高三物理第一轮考点解析复习题1

万有引力定律及应用（内容分析）

基础知识

开普勒运动定律

⑴开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳

处在所有椭圆的一个焦点上.

⑵开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相

等的时间内扫过的面积相等.

⑶开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期

的二次方的比值都相等.

二.万有引力定律

⑴内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大

小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比.

（2）公式:F=G为鲁淇中G=6.67xlO-"N.//kg2,称为为有引力恒量。

r

（3）适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物

体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时

r应为两物体重心间的距离.对于均匀的球体,r是两球心间的距离.

注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界

中最普遍的规律之一，式中引力恒量G的物理意义是：G在数值上

等于质量均为1千克的两个质点相距1米时相互作用的万有引力.

三、万有引力和重力

重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随

地球自转时需要向心力.重力实际上是万有引力的一个分力.另一个

分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，由于纬度的变

化，物体做圆周运动的向心力F向不断变化，因而表面物体的重力随

纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化，从赤道到两

极逐渐增大.通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者

相等，即m2g=G膂，g=GM/“常用来计算星球表面重力加速度的大

r

小，在地球的同一纬度处，g随物体离地面高度的增大而减小，即

22

gh=GM/(r+h),比较得gh=(―=)*g

r+h

在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和m2g刚好在一条

直线上，则有

F=F向+m2g，

所以m2g=F—F向=6吗^—nhRaJ

r

因地球目转角速度很小G»-»H12R3自2,所以m2g=6警

rr

假设地球自转加快，即3自变大，由m2g=G詈—HhR3自2

知物体的重力将变小，当G为鲁F2R3J时-，m2g=0,此时

‘仁。犷"

地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度3自

悟,比现在地球自转角速度要大得多.

四.天体表面重力加速度问题

设天体表面重力加速度为g,天体半径为R,由mg=G等得g=G!，由

此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为&=冬*整

g：R；%

五.天体质量和密度的计算

原理：天体对它的卫星（或行星）的引力就是卫星绕天体做匀速

圆周运动的向心力.

G萼=mHr,由此可得：M=^

r2T2G\

行星的半径）

由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r及运

行周期T,就可以算出天体的质量M.若知道行星的半径则可得行星

的密度

规律方法

1、万有引力定律的基本应用

【例1】如图所示，在一个半径为R、质量为M的均匀球体中，紧贴

球的边缘挖去一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心

连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？

分析把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对

质点的引力之和，即可得解.

解完整的均质球体对球外质点m的引力F=G需.

这个引力可以看成是：m挖去球穴后的剩余部分对质点的引力R与半

径为R/2的小球对质点的引力F2之和，即

7

F=F,+F2.因半径为R/2的小球质量M为

MmMm

G---------------==GG--------------

{d-R/2）28（J-/?/2）

所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力

MmCMm7d2-8dR+2/?2

F、=F—F2=GGMm

d28（d-R/2）28J2（＜/-/?/2）2

说明(1)有部分同学认为，如果先设法求出挖去球穴后的重心位

置，然后把剩余部分的质量集中于这个重心上，应用万有引力公式求

解.这是不正确的.万有引力存在于宇宙间任何两个物体之间，但计

算万有引力的简单公式尸=G等却只能适用于两个质点或均匀球体，

挖去球穴后的剩余部分已不再是均匀球了，不能直接使用这个公式计

算引力.

(2)如果题中的球穴挖在大球的正中央，根据同样

道理可得剩余部分对球外质点m的引力

「门L门MmMin八M，nmM/8「7Mm

=F-F2=G-G=G—r-G-——=G———

△d2（疗8d2

上式表明，一个均质球壳对球外质点的引力跟把球壳的质量(7M/8)

集中于球心时对质点的引力一样.

【例2】某物体在地面上受到的重力为160N,将它放置在卫星中，

在卫星以加速度a=%g随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中

的支持物的相互压力为90N时，求此时卫星距地球表面有多远？(地

球半径R=6.4X10：!km,g取10m/s2)

解析：设此时火箭上升到离地球表面的高度为h,火箭上物体受到的

支持力为N,物体受到的重力为mg；据牛顿第二定律.N-mg，=ina

①

在h高处G湍r……②在地球表面处mg=G^

③

把②③代入①得N=/%+mah=92x

104km.

说明:在本问题中，牢记基本思路，一是万有引力提供向心力，二是重

力约等于万有引力.

【例3】有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已

知该单摆在海平面处的周期是To。当气球停在某一高度时，测得该

单摆周期为T。求该气球此时离海平面的高度h。把地球看作质量均

匀分布的半径为R的球体。

解析：根据单摆周期公式：7"。=2万得7=2%4其中1是单摆长度，

g。和g分别是两地点的重力加速度。根据万有引力公式得

8。=6勺,8=6」^,其中6是引力常数，M是地球质量。

R2(R+h)2

由以上各式解得〃

VO)

［例4］登月火箭关闭发动机在离月球表面112km的空中沿圆形轨

道运动，周期是120.5min,月球的半径是1740km,根据这组数据计算

月球的质量和平均密度.

