雅可比矩阵(完整版)实用资料

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雅可比矩阵雅可比矩阵（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）维基百科，自由的百科全书跳转到：导航,搜索在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。还有，在代数几何中，代数曲线的雅可比量表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代数群，曲线可以嵌入其中。它们全部都以数学家卡尔·雅可比命名；英文雅可比量"Jacobian"可以发音为[jaˈkobiən]或者[ʤəˈkobiən]。目录[隐藏]1雅可比矩阵1.1例子1.2在动力系统中2雅可比行列式2.1例子3参看4外部连接[编辑]雅可比矩阵雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于多元函数的导数。假设F:Rn→Rm是一个从欧式n维空间转换到欧式m维空间的函数。这个函数由m个实函数组成:y1(x1,...,xn),...,ym(x1,...,xn).这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个m行n列的矩阵，这就是所谓的雅可比矩阵：此矩阵表示为：，或者这个矩阵的第i行是由梯度函数的转置yi(i=1,...,m)表示的如果p是Rn中的一点，F在p点可微分，那么在这一点的导数由JF(p)给出(这是求该点导数最简便的方法)。在此情况下，由F(p)描述的线性算子即接近点p的F的最优线性逼近，x逼近与p[编辑]例子由球坐标系到直角坐标系的转化由F函数给出:R×[0,π]×[0,2π]→R3此坐标变换的雅可比矩阵是R4的f函数:其雅可比矩阵为:此例子说明雅可比矩阵不一定为方矩阵。[编辑]在动力系统中考虑形为x'=F(x)的动力系统，F:Rn→Rn。如果F(x0)=0，那么x0是一个驻点。系统接近驻点时的表现通常可以从JF(x0)的特征值来决定。[编辑]雅可比行列式如果m=n，那么F是从n维空间到n维空间的函数，且它的雅可比矩阵是一个方块矩阵。于是我们可以取它的行列式，称为雅可比行列式。在某个给定点的雅可比行列式提供了F在接近该点时的表现的重要信息。例如，如果连续可微函数F在p点的雅可比行列式不是零，那么它在该点附近具有反函数。这称为反函数定理。更进一步，如果p点的雅可比行列式是正数，则F在p点的取向不变；如果是负数，则F的取向相反。而从雅可比行列式的绝对值，就可以知道函数F在p点的缩放因子；这就是为什么它出现在换元积分法中。[编辑]例子设有函数F:R3→R3，其分量为：则它的雅可比行列式为：从中我们可以看到，当x1和x2同号时，F的取向相反；该函数处处具有反函数，除了在x1=0和x2=0时以外。矩阵的初等行变换与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：1.互换矩阵两行的位置（对换变换）；2.用非0常数遍乘矩阵的某一行（倍乘变换）；3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行（倍加变换）上。二、阶梯形矩阵满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵1.各个非0行（元素不全为0的元素）的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大；2.如果矩阵有0行，0行在矩阵的最下方。例如重要定理一任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。例题注意：一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一例如：三、矩阵的秩矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A）或r(A)例如下列矩阵的秩分别为2、3、4、、例题求矩阵秩及秩()解所以，秩(A)=3所以，可以证明：对于任意矩阵A，；矩阵的秩是唯一的。问题：矩阵：的秩等于4？对否，为什么？满秩矩阵（非奇异矩阵、非退化矩阵）设A是n阶矩阵，若秩(A)=n，则称A为满秩矩阵（非奇异矩阵、非退化矩阵）重要定理二定理9.2任何满秩矩阵都能经过初等行变换化成单位矩阵。例3阶矩阵A的秩：秩(A)=3，所以A是满秩矩阵。练习P329,练习9.54.设解：对A进行初等行变换，化为阶梯形矩阵矩阵的初等变换与应用0922021241078一、矩阵概念线性方程组系数的解取决于系数常数项线性方程组的系数与常数项按原位置可排为这就是矩阵。