《等腰三角形》第1课时示范公开课教案【八年级数学下册北师大版】

《等腰三角形》教学设计第1课时一、教学目标1.掌握等腰三角形的性质和判定方法.2.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，能够用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理.3.能利用等腰三角形的性质和判定定理，解决实际问题.4.要求学生在学习中运用发现法，体验几何发现乐趣，在实际操作中感受几何应用美.二、教学重难点重点：经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，能够用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理.难点：能利用等腰三角形的性质和判定定理，解决实际问题.三、教学用具电脑、多媒体、课件等.四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一创设情境【知识回顾】在“平行线的证明”一章中，我们给出了8条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论.提出问题：你还记得有哪8条基本事实吗？预设：1.两点确定一条直线.2.两点之间线段最短.3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.4.同位角相等，两直线平行.5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.8.三边分别相等的两个三角形全等.教师活动：其中6、7、8属于判断两个三角形全等的基本事实，你能结合这些事实将结论“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”进行证明吗？回顾思考并回答.通过此活动，一方面帮助学生回忆旧知识，另一方面引出本章证明的主要依据.环节二探究新知【想一想】提出问题：我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗?提示：需要根根要证明的结论，先写出已知和求证，然后再进行证明.预设：已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.求证：△ABC≌△DEF.证明：在△ABC和△DEF中，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°，∴∠C=180°–∠A–∠B，∠F=180°–∠D–∠E.又有∠A=∠D，∠B=∠E，∴∠C=∠F.又有BC=EF，∴△ABC≌△DEF.提出问题：由此你能得到什么结论呢？预设：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.追问：全等三角形有什么性质吗？预设：全等三角形的对应边相等、对应角相等.【议一议】问题：还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？预设：①等腰三角形的两底角相等.(简述为：等边对等角)②等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合(简称“三线合一”)追问：你能选择其中一条性质进行证明吗？例如选择：等腰三角形的两底角相等.证明过程如下：已知：如下图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.教师提示：我们曾经利用折叠的方法说明了等腰三角形的两个底角相等.折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.因此通过做底边上的中线，就可以得到两个三角形全等，从而证明这两个底角相等.【观察思考】方法一：利用全等三角形证明思路：若证角相等，可以利用两个角所在的三角形全等.可以构造辅助线底边BC的中线AD；①创造条件：BC=CD，AD=AD；②已知条件：AB=AC；③全等三角形：△ABC≌△ACB.提示：辅助线还可以是顶角的角平分线或者底边上的高线.证明：取底边BC的中点，连接AD∵AB=AC，BC=CD，AD=AD,∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.定理：等腰三角形的两个底角相等.简述为“等边对等角”问题：你还有其他证明方法吗？与同伴进行交流.方法二：不添加辅助线也可以证明“等边对等角”.把一个等腰三角形看成两个三角形.任意一个三角形都能和它本身重合，即一定有AB=AC，∠A=∠A，AC=AB.证明：在△ABC和△ACB中，∵AB=AC，∠A=∠A，AC=AB，∴△ABC≌△ACB（SAS）.∴∠B=∠C.【思考】问题：在图中，由△ABD≌△ACD，还可以得到什么结论？