第2讲 金属自由电子气的Drude模型

电子教案固体物理基础桂林理工大学xiaojianrongPAGEPAGE1第2讲金属自由电子气的Drude模型（教学课时2课时）本讲要点•Drude（特鲁德）用类似于理想气体的方法处理金属中电子的运动——自由电子气体，包含一些近似和假定*自由电子近似、独立电子近似、弛豫时间近似，经典统计•Drude模型得到的一些与实验符合较好的结果*电导率、热导率、Wiedemann-Franz定律（威德曼-弗朗茨）•Drude模型碰到的困难、原因及在此框架下的解决之道*电导率，热导系数#原因，没有那么多电子对电导有贡献#解决方法：不用经典统计，用量子（费米）统计概念要点•自由电子近似*电子—离子间除碰撞瞬间，无相互作用•独立电子近似*电子间无相互作用•弛豫时间近似*给定电子前后两次与离子碰撞的平均时间•漂移速度*漂移速度即在弛豫时间内电场对电子加速的结果#其前提为：碰撞后，电子漂移速度为零！#电流即源于这个电子的漂移主要内容1.模型的建立——基本假定及其合理性2.金属电导率3.电子气的热传导4.Wiedemann-Franz定律5.Drude模型的局限6.固体的微观描写专题1：代替引论。完整的模型建立过程——如何根据已知的物理现象，可供使用的物理理论和数学工具，建立模型、对比实验、验证并修正模型——过程比结论更重要1、模型的建立——基本假定及其合理性•为什么研究固体从金属开始？*最基本物质状态之一，元素周期表中有2/3属于金属，应用很广泛，当时对金属的了解比其他固体多#比如，电导、热导、光泽、延展等性能很早开始就被广泛应用*区分非金属，实际上也是从理解金属开始•当时已经知道很多其他固体所没有的金属性质*这些性质很多已经有应用，亟需知道其之所以有这些性质的原因,那么，当时对金属所知有多少？金属知多少？•良好的导电体、导热体*与温度有关•延展性、可塑性*金属光泽？•Wiedemann-Franz定律（1853）*当时热传导在应用上比电导更重要，但测量很困难：LT=σ/κ从这些现象得到的对金属的认识•良好导电体、导热体？*组成金属的原子大多位于周期表左边#金属原子容易失去价电子#金属电导和热传导可能是价电子起作用？•延展性、可塑性？*与组成金属的原子之间的相互结合的方式有关#结合没有方向性，区别于共价键，金属键(?)†金属键——形象地说，价电子形成负电背景，正电荷镶嵌其中，库仑作用的结合#金属的结构几乎都有相对较高的配位数(?)†配位数——形象地说，就是原子周围最靠近该原子的原子的个数（晶体结构中将涉及）金属中电子行为的推测•金属特点*价电子可以活动的区域较大比如，Li原子间距3A，而原子半径（？）原子核小分布很稀因此，价电子活动空间大†价电子：束缚？自由？•分析→推测→图象（要能够自圆其说？）*芯电子行为：束缚在原子核周围形成离子实，不参与导电*价电子行为：核对它们的吸引力弱，可以离开核的束缚，可以自由地在整个金属中移动，这部分电子参与导电当时可供使用的物理工具？•1897年Thomsom的电子论*一个转折点*PaulKarlLudwigDrude（1863——1906）意识到金属的导电（热）性质可能与电子有关*当然也可以质疑这种猜测#电子对导热有贡献有何根据？•1900年物理学的状况？*量子力学还处于萌芽状态*只有经典物理，连原子结构的正确理论尚未建立#但当时，理想气体的运动学理论已经非常成功！如何建立模型？•Drude的经典金属自由电子气模型（1900）*在微观层次上解释实验测量的第一个理论模型*首先用于解释电导、热传导问题•那么如何根据已知的金属性质，构造模型？•在这个层次上，根据上一讲有三点需考虑：1.经典还是量子？*无可选择！当时只有经典可供使用2.如何描写体系粒子间相互作用？*价电子之间？3.如何处理1029/m3个粒子？*价电子与离子实之间作用？也几乎无可选择！价电子运动图像传导电子、芯区、原子核Na1s22s22p63s1：价电子数量少，空间大思考——假如你是Drude•根据已有线索，如何仿照理想气体建立模型？