矩阵的定义由m×n个数排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵。记作这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数称为矩阵A的（i,j）元。以数为（i,j）元的矩阵可记作或，m×n矩阵A也记作元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩称为复矩阵。行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵.n阶矩阵A也记作只有一行的矩阵称为行矩阵，又称行向量。只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量。注意：1.矩阵是数表，行列式是由其元素经适当定义一种运算而得到的数。2.矩阵中行数与列数可以相等，也可以不相等。而行列式中的行数与列数必须相等。两个矩阵的行数相等，列数也相等时，就称它们为同型矩阵。如果与是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即那么就称矩阵A与矩阵B相等。记作A=B。元素都是零的元素称为零矩阵，记作0。二、矩阵的初等变换的定义1.定义矩阵的初等变换：下面的三种变换称为矩阵的初等变换(1；.（换行或换列）(2；（数）（倍行或倍列）(3；..（倍行加或倍列加）2.矩阵与等价：经过有限次的初等变换变成.记作.（1）等价的性质：反身性；对称性若，则；传递性若，则.（2）任何矩阵都等价于一个标准形矩阵,即．即存在有限个初等矩阵,使.且矩阵的等价标准形惟一确定.（3）行阶梯矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全是零；每个台阶只有一行，台阶数为非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元.例如上述两矩阵均为行阶梯矩阵.（4）行最简形矩阵：非零行的非零首元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为零的行阶梯矩阵.为行最简形矩阵.例1求所给矩阵A的行阶梯矩阵、行最简形矩阵以及等价标准型矩阵.（行阶梯矩阵）.（行最简形矩阵）（等价标准型矩阵）3.初等矩阵的概念（1）定义初等矩阵：由单位矩阵只经过一次初等变换得到的方阵.①或均对应初等方阵:②或均对应初等矩阵:③或均对应初等矩阵:（2）初等矩阵行列式的性质.重要结论：初等矩阵是可逆矩阵，且逆矩阵仍然是初等矩阵.(3初等矩阵的逆矩阵①;②,;③.(4初等矩阵的转置也是初等矩阵.①;②,;③.4.矩阵初等变换的重要性质【性质1】设A是一个的矩阵，对A实施一次初等行(列变换，相当于在A的左边(右边乘以相应的阶（阶）初等矩阵.【性质2】方阵可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵，使得，即.【定理】设与为矩阵，则①存在阶可逆矩阵,使.②存在阶可逆矩阵,使.③分别存在、阶可逆矩阵、,使.5.用初等变换求逆矩阵或解矩阵方程的方法①若可逆,则也可逆,于是存在初等矩阵,使，又即，所以,用分块矩阵运算表示为..②用初等变换求解矩阵方程，求解线性方程组(1解矩阵方程，其中可逆，则即.(2解线性方程组，其中可逆.则，即.(3解矩阵方程，其中可逆，则即.【定理6】矩阵方程有解的充要条件是.例2设，求线性方程组的解.解设.因为，所以可逆，且，即线性方程组都有惟一解，且解依次为.3.矩阵的秩（1）定义矩阵的阶子式：在矩阵中，任取行与列，位于这些行列相交处的个元素，按原相对位置构成的阶行列式.（）.的阶子式共有个.例3矩阵的阶子式：(11阶子式如：：,共有个.(22阶子式如：：,共有个.（2）定义矩阵的秩——设矩阵中有一个非零的阶子式,而且所有阶子式(如果存在的话值全为，则称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵的秩,记作,即.注：①零矩阵的秩规定为.②的最高阶非零子式称为矩阵的秩子式.例4显然矩阵的秩为；.(3矩阵秩的性质①.（结论显然成立）②若可逆,则（也称非奇异矩阵或满秩矩阵）.此时.若不可逆,，即方阵是降秩矩阵（也称为奇异矩阵）.此时有(注意：降秩与满秩矩阵都是对方阵而言的③.④初等变换不改变矩阵的秩,即，其中为初等矩阵.若均可逆,则.若,则.⑤.⑥.⑦若,则.结论：①将一个矩阵左乘一个列满秩矩阵时，其秩不变.②将一个矩阵右乘一个行满秩矩阵时，其秩不变.③矩阵的初等行变换不改变秩子式的列位置；矩阵的初等列变换不改变秩子式的行位置.二、例题1、解方程.