解析：设月球半径为R,月球质量为M,月球密度为p,登月火箭轨

道离月球表面为h,运动周期为T,火箭质量为m,由GMm/r2=m47r2r/T2

得M=4兀2r3/(GT2),p=M/V,其中V=4TT2R3/3,则F«2r=m47r2

(R+h)/T2,F『GMm/(R+h)2,火箭沿轨道运行时有F产F向，即

GMm/(R+h)2=m4兀2(R+h)/T2

故M=4兀2(R+h)3/(GT2)M.2X1022kg,P=3M/4TTR3=3.26X103kg/m3

［例5］已知火星上大气压是地球的1/200.火星直径约为球直径的

一半，地球平均密度P地=5.5Xl（）3kg/m3,火星平均密度p火=4X

lOSkg/n?.试求火星上大气质量与地球大气质量之比.

分析包围天体的大气被吸向天体的力.就是作用在整个天体表面

（把它看成平面时）的大气压力.利用万有引力算出火星上和地球上

的重力加速度之比，即可算出它们的大气质量之比.

解设火星和地球上的大气质量、重力加速度分别为m火、g火、m地、

g地，火星和地球上的大气压分别为。火=也孥,P地=餐,据万有引力

4感（4砒

公式，火星和地球上的重力加速度分别为g火=G笄，

八nl

K火

g地式中M火火,A/地=［温^地综合上述二式得

空=殳.维,组=J_x4纪=3.4x10-3

机地产地R火P火20024

【例6】一个宇航员在半径为R的星球上以初速度V。竖直上抛一物体,

经ts后物体落回宇航员手中.为了使沿星球表面抛出的物体不再落

回星球表面，抛出时的速度至少为多少？

解析：物体抛出后，受恒定的星球引力作用，做匀减速运动，遵循着

在地面上竖直上抛时的同样规律.设星球对物体产生的“重力加速度”

为gx,则由竖直上抛运动的公式得■也.为使物体抛出后不

再落回星球表面，应使它所受到的星球引力正好等于物体所需的向心

力，即成为卫星发射了出去。得”底7=严这

个速度即是这个星球上发射卫星的第一宇宙速度。

【例7］在“勇气”号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火

星表面上，再经过多次弹跳才停下来。

假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h,速

度方向是水平的，速度大小为Vo,求它第二次落到火星表面时速度的

大小，计算时不计大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道半径为r,

周期为T。火星可视为半径为r。的均匀球体。

分析：第一次落到火星表面弹起在竖直方向相当于竖直上抛，在最高

点由于只有水平速度故将做平抛运动，第二次落到火星表面时速度应

按平抛处理。无论是竖直上抛还是平抛的计算，均要知道火星表面的

重力加速度g。利用火星的一个卫星的相关数据可以求出

解：设火星的一个卫星质量为明任一物体的质量为1，在火星表面

的重力加速度为g-火星的质量为M。

任一物体在火星表面有：G/……①火星的卫星应满

足：G等=«狗,.……②

2/

第一次落到火星表面弹起在竖直方向满足：V1=2gh……③

第二次落到火星表面时速度应按平抛处理：广府焉……④

由以上4式可解得v=

2、讨论天体运动规律的基本思路

基本方法：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有

引力提供。

［例8］2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与

东经98°的经线在同一平面内.若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近

似为东经98°和北纬a=40°,已知地球半径R、地球自转周期T,地球

表面重力加速度g（视为常数）和光速c,试求该同步卫星发出的微

波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符

动的角速度3与地球自转的角速度相等，有3=2兀/「因G驾=〃陪,

R2

得GM-gR2.

设嘉峪关到同步卫星的距离为L,如图所示，由余弦定律得:

L=工户+R2-2r/?cosa

所求的时间为t=L/c.

【例9］在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行

星称为双星。它们在相互的万有引力作用下间距保

持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运

动。如果双星间距为L,质量分别为Ml和M2,试计算：(1)双星

的轨道半径；(2)双星的运行周期；(3)双星的线速度。

解析：因为双星受到同样大小的万有引力作用，且保持距离不变，绕

同一圆心做匀速圆周运动，所以具有周期、频率和角速度均相同；而

轨道半径、线速度不同的特点。

(1)根据万有引力定律尸=必°2&=肛0242及L=%+R,

(2)同理,还有G堂=笆用公

所以，周期为T端—E扁扁

(3)根据线速度公式匕=坦=",,一P2=^=M,

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T2、乂必+%)2T+Af2)

【例10］兴趣小组成员共同协作，完成了下面的两个实验：①当飞

船停留在距X星球一定高度的P点时，正对着X星球发射一个激光

脉冲，经时间ti后收到反射回来的信号，此时观察X星球的视角为

9,如图所示.②当飞船在X星球表面着陆后，把一个弹射器固定

在星球表面上，竖直向上弹射一个小球，经测定小球从弹射到落回的

时间为t2.

已知用上述弹射器在地球上做同样实验时，小球在空中运动的时

间为t,又已知地球表面重力加速度为g,万有引力常量为G,光速

为c,地球和X星球的自转以及它们对物体的大气阻力均可不计，试

根据以上信息，求：

(1)X星球的半径R；(2)X星球的质量M；(3)X星球的第一宇

宙速度V；

(4)在X星球发射的卫星的最小周期T.

解析：(1)由题设中图示可知：

(R+ct1)sine=R,

(2)在X星球上以v0竖直上抛t2=也，在地球上以V。竖直上抛：t

g'

_2v/tD%-Mm.M-R气-gfc%sin2e

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2

ghRG4Gz2(l-sin61)