高中数学不等式证高考考点解析及例题辅导

不等式的证明

高考要求：

1.通过复习不等式的性质及常用的证明方法（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）,

使学生较灵活的运用常规方法（即通性通法）证明不等式的有关问题；

2.掌握用“分析法”证明不等式；理解反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等

式的步骤及应用范围.

3.搞清分析法证题的理论依据，掌握分析法的证题格式和要求,搞清各种证明方法的理

论依据和具体证明方法和步骤.

4,通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不

等式的能力；能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题.

知识点归纳；

不等式的证明方法

（1）比较法:作差比较：A<B

作差比较的步骤：

①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差.

②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和，

③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.

注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小.

（2）综合法：由因导果.

（3）分析法：执果索因,基本步骤：要证……只需证……，只需证……

①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件.

②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法

寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达.

（4）反证法：正难则反.

（5）放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.

放缩法的方法有:

①添加或舍去一些项,如：4a2+1>|a|+1)>n；

②将分子或分母放大(或缩小)

③利用基本不等式,

如：Iog31g5<=igV15<lgV16=lg4；

/(「、,〃+(〃+1)

+1)<-----------

④利用常用结论:

I、Jk+1-yfk=]---产<—产；

■Jk+1+-Jk2ylic

111

-7<----=------r>----=——（程度大）

k2k(k-Dk-\kk2k(k+l)k左+1

__<_____—___________——(__________)（程度小）

k2k2-i~(A:-1)(A:+1)-2k-1k+\

一（6）换谡^换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的

换元有三角换元和代数换元,如：

Ei^Ox2+y2=a2,可设x=acose,y=asin。；

已知x2+y2<1,可设x=rcos0,y-rsin^（0<r<1）；

22

已知二~+斗-=1,可设x=〃cos6,y=bsinC；

ah

厂2y2

已知一7——r=l，可设x=asec&y=AtanC；

ab.

(7)构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式：

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式

的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各

种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点.

数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中专门研究.

题型讲解:

例1若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将

这一事实用数学关系式反映出来，并证明之,

分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念(糖水加糖甜更甜)可知

aa+in,,，、，、、

—<-------(b>a>0,m>0).

bb+m

a/74"/??

解：由题意得一<——(h>a>^m>0).

bb+m

证法一：(比较法)竺n+竺/??—巴ab(a+m)—a(b+m)_m(b—a)

b+mbb(b+m)b(b+m)

,//?>4?>0,m>0,.\b-a>0,b+m>0,

b(Jb+m)b+mb

证法二：(放缩法)

'：h>a>0且〃2>0,

a_a(h+m)a+m

b<

bb(b+m)b+mb+m

证法三：（数形结合法）如图，在RtAABC及RtAADF中,

AB=a,AC=b,BD=m,作CE〃BD.

\ABCs\ADF,

aa+ma+ma+m

—=-------<-------=------.

bh+CFb+CEh+m

例2已知a,bdR,且a+b=l,

求证：［+2)2+3+2『2日.

证法一：(比较法)

va,beR,a+b==l-a

7250

.\(a+2y9+(b+2)-—=a2+b2+4(a+b)-^

=a2+(1-a)2+4——=2a2—2a+—=2(a——)2>0

222

n5i

即1+2)2+(b+2)22万(当且仅当a=b=5时，取等号).

证法二：(分析法)

2525

(a+2)2+(B+2)2>—<=a2+b2+4(a+b)+8>—

b=\—a

27251

a2+(l-a)2+4+8>—<=(a——)72>0

I22

因为显然成立，所以原不等式成立.

点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件.

证法三：(综合法)由上分析法逆推获证(略).

25

证法四：(反证法)假设(4+2)2+(b+2)2〈巴，

2

25

贝ij。~。+4(。+Z?)+8<.

由a+b=l,得b=1—a,于是有ci~+(1—Q)~+12<—1

2

1.

所以3—一）2<0,

2

这与（a—3）20矛盾.

所以1+2）2+（0+2）22日.

证法五：（放缩法）'：a+b=\

.•.左边=（4+2）2+伍+2）222（a+2）；（b+2）

=；［（4+匕）+41=右边.

