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文档简介
新概念几何与共边定理的问与答
广州杜厚生
(与现行教材上面积相等的表达式不同,本文用AAPB=AAQB表示两个三角形面积相等,三角形符号
前省略“S”或“面积”这是为了表达上的简洁)
问:那些人适合阅读和应用本文?
答:主要是初中数学教师和初三备考的学生,初二学生也可以尝试应用.当然,高中数学教师也应当有所
了解,高中生也可以读一读,但最适合的读者,是准备参加初中数学竞赛的同学.
问:张景中是谁?
答:张景中者,自欧几里德已降,2300多年来独力改写欧几里德几何体系的第一人.新体系者,新概念
几何也.
张景中,1936年生于河南汝阳,18岁入北大数学系,22岁打成右派,从此沦为另类21年,至1979
年43岁时才平反,恢复普通公民身份.此后便文思泉涌,17年间,成就辉煌,跻身顶级数学家之列,数
项成果均堪称里程碑,成为大学教授、博士生导师、中科院院士,杰出科普作家.
问:什么是“新概念几何”?
答:平面儿何问题一直是数学教育与学习中的疑难问题,两千年来,学生的课本还是和欧几里德时代无甚
大异,教师只有在增加学习时间,减少所学内容上做文章.然而张景中院士大胆指出,我们其实不必非要
虔诚地跟在欧几里得身后学习平面几何!他经过多年潜心研究,独辟蹊径,建立起一套以度量为基础,以
面积为中心的平面几何新方法、新体系,这就是“新概念几何”(下文简称新几何).从1989年以来,经
过20年来张院士和很多中学老师的教学实践证明,“面积法”可节省课时,提高学生解决问题的能力,特
别是在解决数学奥林匹克竞赛问题时的优势相当明显.
“新概念几何”相对于欧几里德的几何是一个全新的平面几何新体系,从公理体系到定理体系、解题方法,
都有极大的区别,也是欧几里德的几何诞生2300多年来,第一个全新的体系.在张景中的新几何中,甚
至没有平行公理,即平行线的存在性和唯一性是可以由面积方法推导出来的一个定理.也不需要全等三角
形和相似三角形等一批定理.由于新几何定理大大减少、解题方法统一为面积方法,给平面几何减少课时
和降低难度创造了条件.新几何中使用的解题通法一消点法,甚至成为了攻克世界性的科研难题——机
器证明几何定理的关键方法,取得了机器证明几何定理的里程碑式的胜利.
新几何正是由于方法之新、对传统儿何改造之彻底,反而造成了推广之难.对广大中学教师来说,几乎是
-门新学科,老师和学生在知识上同样的一无所知!但老师应当先学一步,比学生更早掌握新几何,为教
材、课程改革作出应有的贡献.一旦国家决定采用新几何代替旧教材,老师就可以充满信心地走上讲台.
退一步来看,掌握新几何的面积方法和部分新定理却并不难,但对于现行教材是一个补充和改进,对个人
教学能力的提高也极有补益.
问:新几何的核心是什么?
答:新几何以度量为基础,以面积为中心,它的核心定理就是现行教材
中一条极为平凡的定理:”等高三角形面积的比等于底边的比
{------〜
由这个核心定理推导出一条现行教材中没有的定理一~共边比例定理,
基本定理:
这是整套新几何教材的基础,由该定理导出全部定理与解题方法,构成AABP:△ABQ=PA:AQ
了几何新体系.
从条极为平凡的定理着手,改写几何原本的整个体系,构造出一个几何新体系,这件事本身就透出
神奇.历史上堪与之相比的,只有180年前对平行公设的研究了.当年也是从一条公设出发,构造出一个
非欧几何.但毕竟同时有高斯、小鲍耶、罗巴切夫斯基各自独立发现了非欧几何.此外,对平行公设的质
疑,之前已经有过千年探讨,远不是如“等高三角形面积的比等于底边的比”那样平凡而不引人注意.