解因为，且，故方程的解为.2、设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（）（Ａ）.（Ｂ）.（Ｃ）（Ｄ）.【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得，而，则有.故应选（Ｂ）.3、设n维向量；E为n阶单位矩阵，矩阵，，其中的逆矩阵为B，则a=______.【分析】这里为n阶矩阵，而为数，直接通过进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】由题设，有====,于是有，即，解得由于.4、设三阶矩阵，若的伴随矩阵的秩为1，则必有(.(A或.(B或.(Cab且.(Dab且.【分析】的伴随矩阵的秩为1,说明的秩为2，由此可确定a,b应满足的条件.【详解】根据与其伴随矩阵*秩之间的关系知，，故有，即有或.当时，显然,故必有且.应选(C.5、设阶矩阵与等价,则必有((A当时,.(B当时,.(C当时,.(D当时,.【分析】利用矩阵与等价的充要条件:立即可得.【详解】因为当时,,又与等价,故,即,故选(D.用矩阵的初等变换求逆矩阵一、问题提出在前面我们以学习了用公式求逆矩阵，但当矩阵A的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？（饿了再吃）二、求逆矩阵方法的推导（“润物细无声”“化抽象为自然”）我们已学习了矩阵初等变换的性质，如1.定理2.4对mxn矩阵A，施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。3.定理2.5的推论A可逆的充要条件为A可表为若干初等矩阵之积。即4.推论A可逆，则A可由初等行变换化为单位矩阵。（1）由矩阵初等变换的这些性质可知，若A可逆，构造分块矩阵(A︱E，其中E为与A同阶的单位矩阵，那么（2）由（1）式代入（2）式左边，上式说明分块矩阵(A︱E经过初等行变换，原来A的位置变换为单位阵E，原来E的位置变换为我们所要求的,即三，讲解例题1.求逆矩阵方法的应用之一例解：四，知识拓展2．求逆矩阵方法的应用之二利用矩阵的初等行变换也可以判断一个矩阵是否可逆，即分块矩阵(A︱E经过初等行变换，原来A的位置不能变换为单位阵E，那么A不可逆。例解：而上面分块矩阵的第一块第二行全为零，它不可能变换为单位矩阵，所以A不可逆。3．求逆矩阵方法的应用之三利用矩阵初等行变换解矩阵方程（“润物细无声”）对一般的矩阵方程求解，我们可以先求，然后求X＝B。现在我们介绍另外一种方法求矩阵方程。其实在推导求逆矩阵方法的过程就是求解矩阵方程的过程，因为求就是求解矩阵方程的解，而对一般的矩阵方程只要将中的E换成B，然后利用初等行变换，即其中的B即为所求矩阵方程的X。例解：求逆矩阵的方法与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换（由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A的行列式值和它的伴随矩阵.当A的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换的定义.）定义2.13矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：(1)将矩阵中某两行对换位置；(2)将某一行遍乘一个非零常数k；(3)将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至另一行.并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换.矩阵A经过初等行变换后变为B，用ABij表示，并称矩阵B与Aijiji（下面我们把）第行和第j行的对换变换，简记为“，”；把第行遍乘k倍的倍乘变换，简记为“k”；第j行的k倍加至第行上的倍加变换，简记为“+k”.iji①，②例如，矩阵A=①，②③k③k②+①k②+①k（关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材）二、运用初等行变换求逆矩阵由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n阶可逆矩阵A，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I，那么用一系列同样的初等行变换作用到单位阵I上，就可以把I化成.因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A的右边写上一个同阶的单位矩阵I，构成一个n2n矩阵(A,I)，用初等行变换将左半部分的A化成单位矩阵I，与此同时，右半部分的I就被化成了.