答案：①∠BAD=∠CAD，②AD⊥BC线段AD除了是底边上的中线，还是顶角的角平分线，底边上的高线.结论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.简述为“三线合一”【延伸】教师活动：给出“三线合一”结论，让学生分组探究证明过程，小组组长进行回答，教师加以总结归纳，在给出一种示例的证明过程.如果某线段是一个等腰三角形的“三线”之一，那么它必定也是这个等腰三角形的另“两线”.思路：通过构造全等三角形证明.(已知高线证明）如下图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC.求证：BD=CD，∠BAD=∠CAD.证明：在△ABC和△ACB中，∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC,∵AB=AC，AD=AD，∴Rt△ABC≌Rt△ACB（HL）.∴BD=CD，∠BAD=∠CAD.自主完成.分析思考等腰三角形两个底角相等怎么证明.回忆轴对称知识，接着利用翻折找出全等三角形，并且利用全等三角形的相关性质证明对应角相等.将翻折图形抽象成简单的几何图形，利用该原理做辅助线，完成证明过程.用不添加辅助线的方法证明原图形和对称后原图形全等，理清证明思路和过程.利用图形观察，除了等边对等角还有什么数量关系关系，并且自主探讨逆定理的证明.学生分组讨论，小组代表回答.教师要提醒学生首先依据命题画出几何图形，再结合几何图形用数学符号语言写出“已知”“求证”，最后写出证明过程.结合前面的解题思路对于等腰三角形的性质进行证明，同时让学生将学过的知识进行迁移和运用.引导学生完成证明的书写过程，推导相关定理，培养同学的总结归纳能力.培养学生的思维严谨性，拓展思路.让同学们在全等图形中的结论中理解三线合一的概念，掌握三线合一的结论和延伸，并且能够自行进行逆定理的证明.培养学生的合作交流的能力.环节三应用新知【典型例题】教师活动:教师通过提问的方式，先带领同学理解问题抽象，让同学们找到解决问题的思路，之后提问同学补充解答过程，最后由教师完善解题步骤.例1：在△ABC中，AD=AE，BD=CE，求证AB=AC.思路：已知两条边，需要添加∠ADB=∠AEC,利用SAS证明全等.证明：利用全等三角形证明∵AD=AE∴∠ADE=∠AED（等边对等角）∵∠ADE+∠ADB=∠AED+∠AEC=180°∴∠ADB=∠AEC∵AD=AE，BD=CE∴△ABD≌△ACE（SAS）∴AB=AC例2：在△ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，∠1=30°，求∠2的度数.思路：通过角度计算找出等腰三角形.证明：∵AB=AC∴∠B=∠C（等边对等角）∵AB=BD∴∠2=∠3（等边对等角）∵∠2=∠1+∠C（三角形一个外角等于不相等的两个内角和）∴∠2=∠1+∠B∵∠2+∠3+∠B=180°（三角形内角和）∴∠B=180°–2∠2∴∠2=∠1+180°–2∠2∴3∠2=∠1+180°∵∠1=30°∴∠2=70°学生自主学习、尝试独立解答，并交流讨论，尽量用多种方法证明AB=AC.学生观察、整理、完善证明过程的书写..利用等腰三角形的性质定理对角度进行计算，思考完善证明过程.通过例题讲解让学生理解等腰三角形的性质定理的应用.培养学生的综合能力.通过证明步骤的书写，严格要求证明过程严谨性，从而使得学生获得思维上的提升.环节四巩固新知【随堂练习】教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.利用作等腰三角形顶角的平分线的方法，证明等腰三角形的两个底角相等.提示：利用“SAS”证明答案：如图，在△ABC中，AB=AC，证明∠B=∠C.证明：过A作∠BAC的角平分线交BC于D.∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∵AB=AC，AD=AD∴△ABC≌△ACB（SAS）∴∠B=∠C2.根据等腰三角形性质定理填空：已知：如图，在△ABC中，AB=AC.（1）∵AD⊥BC，∴∠=∠，=；（2）∵AD是底边上的中线，∴⊥，∠=∠；（3）AD是顶角的平分线∴⊥，=.答案：（1）BADCADBDCD;（2）ADBCBADCAD；（3）ADBCBDCD3.如图，D是等腰△ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点，EB=EC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC.答案：∵EB=EC，∴∠EBD=∠ECD又∵∠1=∠2，∴∠ABD=∠ACD，即AB=AC∵EB=EC，∠1=∠2，AB=AC∴△ABE≌△ACE（SAS)∴∠3=∠4∴AD⊥BC（等腰三角形“三线合一”）注意：不可以用“SSA”证明教师重点强调第3题的全等条件的寻找，不要用混.自主完成练习，然后集体交流评价