点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=l这个特点，选用基本不等式

证法六：(均值换元法)-：a+b=i,

所以可设。=—Ft>h=----1,

22

左边=(a+2)+(/?+2)-=(―+/+2)~+(—―t+2)~

当且仅当t=0时，等号成立.

点评：形如a+b=l结构式的条件，一般可以采用均值换元.

证法七：（利用•元二次方程根的判别式法）

设y=(a+2产+(b+2产,

Q2

由a+b=l,有y=(+2)2+(3一_2a_2〃+13,

所以2〃--2cL+13—y=0,

25

因为QWR,所以△=4一4・2・(13-丁)20,即

故［+2)2+0+2)22日.

例3设实数x,y满足y+x2=0,0<a<L求证：log^(ax+ay)<log2+

w8

证明：(分析法)要证log/。"+〃)')<log42+L

8

I

xy

・.・0<。<1,只要证：a+a>2aif

_________x+y

X•/a'+a'>ax+a'=2a2,

I

.•.只需证：ax+y>a<

.,・只需证x+y<；,

即证/一x+120,此式显然成立.

4

，原不等式成立.

例4设m等于同，网和1中最大的一个，当国>加0寸，求证：-+4<2.

分析：本题的关键是将题设条件中的文字语言“m等于同，网和1中最大的一个”翻译

为符号语言“小2同，m>|/?|,m>1从而知讨>加之时.

证明：（综合法）,.,卜|>机2时，凶>加2网,上|>〃?21.

ab/db巴+叫<x\Ixl2

—+-<—+=2.

XXXXW2

x

例5已知/(x)=——(x-1).

x+1

(1)求/1(x)的单调区间；

(2)求证：x>y>0,有/(x+y)</(x)+/(y).

2

(3)若”2>}>0,。=-------，求证：/(fl)+/(c)>-.

(a-h)h5

解：(1)对已知函数进行降次分项变形，得/(x)=l———

X+1

/(X)在区间(­℃,-1)和(-1,+8)上分别单调递增

X

(2)V/(x)=——-(x^-1).

x+1

xyxy+xy-\-x+y

••/w+/(y)=—r+^-7=------r

x+1y+1xy+x+y+1

孙+x+y,,、

>-----L-=f(xy+x+y)

孙+x+y+1

而肛+x+y>x+y,由⑴/旷(肛+x+y)>/(x+y),

■■-f(x)+f(y)>f(x+y)

,1

(3)va~>b>0,c=-------,

(a-b)b

：.c=——>——=-4>0,

(a-b)ba-h-^h2Q~

.■.a2+c>a2+-^>4..•./(/)+/(c)>f(a2+c)>/(4)=^.

a5

点评：函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新，是既考知识又考能力的好

题型，在高考备考中有较高的训练价值

小结:

1.掌握好不等式的证明，不等式的证明内容甚广，证明不但用到不等式的性质，不等

式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面,如与数列的结合，与“二次曲

线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次函数”这

“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约，这些也是近年命题的重点.

2.在不等式证明中还要注意数学方法，如比较法（包括比差和比商）、分析法、综合法、

反证法、数学归纳法等，还要注意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类讨论等.

3,比较法是证明不等式最常用最基本的方法,当欲证的不等式两端是多项式或分式时，常

用差值比较法,当欲证的不等式两端是乘积的形式或塞指不等式时常用商值比较法，即欲证

a>b,（a>0,b>0）可证@>1

b

4基本思想、基本方法：

⑴用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本方法.

⑵用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的

一种重要的数学思想方法.

⑶“分析法”证明不等式就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断利用充分条件

或者充要条件替换前面的不等式，直至找到显然成立的不等式，书写方法习惯上用“U”

来表达,分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是：

正难则反原则：若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题

的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯.

简单化原则：寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较

复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式

*

⑷凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法.

⑸换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三

角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题.

⑹含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时.，这

时可考虑判别式法，并注意根的取值范围和题目的限制条件.

⑺有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢,

注意放缩适度.

练习：

1.设〃求证：be2-\-ca~+ab2<b2c+c2a-^-a2b.