即(A,I)(I,)例1设矩阵A=求逆矩阵.解因为②+①(-1)=3\*GB3③+①(-2)[②+①(-1)=3\*GB3③+①(-2)①+=3\*GB3③(-1)②①+=3\*GB3③(-1)②+=3\*GB3③(-1)=1\*GB3①+=2\*GB3②②(1/2)=3\*GB3③+=2\*GB3②所以=所求逆矩阵是否正确，可以通过计算乘积矩阵A进行验证.如果A=I成立，则正确，否则不正确.对给定的n阶矩阵A，用上述方法也可以判断A是否可逆.即在对矩阵[A,I]进行初等行变换的过程中，如果[A,I]中的左边的方阵出现零行，说明矩阵A是奇异的，即，可以判定A不可逆；如果[A,I]中的左边的方阵被化成了单位阵I，说明A是非奇异的，可以判定A是可逆的，而且这个单位矩阵I右边的方阵就是A的逆矩阵，它是由单位矩阵I经过同样的初等行变换得到的.例2设矩阵A=，问A是否可逆？解因为[A,I]=[A,I]中的左边的矩阵A经过初等行变换后出现零行，所以矩阵A是奇异的，A不可逆.（下面利用矩阵求逆运算求解矩阵方程.）例3解矩阵方程AX=B，其中A=，B=解[思路]如果矩阵A可逆，则在矩阵方程AX=B等号的两边同时左乘，可得AX=B，X=B因此，先用初等行变换法判别A是否可逆，若可逆，则求出，然后计算B，求出X.因为[A,I]=所以A可逆，且=X=B==三、矩阵的秩前面给出了利用矩阵行列式判别方阵A是否可逆的方法，除了这种方法外，还可以利用矩阵A的特征之一——矩阵的秩来判别方阵A的可逆性.矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念，它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系，而且在讨论线性方程组的解的情况中也有重要应用.在给出矩阵的秩的概念之前，先要定义矩阵的子式.定义2.15在矩阵A中，位于任意选定的k行、k列交叉点上的个元素，按原来次序组成的k阶子阵的行列式，称为A的一个k阶子式.如果子式的值不为零.就称为非零子式.例4设矩阵A=取其第一、二行与第二、四列交叉点上的4个元素按原次序组成行列式称为A的一个二阶子式，而且是它的非零子式.定义2.16矩阵A的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记作或秩(A).规定：零矩阵O的秩为零，即=0.例4中的矩阵已经有一个二阶非零子式，通过计算可知，矩阵A的所有三阶子式均为零，（该矩阵没有四阶子式），所以=2.例5设A为n阶非奇异矩阵，求.解由于A为非奇异矩阵，即A对应的行列式，所以A有n阶非零子式，故=n.例5的逆命题亦成立，即对一个n阶方阵A，若=n，则A必为非奇异的.因此n阶方阵A为非奇异的等价于=n.称=n的n阶方阵为满秩矩阵.用定义求矩阵的秩，需要计算它的子式，计算量常常是较大的.利用教材中的定理2.10计算矩阵的秩是比较方便的.定理2.10设A为矩阵，则=k的充分必要条件为：通过初等行变换能将A化为具有k个非零行的阶梯阵.例如，阶梯阵A=，B=因为A的非零行有二行，而B的非零行有三行，所以A的秩等于2，B的秩等于3，即=2，=3.那么一个矩阵经过初等行变换化成阶梯阵后，它的秩是否会发生变化呢？不会的.教材中的定理2.9已经说明这一点.定理2.9矩阵经过初等行变换后，其秩不变.（证明见教材）定理2.10给了我们求矩阵的秩的一种简便方法，即利用初等行变换将一个矩阵A化成阶梯阵，然后算出矩阵A的秩.例6设矩阵A=，B=求，，.解因为A=所以=2因为B=所以=3因为AB==AB=所以=2由例6可知，乘积矩阵AB的秩不大于两个相乘的矩阵A,B的秩，即.例7设矩阵A=求和.解因为A=所以=3同理可得=3由例7可知，矩阵A与它的转置矩阵的秩相等.可以证明例6，例7的结论具有一般性.定理2.11设A为mn矩阵，则(1)；(2)=第十三讲主要内容:矩阵的最大秩分解,QR分解6.3矩阵的最大秩分解定理1设,,则可经过有限次初等行变换把化为行最简形式其中,号的元素可以不为零,的第个列向量为,第i个元素为1,.引理分块矩阵经过一次初等行变换后化为矩阵,则证明,其中是相应的初等矩阵.,而。由初等变换不改变方程组的解,即。定理2设,。则可将做满秩分解(或称最大秩分解,。其中,且,即是列满秩的,是行满秩的.证明对作初等行变换化为行最简形式,令,则。取为的前r行所构成的矩阵,即则。下面验证事实上,易见的任一列向量均可由表示出来,且表示系数为的第j个列向量,即,从而由引理知道故。例1求矩阵的最大秩分解解则注意,由,其中为任意r阶可逆方阵,所以矩阵的最大秩分解不唯一。定理3设,。若均为的最大秩分解,则(i存在r阶可逆方阵,使得,。(ii证明(a首先证明可逆。注意到是一个r阶Hermite矩阵,考虑二次型,,将按行分块,则。由,所以。从而是正定矩阵,所以可逆。同理可证可逆。(b,。令,,则。从而,注意到,记,则,所以(i成立.(c由于,所以

