理论力学－第4章

第2篇工程运动学基础理论力学第2篇工程运动学基础工程运动学涉及工程运动分析的基本的概念、基本理论和基本方法。这些内容不仅是工程运动学的基础，而且也是工程动力学(dynamics)的基础。运动学的研究对象是点和刚体。工程运动学的分析方法主要是矢量方法。第2篇工程运动学基础第6章运动分析基础

运动学（kinematics）研究物体在空间的位置随时间的变化，即物体的运动，但是不涉及引起运动的原因。物体的运动都是相对的，因此研究物体的运动必须指明参考体和参考系。物体运动的位移、速度和加速度都是矢量，因此研究运动学采用矢量方法。而且，一般情形下，这些矢量的大小和方向会随着时间的变化而变化，因而称为变矢量。变矢量运算与常矢量有相同之处，也有不同之处。这是学习运动学的难点。第6章运动分析基础点的运动学刚体的简单运动结论与讨论第6章运动分析基础点的运动学返回第6章运动分析基础点的运动学

参考系

位矢、速度和加速度点的运动学

参考系点的运动学

参考系根据运动的相对性，研究物体的运动，必须选取另一个物体作为参考，这一物体称为参考体(referencebody)，与参考体固连的坐标系称为参考系(referencesystem)。参考体总是一个大小有限的物体，而参考系则应理解为与参考体固连的整个坐标空间。例如，若以地球作为参考体，研究行星的运动，对于所研究的行星而言，地球是遥远而不可及的，但是与地球固连的参考系却可以延伸到所研究的行星处。点的运动学

位矢、速度和加速度点的运动学

位矢、速度和加速度点(point)的运动主要有直线运动（rectilinearmotion）和曲线运动（curvilinearmotion）两种形式。后者又有平面曲线和空间曲线之分。

曲线运动——最一般的情形为三维变速曲线运动点的运动学

位矢、速度和加速度点的运动学

位矢、速度和加速度

曲线运动——最一般的情形为三维变速曲线运动xzyO考察定参考系中，沿空间曲线运动的点P

。自坐标原点O向点P作矢量r，称为点P对于原点O的位置矢量（positionvector），简称位矢。当点P运动时，位矢r也随该点一起运动，且为时间t的单值函数：rr´rr=r(t)P描述点的运动的矢量法因此，位矢为变矢量。

r=r(t)

则是用变矢量表示的点的运动方程。点P在运动过程中，其位置矢量的端点描绘出一条连续曲线，称为位矢端图(hodographofpositionvector)。显然，位矢端图就是点P的运动轨迹（trajectory）。PP´点的运动学

位矢、速度和加速度xzyOr(t)r(t＋t)rvt瞬时:矢径r(t)

r(t)＝r(t＋t)－r(t)点在

t

瞬时的速度

t

时间间隔内矢径的改变量,称为点的位移t＋

t

瞬时:矢径r(t＋

t)

或r(t)＋

r(t)描述点的运动的矢量法在时间间隔Δt内，点由位置P运动到其方向沿轨迹切线方向，指向点的运动方向。PP´点的运动学

位矢、速度和加速度t

瞬时:速度v(t)

v(t)＝v

(t＋

t)－v(t)点在t

瞬时的加速度：

t

时间间隔内速度的改变量v´t＋

t

瞬时:速度v(t＋

t)

或v(t)＋

v(t)xzyO描述点的运动的矢量法显然，速度v和加速度a也都是变矢量。r´P´v´vPrv点的运动学

位矢、速度和加速度xzyOyxzjikravP不受约束的点在空间有

3个自由度，在直角坐标系中，点在空间的位置由3个方程确定：x=f1(t)y=f2(t)z=f3(t)描述点的运动的直角坐标法点的运动学

位矢、速度和加速度xzyOyxzjikravP将矢径表示成考虑到在Oxyz定参考系中，i、j、k均为常矢量描述点的运动的直角坐标法点的速度为：点的运动学

位矢、速度和加速度xzyOyxzrav描述点的运动的直角坐标法P

点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的一阶导数。点的运动学

位矢、速度和加速度xzyOyxzrav描述点的运动的直角坐标法P

点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的二阶导数。点的运动学

位矢、速度和加速度如果已知点的轨迹，则可在轨迹上任取一点为原点，运动的点P至原点的弧长s＝OP，并且规定：原点O的某一侧弧长为正；另一侧为负。这种具有确定正负号的弧长s称为P点的弧坐标(arccoordinateofadirectedcurve)。弧坐标s完全确定了动点P在轨迹上的位置。点运动时，其弧坐标随时间而变化：这就是动点P的弧坐标形式的运动方程。描述点的运动的弧坐标法点的运动学

位矢、速度和加速度弧坐标具有以下要素：1.有坐标原点(一般在轨迹上任选一参考点作为坐标原点)；2.有正、负方向(一般以点的运动方向作为正向)；3.有相应的坐标系。描述点的运动的弧坐标法点的运动学