*与理想气体（电中性）还是有些不同！除了碰撞的瞬间，可以不考虑其他。但现有两种带电粒子•有库仑相互作用？那么*电子-电子如何相互作用？*电子-原子核如何相互作用？•还没有完——模型将用来研究电导和热导，输运过程，非平衡过程，所以*还需规定体系将通过什么方式建立热平衡？#即，在没有电场（温度梯度）时、在有电场（温度梯度）时，电子如何达到热平衡？#按理想气体做？金属中价电子势(与原子核相互作用)既然搞不清？那么，或者彻底简化；或者归到另一个也仍然不清楚的作用中去——腾挪！物理中常用手段（1）（2）（1）金属中价电子真实势场的一维示意图：起伏的部分是价电子所遭受的有效势（2）Drude模型假定的金属中价电子的势场示意图——常数！？因为真实的还不清楚！讨论（看能不能自圆其说)•芯电子被原子核紧紧束缚，形成离子实，本声固定，不参与导电•价电子脱离原子核的束缚而在固体中自由运动•离子实对价电子的作用可忽略不计*离子实的作用仅维持固体结合，维持电中性*离子实在整个空间平均分布，包括核电荷•金属中的价电子就象无相互作用的理想气体•但模型与理想气体又有所不同：*电子气体的浓度比典型的理想气体大三个量级*有两种粒子：电子，离子加些限制(基本假定)，完成Drude模型构造模型的三个基本假定•独立电子近似：电子与电子无相互作用*很糟糕的近似，但多体问题现在也还无解决之道*与其他相比，多数情况下最不重要•自由电子近似：除碰撞的瞬间外电子与离子无相互作用*即使以现代量子的观点来看也是很好的近似。#1916年的Tolman实验支持这个假定；#其深刻的物理原因就是电子在周期结构中运动•弛豫时间近似：一给定电子在单位时间内受一次碰撞的几率为1/τ*不可能完全自由电导率无穷大，无法取得热平衡#对照上面所说的周期性结构中运动电子建立热平衡的方式——与离子实的碰撞•碰撞前后速度无关联；*对以前的速度没有记忆#合理吗？•碰撞后获得速度的方向随机；*合理的假定•速率与碰撞处的温度相适应*很含糊？*但是没有关系，因为方向随机，平均没有贡献2、金属电导率•没有外电场时，电子各个运动方向等价，互相抵消，没有整体流动，无电流。当有电场存在时，电子受力F=−eE•这个力使电子有了一个与电场相反方向的总体漂移，速度v漂移，显示出电流，其电流密度j=−nev漂移*思考：电子的漂移速度与电子内在速度比较？•n是电子密度。根据牛顿定律，电子将被加速，飘移速度会随时间不断增加，趋于无穷•需要检查电子运动方程中被散射的机制！散射图像•弛豫时间近似：一给定的电子在单位时间经历一次碰撞的几率为1/τ•弛豫机制：电子漂移速度从零开始增加（一旦与离子相碰撞，漂移速度即为零），在下一个弛豫时间里，在电场作用下，电子的漂移速度再从零开始增加。*思考：碰撞后平均漂移速度为零，合理吗？•电子碰撞后在电场力作用下加速，到下一次碰撞前（时间τ）可以获得的速度即漂移速度估计(由实验电导率)σ=ne2τ/m•在无法知道碰撞的细节时，τ是最重要的*电导可测，如果取n~1022-1023cm-3，在室温下，弛豫时间大约在10-14~10•可估计平均自由程：l=vτ•v可由能均分定理得到，室温时，~107*数量级的差别！思考：实际应该大还是小，比为什么？•于是，l~10A，基本与原子距离的量级相当*似乎很合理，与Drude假定自洽*但实际电子平均自由程要大103倍*在极低温更大，l~cm，几乎是108倍的原子间隔#有深刻的物理原因评论σ=ne2τ/m•这里碰撞或者说被离子散射是电阻的根源，无碰撞，弛豫时间无穷大，电导率无穷大•观察这个公式，除了弛豫时间外，其他都是已知的。有一待定系数τ，因此总可以与实验符合，从而直接与实验比较就没有意义，除非这个系数独立，即对所有材料都相同！•已经知道，电导率与温度有关。