注1

矩阵的最大秩分解但是矩阵不唯一，是唯一的，它在后面要讲的广义逆中有重要作用。

中的注2

若矩阵的最大秩分解满足，则称这种最大秩分解为QR。矩阵的分解总是存分解，且记的矩阵在的，事实上对最大秩分解的列向量组实事Gram‐Schmidt正交化得，其中为正交正(酉矩阵，是一个可逆上三角阵。从而，其中。矩阵的分解也不唯一。

例2

求习题

p149

3

的分解。

3-4矩阵的秩（MatrixofRank）Definition1：矩阵的行秩和矩阵的列秩Lemma1：齐次线性方程组的系数矩阵的行秩r小于未知元的个数n时，线性方程组有非零解。Lemma2：矩阵的行秩和列秩相等。DefinitionofMatrikRank(矩阵秩的定义)R（A）矩阵的行秩等于矩阵的列秩定义维矩阵的秩。Theorem：n×n的矩阵的行列式值为零的充分必要条件是矩阵A的秩小于n。（R（A）<n）Proof:充分性R（A）<n，当n＝1时维，零向量；当n>1时，矩阵的某一行是其它行的线性组合，从而矩阵A的行列式值|A|=0.必要性当n＝1时，|A|=0，则A＝0，秩小于1命题成立，假设对n－1阶矩阵命题成立，对n阶矩阵A；如果A的第一列元素全部等于零，显然命题成立，否则不妨设，＝＝0其中，n－1阶矩阵行列式＝0，由假设向量组线性相关，即向量组线性相关从而矩阵A的行向量线性相关，R（A）<n.由数学归纳法原理，定理得证。推论：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式的值|A|=0。Defintion：矩阵A的k级子式的定义。Theorem6：矩阵的A的秩为r的充分必要条件是矩阵中有一个r级子式不为零，而所有r＋1级子式都等于零。证明：必要性因为R（A）＝r，一方面矩阵A中任意r＋1个行向量线性相关，矩阵A的任意一个r＋1阶子式的行向量也线性相关，由Theorem5任意r＋1阶子式都等于零；另一方面A中有r个线性无关的向量组，它们组成矩阵；且，B中有r个线性无关的列，不妨设前r个列线性无关，则A中左上角r阶子式不为零。从定理可推出：（1）矩阵秩的另一种定义：矩阵A中存在r级子式不等于零，所有r＋1级子式全等于零，则称矩阵A的秩为r，记成R（A）＝r。（2）矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。矩阵秩的求法：（1）用定义；（2）用矩阵的初等变换；例1：求下列矩阵的秩1．；2。2例2：求线性方程组：的系数矩阵的秩和增广矩阵的秩。练习：1、线性方程组：的系数矩阵的秩为，增广矩阵的秩为。布置作业：P154－16布置作业：P154－16课堂小结：理解和掌握矩阵秩的不同的定义用初等的初等变换求矩阵的秩求逆矩阵的方法与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换（由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A的行列式值和它的伴随矩阵.当A的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换的定义.）定义2.13矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：(1)将矩阵中某两行对换位置；(2)将某一行遍乘一个非零常数k；(3)将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至另一行.并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换.矩阵A经过初等行变换后变为B，用ABij表示，并称矩阵B与Aijiji（下面我们把）第行和第j行的对换变换，简记为“，”；把第行遍乘k倍的倍乘变换，简记为“k”；第j行的k倍加至第行上的倍加变换，简记为“+k”.iji①，②例如，矩阵A=①，②③k③k②+①k②+①k（关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材）二、运用初等行变换求逆矩阵由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n阶可逆矩阵A，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I，那么用一系列同样的初等行变换作用到单位阵I上，就可以把I化成.