在《论推广》(见数学通报2005年第4期)-文中,张景中教授说:
“《几何原本》共13卷,包含了465条命题.有趣的是,有一条非常基本的重要命题,它没有受到欧几里
得时代数学家的注意和重视(之后的两千多年中也没有得到应有的重视).如果当初欧几里得或别的数学家
重视了,几何学的历史有可能被改写,几何难学、几何解题无定法的局面就早已改观了.这是《几何原本》
第6卷的命题一:“等高三角形或平行四边形,它们彼此相比如同它们的底的比”
共边定理和基本命题的共同点,都是把两个三角形的面积比化成共线线段之比.共边定理中若A在直线
PQ上,就回到了基本命题.所以,它是基本命题的推广.基本命题图中的线段PQ,AB的位置变得更一
般些,使A不在直线PQ匕再添上交点M,就成了共边定理的图形了.这一点改变很重要.欧几里得时代
的几何学家,就是没有注意到这一点改变,才失去了这条无比重要的共边定理,也错过了发现平面几何机
械化解题方法的机会.
为什么强调面积?
张景中这样看面积方法的重要性:
利用面积,我们可以建立面积坐标,自然地进入解析几何.而面积坐标,本质上已经包含了笛卡尔坐
标、仿射坐标、射影坐标,这就为学习更高深的几何埋下了伏笔.
学会了计算多边形和圆的面积,自然会想到去计算曲线包围的面积,这就会引出极限概念,引出定积
分概念,自然而然地就把学生带进了高等数学的大门.此外,微积分里用得最多的三角函数与对数函数(指
数函数),都可以用面积给出易于理解又便于推导的定义.
在高等数学中,面积以各种形式出现.面积是积分,是测度,是外微分形式,是向量的外积,也是行
列式.
抓住面积,从小学到大学的数学内容就可以一线相串.抓住面积,结合代数与三角来展开初等几何,
就极有希望提供一种足以和欧几里德体系争夺课堂的几何教材.(张景中:《从数学教育到教育数学》P81)
为什么共边定理是基石?
从下面的新概念几何体系的课程结构图可以看出,共边定理是新概念几何整个体系的基石.(张景中:《从
数学教育到教育数学》P101)
公理系统
基本命题
共边定理与共角定理正弦定义
平行公理
面积公式△ABC=—absinC
2
正
内
圆
张
余
弦
正
角
周
角
弦
加
弦
和
角
公
定
法
定
定
定
式
理
定
再
理
理
理
VV.
琴
全等三角形与相似三角形判定科
二
角
公余弦定义
式
问:什么是共边比例定理?
答:共边比例定理简称共边定理:有公共边AB的两个三角形的顶点分别是P、Q,AB与PQ的连线交于
点M,则有以下比例式成立:AAPB面积:AAQB面积=PM:QM
共边定理图:四种位置关系
问:什么是共角比例定理?
答:共角比例定理简称共角定理:有公共角的两个三角形的面积比等于夹这个角的两边的乘积之比.
△ABC和△A/i。中,NA与NA1相等或互补,则有:
△ABC面积:△AIBI。面积=AB♦AC:
问:怎么导出两个定理?:
答:共边三角形有四种位置图形,证明时,都只需要在直线AB上作线段MN=AB,则有:
AABP:AABQ=APMN:AQMN=PM:MQ
共角定理更简单,,/AABC面积:Z\A।B।C।面积=
11
—ABACsinA.—A.B,-A.C,sinA.
22
:NA与NA1相等或互补...sinAusinA]
.•.△ABC面积:△A|B|C|面积=ABAC:A.B.-A.C
问:共边定理与共角定理怎么用?
答:共边三角形与共角三角形广泛存在.
张景中说:
欧几里德把注意力集中在特殊三角形上:当考虑一个三角形时,着重研究了直角三角形和等腰三角形;
当考虑一对三角形时,着重研究了全等三角形和相似三角形.一个重要的事实是:随便画一个几何图形,
这里面往往没有全等三角形和相似三角形,为了使“全等”、“相似”有用武之地,就要作辅助线.但如何
作辅助线,则“法无定法”.几何做题难,原因与此有关.
我们着眼于那些任何几何图形都会出现的三角形对,这就是“共边三角形”与“共角三角形”.
