第一章第七节的直积是群论重要概念也研究结构与构造工具之一利用

第七节定义1.7.1.设G1与G2是两个群，G1与G2的积G1G2{(a1,a2|a1G1,a2G2}关于乘法(a1,a2b1,b2a1b1,a2b2G1G2的外直积（Externaldirectproduct，仍记为G1G2。注.（1）如果G1的单位元为e1G2的单位元为e2，则G1G2的单位元为(e1e2对任意(a,aGG，则(aa的逆元为(a1,a1 当G1与G2都是有限群时，则G1G2也是有限群，且|G1G2||G1||G2|1.G{e,a2阶循环群，则GG含有四个元，即GGeee,a(a,e),(a,a。由于(e,a)(e,a)(e,e)，(a,e)(a,e)(e,e)，(a,a)(a,a)e,e)，故GG例1.用Cn表示n阶循环群，则C3C5C15证明由于C3C5含有15个元素，故只需证明C3C5里存在一个周期是15的元素即可。设C3aC5b，则(a,b)15a15,b15e,e。设(a,b的周期为k，则k|151k1,3,5，故k15pq是互素的素数，可证CpCqCpqs与t(s,t1，恒有CsCtCst在外直积G1G2中，令G1{(x,e2|xG1}G2{(e1y|yG2}，则容易验证G1)与G2的元素的积，且表示法是唯一的。1.7.1.设G有两个正规子群G1与G2使得G的每一个元素都可表为G1与G2的元素的积，而且表示法是唯一的，则GG1G2。证明.由于G1与G2是群G的正规子群，故G1G2是G的一个子群。由于G中每个元素均可表为G1与G2的元素的积，故G1G2G。作G1与G2的外直积G1G2令f:(x,y) 则f是G1G2到G的一个映射。由于G中元素写为G1与G2的元 性，即由xyxy可得x yy。所以，f是G1G2到G的一个单射。又G的一个满射。

yG2故f(x, ，从而f是G1G2下面证明f保持群运算。为此，我们需要证明对任意xG1,yG2 2事实上，由于xyx1y1xyx1y2

xyx1y1xyx1y1G，故1 。又由于G中每个元素均可表为G与G 这个条件表明 G2，则aaeea，故ae因此，我们就有xyx1y1exyyxxxG,yyG，有 fxyx,y f(xx,y xx x fx 1.7.2.设G1与G2是群G的正规子群，且G的每个元都可以表为G1与G2的元的积，并且表法是唯一的，则称G是G1与G2的内直积（Internaldirectproduct。1.7.2.设G1与G2是群GG是G1与G2（1）GG1G2；（2） G2e}（3）任aG1,bG2，有abba证明.如果G是G1与G2的内直积显然1成立任取aG1 G2则则aaeea。由G中每个元素均可表为G1与G2的元素的积的表法唯一性知ae（2）成立。由于G是G1与G2的内直积，故 G， G。于是，对任意aG1,bG2，与定理中的证明类似，由于aba1b1a(ba1b1) 及aba1b1(aba1)b1G aba1b1e，即abba反之，设G有两个子群G1与G2满足条件（1）与（2）及（3。任取xG，aG1，则xxx，这里xG,xG。于是，xax1(xx)a(xx)1 x(xa1x)1x1 1 1 x(axx1)x1xax1G，从而 G。类似可证 G。由GGG知G中任 2 1元素可表为G1与G2的元素的积。下面证明表示法是唯一的。若ga1b1a2b2，这里a,aG,b,bG，故a1abb1G G{e}。于是，由a1ae知aa； 2 2 1 2 3.设Ga，其中apq，且pq)1。令G1ap，Gaq，则2是G1与G2证明.由于pq)1s,tpsqt1，从而有aap)s(aq)t。于是，GGG1如果任取xG1G2，则x的周期k是p的因数，又是q的因数，从而k|(p,q)。因此，k1。即G1G2e}。又G1.7.2的条件（3）显然成立，所以，G是G1与G2的内直积。关于群G表为两个子群G1与G21.7.3.设G1与G2是群G的子群，则G是G1与G2的内直积的充分必要条件是G中每个元可唯一表为G1与G2gab，其中aG1,bG2G1中任意元与G2中任意元可交换，即对任aG1,bG2，有abba证明.必要性：如果G是G1与G2的内直积，则条件（i）显然成立。只需证明条件（ii）成立即可。对任意aG,bG，考虑元素gaba1b1。由于 G， G，故 们有ga(ba1b1)aGG同时，g(aba1)b1Gb1G因此，g 1.7.2的条件（2）ge，从而aba1b1e。即有abba充分性：只需证明 ， 即可。由（i）知GG1G2，故对任意aG1，gggGGGgag1ggag1g1gagg1g1gag1G1 1 1 2 G。同理可证G2 G。所以，由内直积的定义即知G是G1与G2的内直积。定理1.7.4.如果群G是正规子群G1G2的内直积，则G1G2GG1与G2证明.如果群G是正规子群G1与G2fG1G2G,(任(a,bG1G2。由于GG1G2f1.7.3知，G中元表为ab形f((a1,b1)(a2b2f(a1a2,b1b2a1a2b1b2a1b1)(a2b2f(a1,b1f(a2b2f是同构映射，从而G1G2G 个表示法也具有唯一性，且对任意的(a1,e2G1(e1,a2G2，有(a1e2e1a2与f:

注(1)对于群的内直积和外直积，一定要注意外直积GG1G2中的群G1与G2直积的概念容易推广到n定义1.7.3.设G1,G2 ,Gn是n个群。笛卡儿积G1G2 作成的群称为G1,G2 ,Gn的外直积，仍记为G1G2 设Gi的单位元为ei(i ,n)，则GG1G2 (a,a ,a)1 ,a1)，当G均为有限群时，|G||G||G |G| 令fi: ,en)则fi是Gi到G的一个单同态，令Gifi(Gi)则Gi是G的正规子群。同时，GiGi,i ,,定理1.7.5.设群G有n个正规子群G1,G2,G1,G2, ,Gn的元的积，则GG1G2 Gn。证明.由于G的每一个元都可唯一表为G1,G2,

G的每一个元都可唯一表为的元的积，可证对任意aiGiiji1 ij j ajGj，这里ij有aaij 。事实上，因为aaaa1(aaa1)a1a(a ，而对x G2，有x e e，从而xe。即 G{e}。所以，aaa1a1e，从而 ij i j令GG1G2 Gn，f:(a1,a2 ,anf((a1,a2

anf是G到G bnf(a1,a2 ,an)f(b1,b2 即GG定义1.7.4.设G1,G2 是群G的n个正规子群，且G的每一个元都可唯一表为G1,G2, ,Gn的元的积，则称G是G1,G2, 定理1.7.6.设G1,G2 ,Gn是群G的n个子群，则G是G1,G2 G nGiGjjj对任意aiGi，ajGj，这里ij，有aai 定理1.7.7.如果群G是n个子群G1,G2, ,Gn的内直积，则G同构于G1,G2, A是任意的，可数集或不可数集均可以。令G表示笛卡儿积GG{f|f:A

G,f()G的直积，记为GG直观地看，G )|aG,A}，G的运算为 G的单位元e( ,e, )，e是G的单位元，令N{f|fG,除有限多个外，对所有A,f()e}，则N是G的正规子群。当诸GGNf|fG除有限多个外，对所有A,f(e群G1,G2 GG1G2 Gn

4.设G,GAgA是G到GxGfx: 则fxG，且g: fx是G到G的一个同态

GfxGfxy()g(xy)g(x)g(y)xf(gxyfxy()fx(fy()gxgy),(xyGg是G到G

设群GAB的（内）NA的正规子群，证明GNANB设A,B是群G的正规子群，且GAB，证明G BA BB BA