公式而得出错解.

2）解排列组合应用题时，因不注意分类讨论或

考虑不周，容易产生计数重复与遗漏的错误.

3）对于二项展开式，常混淆“二次式系数”与展

开式的系数的概念而导致错误；也容易在（。-b）n

型的展开式中出现符号错误，•使用通项公式T…=

<2；尸解题时，不注意在“0（r《黄且N•的隐

含条件下对T进行完整的讨论而得出错解，如在含

无理式的二项展开式中研究有理项时，容易遗漏字

母指数为余整数或0的情况等.

4）求概率时，由于不能正确判断事件的性质（类

型），而错用公式;特别在用公式Pn（k）（I-

p）~'解题时，容易把此公式错误地写成H=

dp"-p）’或匕（灯=p'（l-p）….

4自测题

选择题

I.若C：=且3C1'=II•C9则Y+y的

值为()

(A)20.(B)5.(C)I5.(D)0.

2一将一张100元的人民币换零成恰含有5元、

10元20元三种面额的人民币若干张，则不同的换

法有()

(A)I5种一(B)I6种.

(C)I7种.(D)I8种.

3.将两个骰子一先一后抛掷，则向上的点数之

和不小于4且不大于10的概率为()

5237

(A)—.(B)—.(C)—.(D)—.

DJJII

2QQ4

4一将2x-y展开并按x的降累排列，则

wJ

其中第I002项的系数与第I004项的二项式系数之

比为()

(A)4.(B)-4.(C).(D)-Y-

5.已知对于一次试验中的任意两个事件A和

B,P(A+B)=P(A)+P(B)-AB)总成立.若一

次试验中，事件A,B发生的概率分别为P(A)=

f,P(B)=彳,贝ljP(AB)一定满足()

(A)P{AB)=9

(B)P(AB)

4

(C)5(P(AB)<y.

i3

(D)彳(P(AB)<—.

6.已知P={-2,-1,0/,2},Q={I,2,3,4,

5},集合A,B各含3个元素，且AcP,BUQ,An

BH0,则这样的A,B有()

(A)27对.(B)81对.

(C)72对.(D)63对.

填空题

7.甲口袋有3个红球2个黑球，乙口袋有4个

红球3个黑球，从每个口袋中各摸出I个球，则摸出

的两球同色的概率为.

8.在+活)皿的展开式中，系数是有理数

的项的项数等于.

9.A,B,C,D四个小岛恰位于一个正方形的四

个顶点，计划沿正方形的边或对角线建3座桥把这

四个小岛连起来，但最多只能有一座桥建在对角线

上，则不同的建桥方案有种（用数字作答）.

解答题

I0.已知f（x）=（I+X4-，）'♦（I-x）g,

I）求/（Y）的展开式中十项的系数；

2）设丫）=%•*■%x+&，+…x",求

a2+北+&+…+-的值.

I一甲、乙两人投篮，每次进球的概率分别为告

和小，若两人各投球3次，求甲比乙恰多进I个球的

概率.

12.在用0,1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字

的七位数中，

I）偶数有多少个?

2）个位上的数比十位上的数大的数有多少个?

3）千位（中间位）上的数最大，从百万位（最高

位）到千位上的数依次增大，而千位到个位上的数依

次减小，这样的数有多少个？

4）数字3和4相邻，且5和6不相邻的数有多

少个？

自测题解答与提示

选择题ABABCD.

1.由C：-'有意义知y；由U=C；”=>y=

2ysJiy+2y=X—>y—0(舍^)或^Y=3y,由3C21=

11•Ci"'=>3jvJ=[[•cyj=►

3,(3y)/_II•(3y)?0

(11)7-(2y-I)!一(y-I)!-(2y+I)!

3II,

KT2y(2尸1)Qy=5"l5,，…二

20.

2.易知每种换法中，20元币的张数x与10元

币的张数y确定后，5元币的张数也随之而定，因为

三种币各至少有1张，所以X可取I,2,3,4,而y可

取I,2,3,4,5,6,7.①当x=I时，y可取I,2,3,4,

5,6,7,有7种换法，,②当x=2时”可取I,2,3,4,

5，有5种换法，,③当x=3时，y可取I,2,3,有3种

换法；④当"4时，y只能取I,有I种换法.故共

有7+5+3+[=16种换法.

3.因为每个骰子向上点数有6种情况，所以先

后抛掷两个骰子时向上点数的不同结果有6x6=

36种.设“向上点数之和不小于4且不大于【0”的事

件为A,则[表示“向上点数之和为2和3或II或

12"，易知A中包含的结果共有I+2+2+1=6种.

因为试验中，每种结果是等可能的，所以P(A)=

JD

I-5

=—=>P(A)=I-P(A)=—.

DD

6.■.P(AB)表示A与B同时发生的概率,

।3

P{AB)<P(A)=—RP(AB)<P(B)=­=>

P(AB)《g.又由于P(A4-B)=P(A)+P(B)-

P{AB)=Y-P(AB)，而04P(A+B)(I0<

Y-P(AB)<I

P{AB)<1，综上得《<P{AB)<y.

6.ADBH0,，人口8={1,2}或{1}或

{2}.①当APB={I,2}时，A,B有C；♦C；=9对；

②当AnB={l}时，A,B有c♦c-ci•ci=27

对；③当APIB={2}时，A,B同样有27对A,B

共有9+27+27=63对.

7.£因摸出两个红球的概率为p,=yx

=X

摸出两个黑球的概率为P2~|~~T'='

所以摸出两球同色的概率p=抄+pz=!|.

8.17.因丁…=G'QQJ)*严-'•逸)’=

[2.一九3："；吗|”-'，其中0《r《lOO且r€N.

易知，当且仅当r=6k,0《k416且AWN时，丁…

的系数是有理数，故这样的项共17个.

9.12如图1,3座桥的建AD

法即在正方形的四条边和两条/[

对角线共6条线段中选满足题

设条件的3条的选法：当3座桥//

都建在正方形边上时，有C种,C

当有I座桥建在一条对角线上图।第9题解答图

时《另2座桥不能与该对角线构

成三角形)，有-2)种，故建桥方案共有C+

(：；♦(C-2)=I2种.

注本鹿也可用间接法计算.<-4-4=12.

10.1)--y(x)=(1+x+X2)4,(I-x)g

=(1-d大”-"

=(I-d『+…)(I-dx+df

，小项的系数为lx(-C)+(-Cxl)=

-14.

27

2)/(x)=劭+处x+a2x+4-A|7x

=(I4-x+x2)4(I-x)q.

--/(I)=的+0|4。2+••-+0]?=0,

/(-[)=的_0,\4--•---0|?=2.

两式相加,得

2(劭+即+&+…+=29.

又<%=/(0J=I,

。2+。4+&4…+。16=255.

11.甲、乙各投球3次，可看成甲和乙的3次独

立重复试验，记他们命中〃次(k=0,1,2,3)的事件

分别为AE和BE，则上与BE相互独立且

r]kf2〕…

P[AJ=c/—2>1-y,

JJ

3f33■上

P《BO=C；-I--.

、JIJ

而“甲恰比乙多进l个球”的事件C包含A氏，

A2团,小B2三个互斥事件，