证明：be2+ca2+/-(b2c+c2a^-a2b)

=bc(c-。)+ca(a-c)+ab(b-Q)

=hc(c—b)+ca[(a-h)+(h-c)]+ab(b-a)

=(a-b)(b-c)(c-a)

a>b>c,则。一。〉0,b-c>0,c—。<0,

「・(a-b)(b-c)(c-a)<0.

故原不等式成立.

点评：(1)三元因式分解因式，可以排列成一个元的降慕形式：

b(r+C6Z2+akr-(b2c+c2a+«2/?)=c2(/?-df)+c(a-+/?)+ab(h-a)

(2)用比较法证不等式，关键在于作差(或商)后结式了进行变形，常见的变形是通分、

因式分解或配方.

2.己知。，瓦C都是正数，月”,"C成等比数列，

求证：Cl~+/?2+L>(Q—/7+C)2.

证明：a2+b24-c2-(a-b+c)2=2(ab+bc-ac)

•・・。也C成等比数列，・•・/=4C.

va.b.c都是正数，0<%=4ac<"+'<a+c.

2

.\a+c>b,

「・2(ab-\-bc-ac)=2(ab+bc-b2)=2b(a+c-b)>0.

/.a2+/72+c2>(a-b+c)2.

点评：两边相减能消去一部分、两边相除能约去一部分是运用比较法的外部特征，除了

通分、因式分解或配方法，局部运用基本不等式，也是用比较法证不等式时的一种常用手段

*

3.己知函数/(x)=x2+ax+b,当p,q满足p+q=l时，证明：

pfM+qf(y)>/(px+qy)对于任意实数都成立的充要条件是0<p<1・

证明：pf(x)+qf\y)-f(px+qy).

=p(l-p)x2+q(l-q)y2-2pqxy

=p(l-p)(x-y)2

(1)若OWpWl,贝iJp(l-p)2O,

•••p(l-p)(x-y)2>0,pf(x)+qf(y)>f(px+qy)

(2)^pf(x)+qf(y)>f(px+qy)^,p(l-p)(x—»20,

v(x-y)2>0,r.p(l-p)>O,/.O<p<l

故原命题成立.

4.比较与llog"(l+x)l的大小.(其中0<x<l)

解：gg7卜降产1=阳7一吐刈=-*口>0(比差)

|怆4llgal

5.设〃，瓦CE[0,2],证明4〃+/?2+c2>2ab+2bc+2ca

证明：/(a)=(44-be-2b-2c)a+h2+c2-2bc

/(0)=(/?-c)2>0,f(2)=(b-2)2+(c-2)2>0

/.4tz+&2+c2>lab+2bc+2ca

6«已知为正数，且满足4+b+c=l,〃2+/+。2=],

证明:」^cWO

3

证明：Q+Z?+c=I,。2+〃+c2=1二Q+Z?=\—c,a.b=c2—c

.•・构造方程/+(c-l)x+c2-c=0,则该方程有两个正根

c2-c>0

<1-c>0--<c<0

223

A=(1-C)-4(C-C)>0

7.若0<。<1,0<8<1,,求证Qb与(1一a)(l-b)不能都大于

4

证明：假设ab,(1—a)(1—b)都大于一

4

贝ij«fe(l-a)(l-fe)>-5-又0<〃(1-〃)4,，0<。(1-8)4工

1644

通过y=—/+x,0<x<1的值域有。/?(1-。)(1一人)<—

16

这与cib(\—(2)(1—/?)>—矛盾

16

因此，",(1-a)(l-/?)不可能都大于,

4

33

8.已知:a+b=2z^<iiE：a+b<2

证明：假设a+b>2则b>2-a

a3+b3>a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-l)2+2>2

与已知相矛盾,所以,a+bW2,

9,求证：1+-!-+-!-++........+—<2

2!3!n!

1^n-dr1]

证明：1+,+'++....+—<1+-+^;-+•■■+--=1+-2----2<2

2!3!22~2"T1

n\1---

2

求证L+士-+…+-L<1

2232«2

11

证明：.+H-------F<+TF------+…+------------

2232n21x22x33x4〃(71一1)

,11111.

-<1

223n-\nn

11。求证：]+__|L—.+