建筑力学影响线

建筑力学影响线第一页，共四十六页，2022年，8月28日16.1影响线的概念影响线是讨论移动荷载作用时，结构中内力(位移、支座反力)随荷载位置的改变而变化的规律。实际工程中所遇到的移动荷载，通常是间距不变的平行集中荷载或均布荷载。为简便起见，先研究一个竖向单位集中荷载P=1在结构上移动所产生的影响，然后根据叠加原理再进一步研究各种移动荷载对结构产生的影响。表示方向不变的单位集中荷载P=1沿结构移动时，某量值变化规律的图形，称为该量值的影响线。第二页，共四十六页，2022年，8月28日16.2单跨静定梁的影响线下面以图16.1(a)所示简支梁AB为例来说明简支梁影响线的作法。（1）

反力影响线

RB影响线：取A点为坐标原点，以P=1的作用点与A点的距离为变化量x，取值范围为0≤x≤l。设反力以向上为正。利用平衡条件∑MA=0，得

RB=x/l×P=x/l(0≤x≤l)16.2.1简支梁影响线第三页，共四十六页，2022年，8月28日图16.1第四页，共四十六页，2022年，8月28日当x=0时，RB=0当x=l时，RB=1RB的影响线如图16.1(b)所示。由RB影响线的绘制过程可知，作影响线的一般步骤是：

①选择坐标系，定坐标原点，并用变量x标记单位移动荷载P=1的作用位置；

②利用静力平衡条件确定所求量值影响线的方程，并注明变量x取值范围；

③根据影响线方程绘出影响线。第五页，共四十六页，2022年，8月28日

RA影响线：仍取A点为原点，P=1至A的距离为变量x。根据力矩平衡条件∑MB=0，有

RAl-(l-x)=0RA=(l-x)/l由x=0时，RA=1x=l时，RA=0可以绘出RA的影响线如图16.1(c)所示。第六页，共四十六页，2022年，8月28日

(2)

弯矩影响线下面作图16.1(a)所示简支梁所指定截面C的弯矩MC的影响线。MC的全部影响线如图16.1(d)。通常称截面以左的直线为左直线，截面以右的直线为右直线。

其绘制方法是：在左、右两支座处分别取竖标a、b，如图16.1(d)，将它们的顶点各与右、左两支座处的零点用直线相连，则这两条直线的交点与左右零点相连的部分就是MC的影响线。第七页，共四十六页，2022年，8月28日

(3)

剪力影响线设要作出简支梁指定截面C的剪力QC的影响线。当P=1在截面C以左部分AC段上移动时，取BC段为隔离体，由∑Y=0，有

QC=-RB

(0≤x＜a)当P=1在截面C以右部分BC段上移动时，取AC段为隔离体，由∑Y=0，有

QC=RA

(a＜x≤l)据此可作出QC影响线如图16.1(e)所示。第八页，共四十六页，2022年，8月28日设外伸梁如图16.2(a)所示，需作出反力RA、RB以及截面C和D的弯矩、剪力影响线。(1)

反力影响线取支座A为坐标原点，以P=1作用点到A点的距离为变量x，且取x以向右为正。利用简支梁平衡条件分别求得RA和RB的影响线方程为

RA=(l-x)/l(-l1≤x≤l+l2)RB=x/l(-l1≤x≤l+l2)据此，可作出反力RA和RB的影响线如图16.2(b)、(c)所示。16.2.2外伸梁的影响线第九页，共四十六页，2022年，8月28日图16.2第十页，共四十六页，2022年，8月28日

(2)

简支部分任意截面C的内力影响线当P=1位于截面C以左时，求得MC和QC的影响线方程为

MC=RB·b(-l1≤x≤a)

QC=-RB(-l1≤x＜a)当P=1位于截面C以右时，则有

MC=RA·a(a≤x≤l+l2)

QC=RA

(a＜x≤l+l2)据此，可作出MC和QC的影响线如图16.2(d)、(e)所示。第十一页，共四十六页，2022年，8月28日

(3)

外伸部分任意截面D的内力影响线当P=1位于D以左部分时，有

MD=-x1QD=-1当P=1位于D以右部分时，则有

MD=0QD=0据此，可作出MD和QD的影响线如图16.2(f)、(g)所示。第十二页，共四十六页，2022年，8月28日

学习影响线时，应特别注意不要把影响线和一个集中荷载作用下简支梁的弯矩图混淆。

图16.3(a)、(b)分别是简支梁AB的弯矩影响线和弯矩图，这两个图形的形状虽然相似，但其概念却完全不同。现列表16.1把两个图形的主要区别加以比较，以便更好地掌握影响线的概念。第十三页，共四十六页，2022年，8月28日图16.3第十四页，共四十六页，2022年，8月28日表16.1弯矩影响线弯矩图承受的荷载数值为1的单位移动荷载，且无量纲作用位置固定不变的实际荷载，有单位横坐标x表示单位移动荷载的作用位置表示所求弯矩的截面位置竖标y代表P=1作用在此点时，在指定截面处所产生的弯矩；正值应画在基线上侧；其量纲是［长度］代表实际荷载作用在固定位置时，在此截面所产生的弯矩；弯矩画在杆件的受拉边不标正负号；其量纲是［力］·［长度］第十五页，共四十六页，2022年，8月28日16.3影响线的应用(1)