这两种三角形是名不见经传的,欧几里德以来的几何学家们从来没有给它们足够的重视.但是,从数
学教育学的角度来看,他们是顶顶重要的.(张景中:《从数学教育到教育数学》P60)
共边定理涉及平面几何构图中最常见的一个步骤:两直线AB、PQ,交于一点M.要确定交点M的位置,
本是一件不容易的事,它相当于解二元一次方程组.而共边定理却用两个三角形的面积比简单地表示出M
在线段PQ上的位置.等式右边的M,在左边不出现了,也就是被消去了.这个事实,在几何问题的机器
求解中起了关键的作用(张景中:《论推广》)
张景中说,使用共边定理和共角定理有两个好处:
其一是通用性.
从统计学观点看,任给几个点连成直线,出现一对全等三角形或一对相似三角形的机会太少了,概率
为零.所以想利用“全等”、“相似”来解题,就常常要挖空心思作辅助线,凑出全等三角形或相似三角形
来.而作辅助线的规律不好掌握,学生会觉得无章可循,非常困难.但共边三角形和共角三角形却比比皆
是,因此它们的性质到处都用得上.
其二是条件和结论的对等性.
要证明两条线段相等,常用的办法之一是构造一对全等三角形,使这两条线段成为它们的对应边.但
要证明这两个三角形全等,却要满足三个条件.这就是说,为了得到一个等式,先要建立3个等式.这就
有点不合算了.而在共边定理和共角定理中,却是从一个条件到一个结论.这种对等性往往能够简化证明
的过程.
其三是基础的单纯性和表述的简明性
共边定理和共角定理,直接建立在小学生已经熟悉的三角形面积公式的一个简单推论上,学起来简单,
也容易记得牢.而全等三角形或相似三角形的理论,推导过程较长,判定条件又多,在可接受性方面较差.
(张景中:《从数学教育到教育数学》P81)
事实上,在新概念几何中,可以不安排全等三角形的教学单元.
应用共边定理证题时,首先要判断公共边AB及两个不同顶点PQ,从而找到底边AB与PQ的连线交
点M.第一及第二两个图形交点在公共边内,其它两种位置,交点在公共边外部,通常要作辅助线来找出
该点.在许多题目中,并没有给出面积关系,必须根据要证明的等式找出相应的三角形.要注意共边定理
中,两条线段的比值PM与QM中,P、Q就是两个三角形的顶点,所要找的三角形就是有公共边且分别
以P、Q为顶点的三角形.但共边三角形实在太容易得到了,以P、Q为顶点的共边三角形通常在图形中
都可以找到三对或更多对,何况还可以转化成以P、M或Q、M为顶点的三角形,选择就更多了,但并不
是每一对都能推出所需结论的,选对了,结论很容易就出来了.只找对的,不找废的,这就是初学的最大
难点.必须经过一定时间的反复练习才能做到得心应手.
例如下图中的任意四边形ABCD,分别以四条边和两条对角线为公共边,可以得到6对共边三角形,
若再加上对角线交点P,四边形ABCD中可以有18对共边三角形!
图中有18对共边三角形
B
问:共边定理怎么证平行?
答:用面积方法推出平行线的判定,用到下面这个基本命题,这是新概念几何中最重要的定理之一.
基本命题:设M、N两点在直线AB同侧,则MN〃AB的充分必要条件是△MAB=ZkNAB.
有了这条定理,就可以不用平行线性质来证平行了.实际上,这条定理在传统几何课程中也用来判断
直线的平行,只不过不常使用而已.
例1:(三角形中位线定理)如图,4ABC中,D、E分别是AB、AC边上的
中点,用面积方法证明:DE〃BC且DE=』BC.
2
证明::D、E分别是AB、AC边上的中点,
AAADE:△BDEMADE:ACDE=1:1
.".△BDE=ACDE,DE〃BC
.*.ZDBC=ZADE山共角定理得:△ADE/Z\ABC=ADDE/ABBC=l/4
VAD=-ABADE=-BC.
