平稳随机过程的谱分析

平稳随机过程的谱分析第一页，共三十三页，2022年，8月28日第三章平稳随机过程的谱分析重点及其要求：（1）平稳过程的自相关函数与功率谱密度之间、联合平稳过程的互相关函数与互谱密度之间皆互为傅立叶变换，知其一可求其二，并能求出平均功率、互功率。（2）对功率谱密度、互谱密度的定义及性质要熟记，以便灵活运用，解决有关问题。第二页，共三十三页，2022年，8月28日3.1随机过程的谱分析（一）随机过程的功率谱密度随机过程X(t)的样本函数x(t)不满足傅立叶变换绝对可积条件。尽管x(t)的总能量是无限的，但其平均功率却是有限的。过程的样本函数x(t)的截取函数定义为第三页，共三十三页，2022年，8月28日3.1随机过程的谱分析当T为有限值时，截取函数满足绝对可积条件，其傅立叶变换存在，则有显然xT(t)也应满足帕赛瓦定理，即对上式作集平均、时间平均处理后，可得到随机过程的平均功率为第四页，共三十三页，2022年，8月28日3.1随机过程的谱分析由此得到两个重要结论：（1）若过程X(t)是平稳的，则有（2）设则有我们称SX()为随机过程X(t)的功率谱密度函数。对平稳过程X(t)，则有第五页，共三十三页，2022年，8月28日3.1随机过程的谱分析（二）功率谱密度与复频率面为了系统分析的方便，有时用复频率来代替实频率变量，于是，功率谱密度便是复变量S的函数，记为。最简单的情况就是，，此时记；当用-jS代替时，功率谱密度应记为或。有时也用复频率面上的零、极点图来研究功率谱密度。第六页，共三十三页，2022年，8月28日3.1随机过程的谱分析例3.1设复随机过程其中a和0皆为实常数，是均匀分布在区间（0,/2）上的随机变量。试求X(t)的平均功率。解：因为X(t)的均方值是时间t的函数，故X(t)不是宽平稳的。可以求得X(t)的平均功率第七页，共三十三页，2022年，8月28日3.1随机过程的谱分析例3.2设解：用=-js代入得求用复频率s=j表示的SX(s)第八页，共三十三页，2022年，8月28日习题3.1设平稳随机过程X(t)的功率密度为求用复频率s=j表示的SX(s)，并在复频率面上画出SX(s)的零、极点图。第九页，共三十三页，2022年，8月28日3.2平稳随机过程的功率谱密度性质（一）平稳过程X(t)的功率谱密度的性质(1).(2).功率谱密度SX()是的实函数。(3).(4).SX()可积(5).(6).在平稳过程中，有一大类过程，其功率谱密度是的有理函数，即式中S0>0,M<N,此外，分母应该无实数根。第十页，共三十三页，2022年，8月28日3.2平稳随机过程的功率谱密度性质例3.3考虑一个广义平稳随机过程X(t)，具有功率谱密度为解：现在我们用复频率的方法来求。首先令s=j,得求过程的均方值利用留数定理，考虑沿着左半平面上的一个半径为无穷大的半圆积分第十一页，共三十三页，2022年，8月28日3.2平稳随机过程的功率谱密度性质左半平面有两个极点，在－1和－3处，于是，可以分别计算两个极点的留数为故第十二页，共三十三页，2022年，8月28日习题3.2已知平稳随机过程X(t)，具有功率谱密度为求过程的均方值第十三页，共三十三页，2022年，8月28日3.3平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数之间的关系（一）关系式经分析，随机过程自相关函数的时间均值与过程功率谱密度之间构成了傅立叶变换对，即若平稳过程满足第十四页，共三十三页，2022年，8月28日3.3平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数之间的关系利用的偶函数特性，维纳－辛钦定理还可以表示为：则有第十五页，共三十三页，2022年，8月28日3.3平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数之间的关系（二）例解例3.4设平稳过程X(t)的自相关函数为其中a,0均为常数。求该过程的功率谱密度。