位矢、速度和加速度弧坐标中的速度表示点的速度在切线轴上的投影等于弧坐标对时间的一阶导数。点的运动学

位矢、速度和加速度几点讨论若则，即点沿着s+的方向运动；反之点沿着s－的方向运动；中

v和分别表示速度的大小与方向。点的运动学

位矢、速度和加速度根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式弧坐标中的加速度表示点的运动学

位矢、速度和加速度弧坐标中的加速度表示点的运动学

位矢、速度和加速度n´´当0时，

的极限方向垂直于，亦即n方向。弧坐标中的加速度表示PsP'点的运动学

位矢、速度和加速度

当0时，

的极限方向垂直于，亦即n方向。弧坐标中的加速度表示点的运动学

位矢、速度和加速度弧坐标中的加速度表示点的运动学

位矢、速度和加速度弧坐标中的加速度表示－切向加速度－法向加速度点的运动学

位矢、速度和加速度几点讨论切向加速度表示速度矢量大小的变化率；法向加速度表示速度矢量方向的变化率；点的运动学

位矢、速度和加速度例题1椭圆规机构描述点的运动的直角坐标法点的运动学

位矢、速度和加速度求：P点的运动方程、速度、加速度。例题1椭圆规机构求：P点的运动方程、速度、加速度。描述点的运动的直角坐标法1.建立固定参考系Oxy；2.将所考察的点置于坐标系中的一般位置；3.根据已知的约束条件列写点的运动方程。点的运动学

位矢、速度和加速度例题1描述点的运动的直角坐标法P点的运动方程：从中消去t得到P点的轨迹方程1.建立固定参考系Oxy；2.将所考察的点置于坐标系中的一般位置；3.根据已知的约束条件列写点的运动方程。点的运动学

位矢、速度和加速度例题1描述点的运动的直角坐标法P点的运动方程：P点的速度：P点的加速度：点的运动学

位矢、速度和加速度例题1几点讨论:1.建立运动方程时，一定要将所考察的点置于坐标系中的一般位置：对于直线坐标，位于坐标轴的正向；对于直角坐标系，位于坐标系的第一象限。2.关于P点运动的性质：何时作加速度运动？何时作减速度运动？这一问题请同学们自己研究。点的运动学

位矢、速度和加速度例题2半径为R的圆盘沿直线轨道无滑动地滚动（纯滚动），设圆盘在铅垂面内运动，且轮心A的速度为v0(t)

1．分析圆盘边缘一点M的运动，并求当M点与地面接触时的速度和加速度以及M点运动到最高处时，轨迹的曲率半径；

2．讨论当轮心的速度为常数时，轮边缘上各点的速度和加速度分布。Rv0A点的运动学

位矢、速度和加速度M例题2于是M点的运动方程为：解：1.建立坐标系Oxy取点M所在的一个最低位置为原点O，设在任意时刻t圆盘的转过的角度为CAM＝，为时间t的函数，C是圆盘与轨道的接触点，由于圆盘作纯滚动，所以：点的运动学

位矢、速度和加速度点M的速度分量为：加速度分量为：于是M点的运动方程为：Ma点的运动学

位矢、速度和加速度例题2解：

2．建立和与圆盘中心A点的速度v0(t)之间的关系将其对t

求一次导数，可得aMa点的运动学

位矢、速度和加速度例题2因为圆盘沿直线轨道作纯滚动，故轮心A点作水平直线运动，所以有再对t求一次导数，可得这对于沿直线轨迹滚动的物体都是正确的。引入

则有Ma点的运动学

位矢、速度和加速度例题2Ma即轮上M点的速度大小与M点到C点（轮上与地面接触点）的距离成正比。其方向由下式确定：M点的速度大小为点的运动学

位矢、速度和加速度解：

2．建立和与圆盘中心A点的速度v0(t)之间的关系例题2于是，纯滚动时轮上各点的速度如图所示。v

MC当=0和=2时，M点与地面接触，此时M点的速度为零。从图中的几何关系可以证明：任意点的速度矢量垂直于滚动时轮与地面接触点的连线，即，Ma点的运动学

位矢、速度和加速度例题2加速度可由式

求得

由此可见，当M点与地面接触时，其加速度的大小不等于零，方向垂直于地面向上。该加速度是点M在此瞬时的切向加速度，因为此时速度为零，故其法向加速度为零。点的运动学

位矢、速度和加速度例题2Ma这时M点的速度为v=2v0，于是，轨迹在最高处的曲率半径为：

3．确定M点的轨迹在最高点处的曲率半径

M点轨迹在最高点处的切线方向与i同向；曲线向下弯曲，所以主法线方向与－j同向。于是，法向加速度的大小为：由于当=时，M点的速度和加速度分别为：点的运动学

位矢、速度和加速度例题2

4.讨论：若v0为常矢量，则为常量，故，此时由式M点加速度大小恒为：M点加速度的方向由下式确定：根据式点的运动学

位矢、速度和加速度例题2所以，这时轮缘上M点的加速度方向均指向轮心A，如图中所示，此时的加速度既非切向加速度，也非法向加速度，而是这两种加速度的矢量和。不过请注意，若v0不为常矢量，则加速度方向并不指向轮心。点的运动学