22
这里,证明平行用到了平行的基本命题,证明线段的比值用到了共角定理.
传统证法中,要用到全等三角形、平行四边形或相似三角形,同时要作辅助线构成全等、相似、或平行四
边形.
例2:(1983年美国中学数学竞赛题)如图的三角形ABC的面积为10,D、
E、F分别在边BC、CA、AB上,月.BD=2,DC=3,若4BCE与四边形
DCEF的面积相等,则这个面积是()
5V10
A.4C.5D.6E.不确定
3
解:由4BCE与四边形DCEF的面积相等,在四边形BCEF中分别减去这
两个面积,得4BFD与4BFE同底且面积相等,所以BF〃DE,可以得到
AB为边的两个三角形4ABD与4ABE面积相等,因为三角形ABC的面积
为10,且BD=2,DC=3,所以4ABD的面积等于4,即4ABE面积等
于4,所以4BCE的面积等于10—4=6,故选C.
这是一道由面积相等推知两线平行的典型题目.
例3:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
证明:VOA-OC,OB=OD,由共角定理得:AAOB/ACOD-OAOB
=OC-OD=1
即△AOB=4COD,共底的两个三角形△ACB=Z\CBD,...ADaBC;
同理可证AB〃CD
问:共边定理怎么证线段相等?
答:常常是共边与共角两个定理都会用到。利用面积相等,并且面积比中有相等的线
E,n
BiC
段,消去等量,于是剩下的也是等量之比。
例4:(等腰三角形两腰上的高相等)已知:如图,AB=AC,CELAB于E,BDLAC于D,
求证:BD=CE.
解:由三角形面积定理得:SAABC=|ABCE=|ACBD
:AB=AC,;.BD=CE;
本题是直接用等底三角形血积相等推出高相等,相比于全等三角形证法要简洁得多。
例5:如图,已知AD平分NBAC,BD±AD,DE〃AC,DE交AB于F点
求证:BE=EC.
证明:连接C、F,由平行线性质,得△DFC=4DFA;
由AD平分NBAC,DF〃AC,可得NFAD=NFDA,.\AF=FD
由BD_LAD,得NFBD=/FDB,;.BF=DF;;.AF=BF
.".△DFB=ADFA;△DFC=Z\DFB;ABE:EC=ADFC:ADFB^l:1,即BE=EC.
本题是用共边三角形面积相等推出线段相等。
例6:如图,Z\ABC中,AB=AC,BD=CE,
求证:DF=EF.
证明:连接CD、BE,VAB=AC;.NDBC与/BCE互补,由共角三角
形定理:ADBC:ABCE=BDBC:CEBC
;AB=AC,BD=CE,得△DBC=Z\BCE,
再由共边定理得:ZSDBC:△BCE=DF:FE=1:1
;.DF=EF.
本题先用共角三角形定理证得4DBC与ABCE面积相等,再由共边定
理推出线段相等。相比于先作平行线构造全等三角形,再由全等三角形证
线段相等的证法,面积法显然更巧妙。
例7:在等腰直角三角形A8C的斜边BC上取一点。,使
3
作5EJL4O交AC于E,求证:AEEC.
证明:连结CF,由OC=』8C,得图中两个阴影三角形的面积之比为1:2,
3
即:ZXAFC:△AFB=1:2,又由8EL1D,等腰直角三角形48c的条件,得
Nl+N2=/3+N2=90。,;.Nl=/3,由共角定理得:AF-AC:ABBF=AAFC
:AAFB=1:2
AAF:BF=1:2,由4AFB与4AEB相似,得AE:AB=1:2,AAB=ACAAE
=EC
本题先用CD:DB=1:2得到两个阴影三角形的面积之比为1:2,再由共角
三角形定理证得AF:BF=1:2,过程相当简洁明了。
问:共边定理怎么证比例线段?
答:共边定理最适合用来求同一直线上的两条线段的比值,或反过来,已知同一直线上的两条线段的比值
求共边三角形的面积比。由于共边定理有四种位置图形却对应同一个比值,所以怎样选取最合适的两个三
角形就成为正确解题的关键。也因为图形选择的差异,造成了不止一种解法。只有通过一定的练习量,才
能做到迅速正确地选择适当的共边三角形。
例1:已知在AABC中,D为BC的中点,E为AD的中点,BE的连线交AC于F.
