2016届江苏省常州市高级高三上学期阶段调研（二）数学（文）试卷

江苏省常州高级2015-2016学年第一学期高三年级阶段调研（二）数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1．函数y＝的定义域是▲；2．设是虚数单位，若复数满足，则复数的模=▲；3．“”是“直线和直线平行”的▲条件；（选“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空）4．若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为▲；5．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为▲；6．已知等差数列的公差为，若成等比数列，那么等于▲；7．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球中有黄球的概率为▲；8．圆锥的侧面展开图是圆心角为eq\r(3)π，面积为2eq\r(3)π的扇形，则圆锥的体积是▲；9．已知，则=▲；10．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为_______▲_______；11．已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，若，则的值为▲；12．如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为▲；13．已知函数,则方程恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是▲；14．已知圆O：，点M（1，0）圆内定点，过M作两条互相垂直的直线与圆O交于AB、CD，则弦长AC长的取值范围▲；二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15．（本小题满分14分）在中，，（1）求的值；（2）若点D在边上，，求的长。16．（本小题满分14分）在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC＝2，AB＝4，BC＝2，∠CBA＝30°．（1）求证：AC⊥PB；（2）若PC=2，点M是棱PB上的点，且CM∥平面PAD，求BM的长。PPAAMMCDDBB17．（本小题满分14分）某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求量（万吨）与的函数关系为，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．

（1）试写出第个月石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；

（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．18．（本小题满分16分）平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上一动点的直线，过F2与x轴垂直的直线记为，右准线记为；①设直线与直线相交于点M，直线与直线相交于点N，证明恒为定值，并求此定值。②若连接并延长与直线相交于点Q，椭圆的右顶点A，设直线PA的斜率为，直线QA的斜率为，求的取值范围．19．（本小题满分16分）设数列的前项和，，，且当时，．（1）求证:数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）令，记数列的前项和为．设是整数，问是否存在正整数，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）已知为实常数，函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个不同的零点；①求实数的取值范围；②求证：.江苏省常州高级2015-2016学年第一学期高三年级阶段调研数学试卷答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1．函数y＝的定义域是▲；（－1，＋∞）2．设是虚数单位，若复数满足，则复数的模=▲；13．“”是“直线和直线平行”的▲条件；（选“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空）充分不必要4.若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为▲；165．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为▲；46.已知等差数列的公差为，若成等比数列，那么等于▲；7．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球中有黄球的概率为▲；8．圆锥的侧面展开图是圆心角为eq\r(3)π，面积为2eq\r(3)π的扇形，则圆锥的体积是▲；9．已知，则=▲；10．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为______________；11．已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，若，则的值为▲；212．如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为▲；1813．已知函数,则方程恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是▲；14．已知圆O：，点M（1，0）圆内定点，过M作两条互相垂直的直线与圆O交于AB、CD，求弦长AC长的取值范围▲；二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15．（本小题满分14分）在中，，（1）求的值；（2）若点D在边上，，求的长。解：如图，设的内角所对边的长分别是，由余弦定理得，所以.4分又由正弦定理得.6分由题设知，所以.8分10分在中，由正弦定理得.14分16．（本小题满分14分）在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC＝2，AB＝4，BC＝2，∠CBA＝30°．（1）求证：AC⊥PB；（2）若PC=2，点M是棱PB上的点，且CM∥平面PAD，求BM的长。ABCDMP16．（1）∵PC⊥平面ABCDABCDMP又∠CBA＝30°，BC＝2，AB＝4，∴AC＝＝，∴AC2＋BC2＝4＋12＝16＝AB2，∴∠ACB＝90°，故AC⊥BC．又∵PC、BC是平面PBC内的两条相交直线，故AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB．…………7分（2）BM=2………………14分17.（本小题满分14分）某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求量（万吨）与的函数关系为，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．

（1）试写出第个月石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；

（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．解：（1）………4分（2）根据题意，所以恒成立………6分即恒成立…8分…14分（2+2+2）18.（本小题满分16分）平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以QUOTE为圆心以3为半径的圆与以QUOTE为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上一动点的直线，过F2与x轴垂直的直线记为，右准线记为；①设直线与直线相交于点M，直线与直线相交于点N，证明恒为定值，并求此定值。②若连接并延长与直线相交于点Q，椭圆的右顶点A，设直线PA的斜率为，直线QA的斜率为，求的取值范围．（1）由题意知，则,又可得,所以椭圆C的标准方程为.………………4分（2）①MN………………6分………9分②点（），点Q，………………10分∵，，∴==．……12分∵点P在椭圆C上，∴，∴==．……………14分∵，∴．∴的取值范围是．……………16分19.（本小题满分16分）设数列的前项和，，，且当时，．（1）求证:数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）令，记数列的前项和为．设是整数，问是否存在正整数，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，说明理由．19.解：（1）当时,,,代入并化简得,………4分而恒为正值,∴∴数列是等比数列.………5分∴.当时,,又，∴………7分（2）当时，,此时，又∴.…………………9分故，…………………10分当时，，……12分若，则等式为，不是整数，不符合题意；……………14分若，则等式为，∵是整数,∴必是的因数,∵时∴当且仅当时，是整数，从而是整数符合题意.综上可知，当时，存在正整数，使等式成立，当时，不存在正整数使等式成立.……………16分20．（本小题满分16分）已知为实常数，函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个不同的零点；①求实数的取值范围；②求证：.20.（1）的定义域为．其导数．1分①当时，，函数在上是增函数；2分②当时，在区间上，；在区间上，．所以在是增函数，在是减函数.4分（2）①由（I）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点;