解：第十六页，共三十三页，2022年，8月28日3.3平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数之间的关系例3.4设平稳过程X(t)的功率谱密度为求该过程的自相关函数和平均功率Q.解：利用留数定理，可求得第十七页，共三十三页，2022年，8月28日习题3.3设随机过程Y(t)=aX(t)sin0t,其中a,0皆为常数，X(t)为具有功率谱密度SX()的平稳过程。求过程Y(t)的功率谱密度。3.4已知平稳随机过程X(t),具有功率谱密度为求过程的自相关函数和均方值。第十八页，共三十三页，2022年，8月28日3.4离散时间随机过程的功率谱密度（一）离散时间随机过程的功率谱密度设X(n)为宽平稳离散时间随机过程，其自相关函数RX(m)满足定义1X(n)的功率谱密度SX()为RX(m)的离散傅立叶变换，即它是周期连续函数，其周期为2q(即Nyquist频率)，即第十九页，共三十三页，2022年，8月28日3.4离散时间随机过程的功率谱密度且有在离散时间系统分析中，有时用Z变换更为方便，所以也用广义平稳离散时间随机过程的功率谱密度定义为RX(m)的Z变换。第二十页，共三十三页，2022年，8月28日3.4离散时间随机过程的功率谱密度定义2X(n)的功率谱密度为的Z变换显然有RX(m)则为的逆Z变换，即式中D为收敛区中的简单闭合围线。第二十一页，共三十三页，2022年，8月28日3.4离散时间随机过程的功率谱密度（二）平稳过程的采样定理若零均值的限带平稳过程X(t)的功率谱密度为在采样周期时，可将X(t)按其振幅采样展开为此式就是平稳过程的采样定理。第二十二页，共三十三页，2022年，8月28日3.4离散时间随机过程的功率谱密度（三）功率谱密度的采样定理若平稳连续时间实随机过程X(t)，其自相关函数和功率谱密度分别以记；对X(t)采样后，所得离散时间随机过程X(n)=X(nT)，X(n)的自相关函数和功率谱密度分别用表示，则有上式就是功率谱密度的采样定理。第二十三页，共三十三页，2022年，8月28日3.4离散时间随机过程的功率谱密度（四）例解例3.5设平稳离散时间随机过程X(n)的自相关函数为求X(m)的功率谱密度解：上式等号右边第一个和式在处收敛为第二个和式在处收敛为故我们得到第二十四页，共三十三页，2022年，8月28日3.4离散时间随机过程的功率谱密度故我们得到则若T=1时，上式变为第二十五页，共三十三页，2022年，8月28日3.5互谱密度（一）互谱密度设X(t),Y(t)为联合平稳随机过程，若分别为的傅立叶变换，则可定义这两个过程的互谱密度为于是两个随机过程X(t)和Y(t)的互功率为第二十六页，共三十三页，2022年，8月28日3.5互谱密度（二）互谱密度与互相关函数的关系对于两个实随机过程X(t),Y(t)有若实过程X(t)、Y(t)联合平稳，则有第二十七页，共三十三页，2022年，8月28日3.5互谱密度（三）互谱密度的性质互功率谱密度和功率谱密度不同，它不再是频率的正的、实的和偶函数。下面我们不加证明地列出互谱密度的若干性质。（1）（2）互谱密度的实部Re[SXY()]、Re[SYX()]为的偶函数，其虚部Im[SXY()]、Im[SYX()]为的奇函数。第二十八页，共三十三页，2022年，8月28日3.5互谱密度（3）若随机过程X(t)与Y(t)正交，则有（4）若随机过程X(t)与Y(t)是两个不相关的，均值分别为mX和mY平稳随机过程，则（5）第二十九页，共三十三页，2022年，8月28日3.5互谱密度（四）例解例3.6已知随机过程Z(t)为。其中a和b皆为实数，X(t)和Y(t)是各自平稳且联合平稳的随机过程。试求：（1）过程Z(t)的功率谱SZ();（2）过程X(t)和Y(t)不相关时的SZ();（3）互谱密度SXZ()和SYZ().第三十页，共三十三页，2022年，8月28日3.5互谱密度解：（1）过程Z(t)的均值、互相关函数分别为所以Z(t)也是宽平稳过程，它的功率谱密度为第三十一页，共三十三页，2022年，8月28日3.5互谱密度（2）平稳过程X(t)与Y(t)不相关时的互