集中荷载作用

图16.4(a)所示的外伸梁上，作用一组位置确定的集中荷载P1、P2、P3。现拟求截面C的弯矩MC。首先作出MC影响线如图16.4(b)所示，并计算出对应各荷载作用点的竖标y1、y2、y3。根据叠加原理可知，在P1、P2、P3共同作用下，MC值为

MC=P1y1+P2y2+P3y3在这组集中荷载共同作用下，量值S为

S=P1y1+P2y2+…+Pnyn

(16.1)16.3.1当荷载位置固定时求某量值第十六页，共四十六页，2022年，8月28日图16.4第十七页，共四十六页，2022年，8月28日(2)

均布荷载作用

图16.5(a)所示简支梁DE段作用均布荷载q，求截面C的剪力QC。首先作出截面C的QC影响线，如图16.5(b)所示。全部均布荷载作用下的QC值为同理，当梁上作用有荷载集度各不相同的均布荷载，或不连续的均布荷载时，则应逐段计算，然后求其代数和，即(16.2)第十八页，共四十六页，2022年，8月28日图15.5第十九页，共四十六页，2022年，8月28日【例15.1】试利用影响线计算图16.6(a)所示外伸梁在图示荷载作用下的截面C的弯矩MC和剪力QC值。【解】

(1)作MC、QC影响线分别如图16.6(b)、(c)所示。

(2)计算P作用点及q作用范围边缘所对应的影响线图上的竖标yi值，分别见图16.6(b)、(c)所示。

(3)计算MC、QCMC=PyD+q(w1+w2)=80kN·mQC=PyD′+q(w1′+w2′)=-20kN第二十页，共四十六页，2022年，8月28日图16.6第二十一页，共四十六页，2022年，8月28日(1)

均布荷载如果移动荷载是均布荷载，而且它可以任意断续布置，其分布长度也可以是任意的，则荷载的最不利位置易于由观察确定。由式(16.2)

例如图16.7(a)所示外伸梁，由截面C的弯矩影响线图16.7(b)可知，当均布荷载布满梁的AB段(图16.7(c))时，MC为最大值MCmax；当均布荷载布满梁的AD段和BE段(图16.7(d))时，MC为最小值MCmin。16.3.2确定荷载最不利位置第二十二页，共四十六页，2022年，8月28日图16.7第二十三页，共四十六页，2022年，8月28日(2)

集中荷载若移动荷载为单个竖向集中荷载P，则最不利荷载位置即在影响线竖标为最大值处，即

Smax=Pymax(16.3)影响线为三角形的情况，研究如何确定产生Smax的最不利位置。

图16.8(a)、(b)分别表示一大小、间距不变的移动荷载组和某一量值S的三角形影响线。第二十四页，共四十六页，2022年，8月28日图16.8第二十五页，共四十六页，2022年，8月28日【例16.2】图16.9(a)所示为一跨度12m的简支式吊车梁，同时有两台吊车在其上工作。试求跨中截面C的最大弯矩MCmax。【解】(1)作MC影响线如图16.9(c)所示。(2)判别临界荷载由于当P2(或P3)位于影响线顶点(图16.9(b))时，有较多的荷载位于顶点附近和梁上，故可设P2(或P3)为临界荷载。由式(16.4)得R左/a=280/6＜(Pk+R右)/b=560/6(Pk+R左)/a=560/6＞R右/b=280/6第二十六页，共四十六页，2022年，8月28日图16.9第二十七页，共四十六页，2022年，8月28日由计算结果可见，P2是临界荷载。(3)计算MCmaxP1、P2、P3作用点处所对应的MC影响线上的竖标见图16.9(c)。MCmax=P1y1+P2y2+P3y3=280×(0.6+3+2.28)kN·m=1646.4kN·m第二十八页，共四十六页，2022年，8月28日16.4简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩如果把简支梁上各截面内力的最大值和最小值按同一比例标在图上，连成曲线，这一曲线即称为内力包络图。梁的包络图有弯矩包络图和剪力包络图。包络图表示各截面内力变化的极限值，是结构设计的主要依据。图16.10(a)所示简支梁，单个集中荷载P在梁上移动。MC影响线已示于图16.10(b)，图16.10(d)为Qc影响线，剪力包络图如图16.10(e)所示。16.4.1简支梁的的内力包络图第二十九页，共四十六页，2022年，8月28日图16.10第三十页，共四十六页，2022年，8月28日