位矢、速度和加速度例题2刚体的简单运动返回第6章运动分析基础

平移

定轴转动刚体的简单运动

平移刚体的简单运动

平移刚体的简单运动根据平移的定义，rAB为常矢量，

刚体运动时，其上任意直线永远平行于其初始位置，这种运动称为刚体的平行移动（translation）,简称平移或平动。在平移刚体内任选两点A、B，令点A、B的矢径分别为rA和rB

，则两条矢端曲线就是这两点的轨迹。

平移刚体的简单运动平移时，同一瞬时，刚体上各点的速度相同，各点的加速度也相同。因此刚体平移时，可以用刚体上任一点（例如质心）的运动表示刚体的运动。于是，研究平移刚体的运动可归结为研究点的运动。根据平移的定义，为常矢量，

平移刚体的简单运动平移的实例

平移刚体的简单运动平移的实例平移的特点

刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹；

刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度和加速度；

刚体平移时的运动分析可以简化为其上任意一点(一般取为质心)的运动分析.

平移刚体的简单运动例题3

平移刚体的简单运动已知：O1A＝O2B

＝l；O1A杆的角速度和角加速度a。求：C点的运动轨迹、速度和加速度例题3

平移刚体的简单运动

平移刚体的简单运动解：板运动过程中，其上任意直线始终平行于它的初始位置。因此，板作平移。1.运动轨迹

C点的运动轨迹与A、B两点的运动轨迹形状相同，即以O点为圆心l为半径的圆弧线。而不是以O1点为圆心、或以O3点为圆心的圆弧。例题3

平移刚体的简单运动解：板运动过程中，其上任意直线始终平行于它的初始位置。因此，板作平移。2.速度vC=vA=

vB=

l例题3

平移刚体的简单运动解：板运动过程中，其上任意直线始终平行于它的初始位置。因此，板作平移。3.加速度例题3

平移刚体的简单运动需要注意的是：虽然平板上各点的运动轨迹均为圆，但是，平板并不作转动，而是作平面曲线平移。由此，在分析中，需要注意刚体运动与刚体上点的运动的区别。例题3

定轴转动刚体的简单运动

定轴转动刚体的简单运动刚体运动时，若其上（或其扩展部分）有一条直线始终保持不动，则称这种运动为定轴转动（fixed－axisrotation）。这条固定的直线称为转轴。轴线上各点的速度和加速度均恒为零，其它各点均围绕轴线作圆周运动。电机转子、机床主轴、传动轴等的运动都是定轴转动的例子。

定轴转动刚体的简单运动如果研究位于定系中的平面刚体绕垂直于纸面的轴O（图上未示出的轴z）转动，则取与刚体固结并通过轴O的任意直线OP，以OP与定坐标轴Ox之间的夹角为坐标。于是，转角随时间t的变化描述了刚体的运动，由此得到刚体定轴转动的运动方程为：定轴转动刚体xyOP若已知转动方程单位rad/s工程中常用单位：

n=转/分(r/min)则n与w的关系为:

定轴转动刚体的简单运动定轴转动刚体PxyOvPaPaPnaP

定轴转动刚体的简单运动刚体定轴转动时，其上各点的速度和加速度与点到转轴的距离成正比。用矢量表示角速度与角加速度考察三维定轴转动刚体角速度矢量、角加速度矢量

定轴转动刚体的简单运动k用矢量表示角速度与角加速度

定轴转动刚体的简单运动若刚体加速转动，则与同向。用矢量表示角速度与角加速度若减速转动，则与反向。

定轴转动刚体的简单运动考察三维定轴转动刚体用矢积表示刚体上点的速度与加速度

定轴转动刚体的简单运动用矢积表示刚体上点的速度与加速度

定轴转动刚体的简单运动定轴转动刚体上某一点的加速度由两部分组成，即切向加速度与法向加速度。泊松公式动系O1xyz

绕

z轴转动，角速度为，基矢量为(i，j，k)

定轴转动刚体的简单运动考察三维定轴转动刚体考察三维定轴转动刚体动系O1xyz绕z轴转动OxyzyxzO1ijkP1P2P3wvP1vP3vP2单位向量：i,j

,k角速度：

定轴转动

刚体的简单运动泊松公式结论与讨论返回第4章运动分析基础结论与讨论描述点运动的三种方法比较点的运动学应用的两类问题速度、加速度的标量表示与矢量表示的重要区别刚体简单运动分析中要注意的问题结论与讨论描述点运动的三种方法比较变矢量法－结果简明，具有概括性，且与坐标选择无关。对于实际问题需将变矢量及其导数表示成标量及其导数的形式。直角坐标法－实际问题中，一种广泛应用的方法。弧坐标法－应用于运动轨迹已知的情形，其最大特点是将速度矢量大小的变化率和方向变化率区分开来，使得数学表达式的含义更加清晰。结论与讨论描述点运动的三种方法比较结论与讨论点的运动学的两类应用问题第一类问题：已知运动轨迹，确定速度与加速度；给定约束条件，确定运动轨迹、速度、加速度。第二类问题：已知加速度以及运动的初始条件，确定速度和运动轨迹－第一类问题的反运算。结论与讨论点的运动学应用的两类问题结论与讨论速度