因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A的右边写上一个同阶的单位矩阵I，构成一个n2n矩阵(A,I)，用初等行变换将左半部分的A化成单位矩阵I，与此同时，右半部分的I就被化成了.即(A,I)(I,)例1设矩阵A=求逆矩阵.解因为②+①(-1)=3\*GB3③+①(-2)[②+①(-1)=3\*GB3③+①(-2)①+=3\*GB3③(-1)②①+=3\*GB3③(-1)②+=3\*GB3③(-1)=1\*GB3①+=2\*GB3②②(1/2)=3\*GB3③+=2\*GB3②所以=所求逆矩阵是否正确，可以通过计算乘积矩阵A进行验证.如果A=I成立，则正确，否则不正确.对给定的n阶矩阵A，用上述方法也可以判断A是否可逆.即在对矩阵[A,I]进行初等行变换的过程中，如果[A,I]中的左边的方阵出现零行，说明矩阵A是奇异的，即，可以判定A不可逆；如果[A,I]中的左边的方阵被化成了单位阵I，说明A是非奇异的，可以判定A是可逆的，而且这个单位矩阵I右边的方阵就是A的逆矩阵，它是由单位矩阵I经过同样的初等行变换得到的.例2设矩阵A=，问A是否可逆？解因为[A,I]=[A,I]中的左边的矩阵A经过初等行变换后出现零行，所以矩阵A是奇异的，A不可逆.（下面利用矩阵求逆运算求解矩阵方程.）例3解矩阵方程AX=B，其中A=，B=解[思路]如果矩阵A可逆，则在矩阵方程AX=B等号的两边同时左乘，可得AX=B，X=B因此，先用初等行变换法判别A是否可逆，若可逆，则求出，然后计算B，求出X.因为[A,I]=所以A可逆，且=X=B==三、矩阵的秩前面给出了利用矩阵行列式判别方阵A是否可逆的方法，除了这种方法外，还可以利用矩阵A的特征之一——矩阵的秩来判别方阵A的可逆性.矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念，它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系，而且在讨论线性方程组的解的情况中也有重要应用.在给出矩阵的秩的概念之前，先要定义矩阵的子式.定义2.15在矩阵A中，位于任意选定的k行、k列交叉点上的个元素，按原来次序组成的k阶子阵的行列式，称为A的一个k阶子式.如果子式的值不为零.就称为非零子式.例4设矩阵A=取其第一、二行与第二、四列交叉点上的4个元素按原次序组成行列式称为A的一个二阶子式，而且是它的非零子式.定义2.16矩阵A的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记作或秩(A).规定：零矩阵O的秩为零，即=0.例4中的矩阵已经有一个二阶非零子式，通过计算可知，矩阵A的所有三阶子式均为零，（该矩阵没有四阶子式），所以=2.例5设A为n阶非奇异矩阵，求.解由于A为非奇异矩阵，即A对应的行列式，所以A有n阶非零子式，故=n.例5的逆命题亦成立，即对一个n阶方阵A，若=n，则A必为非奇异的.因此n阶方阵A为非奇异的等价于=n.称=n的n阶方阵为满秩矩阵.用定义求矩阵的秩，需要计算它的子式，计算量常常是较大的.利用教材中的定理2.10计算矩阵的秩是比较方便的.定理2.10设A为矩阵，则=k的充分必要条件为：通过初等行变换能将A化为具有k个非零行的阶梯阵.例如，阶梯阵A=，B=因为A的非零行有二行，而B的非零行有三行，所以A的秩等于2，B的秩等于3，即=2，=3.那么一个矩阵经过初等行变换化成阶梯阵后，它的秩是否会发生变化呢？不会的.教材中的定理2.9已经说明这一点.定理2.9矩阵经过初等行变换后，其秩不变.（证明见教材）定理2.10给了我们求矩阵的秩的一种简便方法，即利用初等行变换将一个矩阵A化成阶梯阵，然后算出矩阵A的秩.例6设矩阵A=，B=求，，.解因为A=所以=2因为B=所以=3因为AB==AB=所以=2由例6可知，乘积矩阵AB的秩不大于两个相乘的矩阵A,B的秩，即.例7设矩阵A=求和.解因为A=所以=3同理可得=3由例7可知，矩阵A与它的转置矩阵的秩相等.可以证明例6，例7的结论具有一般性.定理2.11设A为mn矩阵，则(1)；(2)=矩阵的初等行变换与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：1.互换矩阵两行的位置（对换变换）；2.用非0常数遍乘矩阵的某一行（倍乘变换）；3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行（倍加变换）上。二、阶梯形矩阵满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵1.各个非0行（元素不全为0的元素）的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大；2.如果矩阵有0行，0行在矩阵的最下方。