求证:AF=-AC.
3
解答:构造以BF为公共边的两个三角形4ABF和△DBF,则由两个中点的条件,得三个三角形4ABF和
AFAARF11
△DBF、4DCF面积都相等,由图易得把=空空=上,所以AF=±AC.
FCACBF23
例2:AABC中,D是BC上的一点,一=2,E为AD上一点,一=
DCED
.AFBE
求——,——
FCEF
AF
解答:①构造以BE为公共边的两个三角形4ABE和aCBE,则一=
△ABE由图易得A把T=上1.
ACBEFC6
RF
②构造以AD为公共边的两个三角形ABAD和AFAD,则生=
EF
ARADAF1
------.由一=—,设△FAD=1,则△FDC=6,•••△ADC=7;由
AFADFC6
BE_ABAD14
—=2,得△BAD=14,・・・
DCEF-AFAD
例3:(三角形角平分线性质定理)如图,AD平分NBAC,
求证:
证明:AD平分NBAC,由共角三角形定理:
△ADB:AADC=ABAD:ACAD=AB:AC
XVAADB:AADC=BD:CD
AAB:AC=BD:DC.
例4:如图,AABC中,AE=AF,AD是底边的中线且与EF交于P点
求证:ABPE=ACPF
证明::AD是底边的中线,,AABD=AACD
..PEAAEDAAEDAACD(AD为公共边,EF为顶点,注意△/2=1)
---------=---------X---------
,PFAAFDAAFDAABDAABD
AAEDAACDAEAC
------------X---------------------x-------
AABDAAFDABAF
.PEAC
VAE=AF
"PFAB
;.ABPE=ACPF
问:全等和相似方法在新概念几何中应当保留吗?
在新概念几何中,可以由面积法先推导出正弦定理和余弦定理,再推出全等三角形判定定理和相似三
角形判定定理,实际上,新教材中可以完全不用全等和相似方法.但作为欧式几何的宝贵遗产,在许多问
题中它们有明显的优势,为了让两种教材更好地兼容,各取所长,减少新几何推广的阻力,张景中也是主
张保留全等和相似方法的.
例如下面这道题目,三种解法就各有利弊.
例1:已知:AABC中,AB=AC=BD,E为AB中点,
求证:2CE=DC
证法1(全等法):
设DC中点F,连接BF,可得BF是AADC中位线
:.BF〃AC,AZFBC=ZACB=ZABC,VBF=BE,CB=BC
.♦.△FBC丝△EBC,;.EC=CF=FD,
证法2(相似法):
由两边成比例且夹角相等,可证△AECS^ACD;
在AAECfilAACD中,AE:AC=AC:AD=1:2
.♦.△AECs/XACD,ACE:CD=AC:AD=1:2,;.2CE=DC
证法3(面积法——勾股差定理):
设AE=1,贝ijAC=AB=2,AD=4,
由勾股差定理得:ZXAEC:△ACD=1:4=(AE'+AC-ECZ):(AD2+AC2-CD2)
=(1+4-EC2):(16+4-CD2)=(5-EC2):(20-CD2)
即4(5-EC2)=20-CD',A4EC2=CD2,.*.2CE=DC
三种证法的评价:
全等法需要构造全等三角形,但反而是学生最易想到的解法;
相似法最简洁,两步就完成证明,是最优解法;
勾股差定理是新概念几何特有的定理,与余弦定理等价,但不出现角的余弦,比余弦定理好用.
勾股差定理是:AABC:△A1B1C|=(a+b-c):(a;+b;-c:)
问:共边定理怎么证正弦定理和余弦定理?
答:都可以用三角形面积公式推出.