图16.11(a)所示为一简支梁，梁上有两台吊车，其荷载及间距如图中所示。将梁分成10等份，求出各等分点所在截面的弯矩最大值及剪力的最大(最小)值，在梁上按同一比例绘出竖标并连成曲线即为弯矩、剪力包络图，见图16.11(b)、(c)所示。由以上分析可知，弯矩包络图表示各截面弯矩可能变化的范围；剪力包络图表示各截面正号剪力到负号剪力的变化范围。第三十一页，共四十六页，2022年，8月28日图16.11第三十二页，共四十六页，2022年，8月28日

弯矩包络图表示出了各截面的最大弯矩值，其中弯矩值最大者称为绝对最大弯矩。确定在移动荷载作用下的绝对最大弯矩，与两个未知因素有关：一是产生绝对最大弯矩的截面位置，二是产生绝对最大弯矩的荷载最不利位置。将各个荷载分别作为对象，分别求出其相应的最大弯矩，再加以比较，即可得出绝对最大弯矩。

图16.12(a)所示为一简支梁AB承受一组数值和间距不变的集中移动荷载作用。16.4.2简支梁的绝对最大弯矩第三十三页，共四十六页，2022年，8月28日图16.12第三十四页，共四十六页，2022年，8月28日【例16.3】求图16.13(a)所示吊车梁的绝对最大弯矩，并与跨中截面C的最大弯矩进行比较。已知P1=P2=P3=P4=82kN。【解】

(1)

求跨中截面C的最大弯矩MCmax①作MC影响线如图16.13(b)所示。②判别临界荷载。由于当P2(或P3)位于影响线顶点(图16.13(b))时，有较多的荷载位于顶点附近和梁上，故可设P2(或P3)为临界荷载。③计算MCmax。第三十五页，共四十六页，2022年，8月28日图16.13第三十六页，共四十六页，2022年，8月28日P1、P2、P3、P4作用点处所对应的MC影响线上的竖标见图22.13(b)。MCmax=P1y1+P2y2+P3y3+P4y4=574kN·m

(2)

求AB梁的绝对最大弯矩Mmax由图16.13(a)可见，绝对最大弯矩将发生在荷载P2(或P3)下面的截面。先求荷载P2为Pk时的最大弯矩：①梁上荷载的合力RR=82×4kN=328kN②确定R与Pk的间距a第三十七页，共四十六页，2022年，8月28日由于P1=P2=P3=P4，故其合力R与P2和P3的距离应相等，可求得a=1.5/2m=0.75m③确定Pk作用点位置由式(16.5(a))可知Pk与合力R应位于梁中点两侧的对称位置上，因而Pk=P2距跨中为a/2=0.375m(图16.13(a))④计算最大弯矩由式(22.7)求得Mmax=578kN·m第三十八页，共四十六页，2022年，8月28日再求P3为Pk时的最大弯矩：由于对称，P3为Pk时其荷载位置应如图16.13(c)所示。故其作用截面处的最大弯矩应与P2为Pk时的最大弯矩相等。由以上计算可见，绝对最大弯矩为Mmax=578kN·m第三十九页，共四十六页，2022年，8月28日16.5连续梁的内力包络图求梁各截面最大内力的主要问题在于确定活载的影响。只要求出活载作用下某一截面的最大和最小内力，然后再加上恒载产生的内力，即可得到两者共同作用下该截面的最大和最小内力。把梁上各截面的最大内力和最小内力的竖标连一光滑曲线，就得到连续梁的内力包络图。

弯矩包络图的绘制步骤如下：

(1)作出恒载作用下的弯矩图。第四十页，共四十六页，2022年，8月28日

(2)依次按每一跨上单独布满活载的情况，逐一作出弯矩图。

(3)将各跨分为若干等份，对每一等份截面处，将恒载弯矩图中该截面的竖标值和所有各个活载弯矩图中该截面所对应的正(或负)竖标值相叠加，得到该截面的最大(或最小)弯矩值。

(4)将各截面的最大(小)弯矩值在同一图中按同一比例尺用竖标标出，并以曲线相连，即得所求弯矩包络图。第四十一页，共四十六页，2022年，8月28日【例16.4】求图16.14(a)所示三跨等截面连续梁的弯矩包络图和剪力包络图。梁上承受的恒载为q=20kN/m，活载P=37.5kN/m。【解】

(1)

作弯矩包络图①用力矩分配法作出恒载作用下的弯矩图如图16.14(b)所示。②用力矩分配法作出各跨分别单独布满活载时的弯矩图，如图16.14(c)、(d)、(e)所示。③将连续梁的