但这个关系可以说已经包含，也可以说没有包含，因为有待定参数，τ与温度有关•Drude模型成功在Wiedemann—Franz定律先看热传导系数3、电子气的热传导•热流密度与热导系数的关系:jq=-K▽T•直觉：导体好于绝缘体——电子导热•一维情况（热流是能量的输运）电子在高温处以及在低温处经最后一次碰撞，到达x处，携带能量不同，导致热流。x处的密度n，高温、低温处各贡献一半，1/2n能量均分定理←经典的M-B分布•利用能量均分定理和定容比热的定义•比较前式，可得•根据电子平均能量，即可得评论Cv=3nkB/2•金属电子对比热的贡献完全失败！•比热与温度无关！被严重高估*实际上，室温时，金属与绝缘体几乎一样，所以比热并非电子贡献，而是原子振动的贡献；即使低温时，电子对比热贡献显著可以和原子振动比拟时，每个电子贡献3kB/2，也还是高估两个量级•也就是说，电子实际上没有那么大的热容量！*或说，好象只有很小一部分电子对比热有贡献！*思考：为何如此？•思考：电子热传导会不会导致电子定向流动，形成电流？4、Wiedemann-Franz定律(1853)•Drude取Cv=3nkB/2；mv2/2=3kBT/2•假定热导和电导的弛豫时间相同，L为Lorentz数，与实验值同数量级评论上式•L1×10-8WΩ/K2，是实验值的约一半•Drude当时在推导电导率时出错，电导率小了一半，所以得到L大了一倍，*L×10-8WΩ/K2，与实验值相符•Drude模型最成功之处是解释Wiedemann-Franz定律，与很多更精致、更复杂的理论得出的值相差不多•稍微精确点的理论可以得到，只差一个常系数5、Drude模型的局限性•电子对比热的贡献与温度无关，过大（102）•电子速度，v2，太小（102）•什么决定传导电子的数目？价电子？•磁化率与温度成反比？实际无关•导体？绝缘体？半导体？•？等等研究方法特点？实验鉴定，逐步修正如何修正？•放弃经典理论，改经典统计为量子统计（1）•放弃自由电子近似：考虑电子与离子实的相互作用。这时离子实固定→晶体的结构（2）•考虑电子与周期性排列的离子实的相互作用→能带理论（3+4）•放弃离子实固定→晶格振动（5）•放弃弛豫时间近似→输运理论（6）•放弃独立电子近似（电子的关联问题，非常复杂——专题）•具体来看如何修正6、固体的微观描写电子坐标，核坐标近似步骤——绝热近似•基本事实：原子核比电子重得多•绝热近似：考虑电子运动时可不考虑原子核得运动。原子核固定在它的瞬间位置。进一步的近似和简化处理独立电子近似自由电子近似•同经典自由电子气，但用量子统计——第一章的其余内容——Sommefeld模型•如果要去掉自由电子近似，则仍需加上•但需要对原子核位置的理想化，才能处理1029/m3数量级的原子*静止（绝热近似）*周期性排列近似，即*这个关系就是结构的平移周期性的数学表示——第二章、晶体的结构•在周期性结构中，因•就有•考虑电子-电子、电子-周期性静止排列的原子核的相互作用•且第三、四章、能带理论•前面都是绝热近似，即在考虑电子运动时，不考虑原子核运动，现去掉绝热近似，但这时不考虑电子的运动，H就一项•但假定原子仅在平衡位置附近运动，而这种平衡位置仍呈周期性排列，可用经典处理→第五章、晶格振动（量子化——声子）•如果考虑原子核运动的同时也考虑电子运动，需加上•考虑电子与晶格振动（声子）的相互作用——第六章、输运现象*又回到金属电导，但已是另一层次模型逐级修正的需要、根据及结果•金属自由电子气模型*量子统计自由电子气体——局限出自没有考虑结构•晶体的结构*原子固定在平衡位置，1029数量级的困难，抽象——周期排列•能带理论*电子在周期性排列的结构中运动•晶格振动*周期性排列的原子的运动——声子，固体比热•电子输运理论*同时考虑电子、原子运动——电子与声子相互作用本讲存疑（以后讲解中还会涉及）•金属键•配位数•独立电子近似（电子与电子无相互作用）多数情况下可以作为整体来处理*与其他相比，最不重要单电子近似（作为整体效应）→对大部分材料都是较好的近似•自由电子近似（电子与离子无相