正弦定理:VAABC=—bcSinA=—acSinB,.".bSinA=aSinB,同理可得
22
,~.abc
bSinc=cSinB,..----=-----=-----;
SinASinBSinC
余弦定理的证明较繁,要将原三角形绕C点旋转90。,再用面积方程推导:
证明:设AABC中各顶角所对边分别为a、b、c,将aABC绕C点旋转90。,延长AB,与AB交与点D,
可得:
△BAB+AAA'B'=ABCB^AACA^△BCA,—△ACB,,即
1,11,11,1,
-BD+-cAD=-a2+-b2——abSin(90°+Zzc)——abSin(90°-Zc)
—c——a-Hb-----abCosC----abCosC
22222
.,.c2=a2+b2—2abCosC
同理可得其余两个表达式.
问:共边定理怎么证传统难题?
答:许多传统的几何难题或数学竞赛题在有了共边定理和共角定理之后,立刻就变得容易起来了,在这个
领域内,面积方法发挥了最大的效用,新方法的简洁、巧妙,有时令人叹为观止。这部分是所有介绍新概
念几何的书籍都津津乐道的篇章。当然,对于初学者来说,还是有一个逐渐熟悉的过程。
例2:在aABC内任取一点P,连接PA、PB、PC分别交对边于X、Y、Z点.
求证:整+n+思n
AXYBZC
证明:这是•道用共边定理证明的典型好题,在传统证法难以入手的题中,正好是共边定理一个极其简单
的直接应用,只要用P点与各边分成的每一个小三角形与大三角形相比
再相加,立即得到结论!
PX,PY,PZAPBC,APCA,APAB
---HI-----------+-------+--------1
AXYBZCAABCAABCAABC
例(梅涅劳斯定理):在AABC的两边取X、Y,直线XY与BC的延长线交于Z点.
AXBZCY
求证:••=1
XBZCYA
AXRZCYAAXZABXZACXZ
证明:
XBZCYAABXZACXZAAXZ
例3:著名数学大师华罗庚在《1978年全国中学生数学竞赛
题解》前言中,给出了这样的一道几何题:如图,凸四边形
B'
KFL
ABCD的两边DA、CB延长后交于K,另外两边AB、DC延长后交于L,对角线DB、AC延长后分别与KL
交于F、G.
「KFKG
求证:一二
FLGL
KFADBK
(以BD为公共边的两个三角形的面积比)
FLADBL
ADBKAKBL/
=----------X---------C化为两组面积的比)
AKBLADBL
--X—(化为两组线段的比)
CLAD
竺”(化为有同•个三角形DAC的两组面积的比)
ALACADAC
AKACKG
(消去公共三角形,化为线段的比)
ALACGL
这道题的的难点在于没有全等,没有相似,也没有给定的比值,按照传统方法步.骤相当多,也不易
理解,所以20多年没有人给出简单巧妙的解.在熟悉了共边定理以后,这一类题真的变简单了
例4:四边形ABCD中,M、N分是CD、AB边的中点,BC、AD的延长线交NM延长线于P、Q两点.
求证:AQ:QD=PB:PC
分析:AMNA:AMND=AQ:DQ(以MN为底,A、D为顶点)
△MNB:△MNC=PB:PC(以MN为底,B、C为顶点)
△MNA=AMNB;△MND=ZXMNC(:MN是中点)
AAQ:QD=PB:PC
说明:本题中三角形的选择是关键,只有这样,才能同时用到两个中点.
例5:四边形ABCD中,AD=BC,AB、CD的中点分别为N、M,延长BC、
AD交直线MN与P、Q.
求证:PC=QD
分析:本题是上题的变式.将上题中的比值:AQ
:QD=PB:PC化为
AD:QD=CB:PC,当AD=BC,就有PC=QD.A
再看看本题的传统证法:如左图,过D、C分
别作的平行线证明两个三角形全等,
FABDE,CF,
然后再证两组三角形相似,将AQ:QD转化为AN:DE
ABPB:PC转化为BN:CF,再经等量代换得到结论.用到一次全等,两次相似,
N
思考的难度大,证明的过程繁,显然不能与共边定理相比.
问:怎样用面积法证面积题?
答:已知比例求面积的题目,传统证法往往不易找到思路,所以成了难题,往往在中小学数学竞赛中出现.其
实,这类题使用共边定理是最好的方法.