例如重要定理一任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。例题注意：一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一例如：三、矩阵的秩矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A）或r(A)例如下列矩阵的秩分别为2、3、4、、例题求矩阵秩及秩()解所以，秩(A)=3所以，可以证明：对于任意矩阵A，；矩阵的秩是唯一的。问题：矩阵：的秩等于4？对否，为什么？满秩矩阵（非奇异矩阵、非退化矩阵）设A是n阶矩阵，若秩(A)=n，则称A为满秩矩阵（非奇异矩阵、非退化矩阵）重要定理二定理9.2任何满秩矩阵都能经过初等行变换化成单位矩阵。例3阶矩阵A的秩：秩(A)=3，所以A是满秩矩阵。练习P329,练习9.54.设解：对A进行初等行变换，化为阶梯形矩阵矩阵的初等变换与应用0922021241078一、矩阵概念线性方程组系数的解取决于系数常数项线性方程组的系数与常数项按原位置可排为这就是矩阵。矩阵的定义由m×n个数排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵。记作这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数称为矩阵A的（i,j）元。以数为（i,j）元的矩阵可记作或，m×n矩阵A也记作元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩称为复矩阵。行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵.n阶矩阵A也记作只有一行的矩阵称为行矩阵，又称行向量。只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量。注意：1.矩阵是数表，行列式是由其元素经适当定义一种运算而得到的数。2.矩阵中行数与列数可以相等，也可以不相等。而行列式中的行数与列数必须相等。两个矩阵的行数相等，列数也相等时，就称它们为同型矩阵。如果与是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即那么就称矩阵A与矩阵B相等。记作A=B。元素都是零的元素称为零矩阵，记作0。二、矩阵的初等变换的定义1.定义矩阵的初等变换：下面的三种变换称为矩阵的初等变换(1；.（换行或换列）(2；（数）（倍行或倍列）(3；..（倍行加或倍列加）2.矩阵与等价：经过有限次的初等变换变成.记作.（1）等价的性质：反身性；对称性若，则；传递性若，则.（2）任何矩阵都等价于一个标准形矩阵,即．即存在有限个初等矩阵,使.且矩阵的等价标准形惟一确定.（3）行阶梯矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全是零；每个台阶只有一行，台阶数为非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元.例如上述两矩阵均为行阶梯矩阵.（4）行最简形矩阵：非零行的非零首元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为零的行阶梯矩阵.为行最简形矩阵.例1求所给矩阵A的行阶梯矩阵、行最简形矩阵以及等价标准型矩阵.（行阶梯矩阵）.（行最简形矩阵）（等价标准型矩阵）3.初等矩阵的概念（1）定义初等矩阵：由单位矩阵只经过一次初等变换得到的方阵.①或均对应初等方阵:②或均对应初等矩阵:③或均对应初等矩阵:（2）初等矩阵行列式的性质.重要结论：初等矩阵是可逆矩阵，且逆矩阵仍然是初等矩阵.(3初等矩阵的逆矩阵①;②,;③.(4初等矩阵的转置也是初等矩阵.①;②,;③.4.矩阵初等变换的重要性质【性质1】设A是一个的矩阵，对A实施一次初等行(列变换，相当于在A的左边(右边乘以相应的阶（阶）初等矩阵.【性质2】方阵可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵，使得，即.【定理】设与为矩阵，则①存在阶可逆矩阵,使.②存在阶可逆矩阵,使.③分别存在、阶可逆矩阵、,使.5.用初等变换求逆矩阵或解矩阵方程的方法①若可逆,则也可逆,于是存在初等矩阵,使，又即，所以,用分块矩阵运算表示为..②用初等变换求解矩阵方程，求解线性方程组(1解矩阵方程，其中可逆，则即.(2解线性方程组，其中可逆.则，即.(3解矩阵方程，其中可逆，则即.【定理6】矩阵方程有解的充要条件是.例2设，求线性方程组的解.解设.因为，所以可逆，且，即线性方程组都有惟一解，且解依次为.3.矩阵的秩（1）定义矩阵的阶子式：