例6:如图,四边形ABCD中,AAOD面积=2,Z^DOC面积=3
△COB面积=6,求AAOB面积.
解法1:
VAAOD面积:△DOC面积=2:3=AO:OC-AAOB面积:ZXCOB
面积,;△COB面积=6.♦.△AOB面积=4
解法2:
VAAOD面积:4DOC面积=A0:OC=AAOB面积:ZkCOB面积,
/.AAOB面积xz\DOC面积=4COB面积x/\AOD面积
这里得到一个新的定理:四边形对角线分成的四个三角形中,相对的两个三角形面积的乘积与另一组相对
的两个三角形面积的乘积相等.用上这个定理,就可以跳过共边定理直接用最后一步解题了.
AAOB面积=2x6+3=4.
例7(17届希望杯全国赛初二第二试19题):
AD1
如图,等腰AABC中,AB=AC,P点在BC边上的高AD上,且把=上
PD2
BP的延长线交AC于E,若打咏=10,贝I」S^BE
AE:EC=
解:YSMBE:SADBE=AP:PD=1:2SADEC=S&DEB即SgBE
SADBE■SgEc—1•2•2,•SgBc—10,♦♦SW)E—2;S^EC—4;
AE:EC=5M£D:SRCED=1:4
例8:AABC中,D点在BC边上,且空■=1,P点在BC边上的
DC3
_,AP1
局AD上,且a---=—
PD2
BP的延长线交AC于E,若SMBC=18,贝/S&DEC
AE:EC=
解:^&ABE,^SDBE-SAOEC=1,2,3
•**则=-----2_,SA/”:C-6
AE:EC=1:5
例9:如图:^ABC中,E为中点,AD:DC=2:1,Z\EBF面积是15,求AABC的面积.
解:连结CF,'.任为中点且4EBF面积是15:A
...△ECF面积=z\EBF面积=15;
,/AD:DC=2:1;.AAFB面积:4FCB面积=2:1
Z\AFB面积=60,E为中点...△ACF面积=Z\AFB面积=60
.,.△ABC的面积=15+15+60+60=150.
例10:如图所示,已知在平行四边形ABCD中,AE:EB=1:2.
(1)求4AEF与4CDF的周长比;
(2)如果SABCD=6平方厘米,SAADE.
解答:VAE:EB=1:2AAE:AB=AE:CD=1:3,由△AEFsaCDF,可得它们的周长比为1:3;
SAADE-~SAABD~-SAABCD**"SABCD~6平方厘米,S4ADE=1平方厘米.;
36
例11:如图所示,BD,CF将长方形ABCD分成4块,4DEF的面积是4cm4CED的面积是6cm问:
四边形ABEF的面积是多少平方厘米?
解:连结BF,则△BDF面积=△CDF面积=10,.♦.△BEF面积=6;设面积为x,F
则有:A|-7^7|D
4x=6x6,x=9:ZXBDC面积=15,长方形ABCD面积=30.•.四边形ABEF的面积,'/
是Bc
平方厘米,"
15—4=11
例12:如图,FB、AD、EC互相平行,△ABC的面积为1,求4FDE的面积。
解:由AD〃EC,得△ADC=ZkADE,同理△ABD=Z\AFD,
.,.得△ADE+Z\AFD=Z\ABC=1
又山FB〃EC,得△ECB=Z\ECF,AABC+AACE=AAEF+AACE
即△ABC=Z\AEF=1
.•.△FDE=AAEF+AADE+AAFD=2
例13:如图,已知三角形ABC面积为1,延长AB至D,使BD=AB,
延长BC至E,使CE=2BC,延长CA至F,使AF=3AC,求三角形DEF
的面积。
解:连结BD,EC,由已知条件可得,△DAB=1,ADBE=2,ACBE
=2,
△FCE=6,AFCD=6,
.,.△DEF=l+l+2+2+6+6=18
这题也是面积法最基本的题型.
例14:在A4BC的三边BC、CA、AB上分别取点D、E、F,使BD=3DC,CE=3AE,AF=3
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