第三章矩阵分析及其应用演示文稿

第三章矩阵分析及其应用演示文稿当前1页，总共78页。（优选）第三章矩阵分析及其应用.当前2页，总共78页。定义设已知矩阵序列，其中，当k→∞，时，称{A(k)}收敛，并称矩阵为{A(k)}的极限，或称{A(k)}收敛于A，记为或不收敛的矩阵序列称为发散。矩阵序列与极限当前3页，总共78页。定理矩阵序列收敛于A的充分必要条件是其中为任意一种矩阵范数。证明取矩阵范数必要性：设那么由定义可知对每一对i,j

都有

当前4页，总共78页。从而有上式即为充分性：设那么对每一对i,j

都有即当前5页，总共78页。故有现在已经证明了定理对于所设的范数成立。如果是另外一种范数，那么由范数的等价性可知这样，当时同样可得因此定理对于任意一种范数都成立。当前6页，总共78页。矩阵序列极限运算的性质。（1）收敛矩阵序列的极限是唯一的。（2）设则（3）设，其中那么（4）设，那么其中（5）设，且,A均可逆，则也收敛，且当前7页，总共78页。证明：（2）（3）（4）（5）当前8页，总共78页。例1若对矩阵A的某一范数，则例2

的充要条件是。证明设A的Jordan标准形当前9页，总共78页。于是显然，的充要条件是又因其中当前10页，总共78页。于是的充要条件是。因此的充要条件是例3设是的相容矩阵范数，则对任意，都有当前11页，总共78页。例4

构造一个收敛的二阶可逆矩阵序列，但是其极限矩阵不可逆。解显然每一个均可逆，但是其极限矩阵却不可逆。当前12页，总共78页。定义：设，如果mn个常数项级数都收敛，则称矩阵级数收敛。如果mn个常数项级数都绝对收敛，则称以上矩阵级数绝对收敛。矩阵级数当前13页，总共78页。例如果设，其中那么矩阵级数是收敛的，而且是绝对收敛的。当前14页，总共78页。定理设，则矩阵级数绝对收敛的充分必要条件是正项级数收敛，其中为任意一种矩阵范数。证明取矩阵范数，那么对每一对i,j

都有因此如果当前15页，总共78页。收敛，则对每一对

i,j

常数项级数都是收敛的，于是矩阵级数绝对收敛。反之，若矩阵级数绝对收敛，则对每一对

i,j

都有当前16页，总共78页。于是根据范数等价性定理知结论对任何一种范数都正确。当前17页，总共78页。定义设，称形如的矩阵级数为矩阵幂级数。定理设幂级数的收敛半径为R，A为n阶方阵。若，则矩阵幂级数绝对收敛；若，则发散。矩阵幂级数当前18页，总共78页。证明设A的Jordan标准形为其中于是当前19页，总共78页。所以其中当前20页，总共78页。当时，幂级数都是绝对收敛的，故矩阵幂级数绝对收敛。当时，幂级数发散，所以发散。推论矩阵幂级数绝对收敛的充分必要条件是。且其和。当前21页，总共78页。例1

（1）求下面级数的收敛半径（2）设判断矩阵幂级数的敛散性。解设此级数的收敛半径为R，利用公式容易求得此级数的收敛半径为2。而。所以由上面的定理可知矩阵幂级数收敛。当前22页，总共78页。定义：设，一元函数f(z)能够展开成关于z

的幂级数并且该幂级数的收敛半径为R。当矩阵A的谱半径时，我们将收敛的矩阵幂级数矩阵函数的和定义为矩阵函数，一般记为f(A)，即当前23页，总共78页。例：因为当|z|<+∞时，有都是绝对收敛的，因此当前24页，总共78页。都是绝对收敛的，因此可以定义由此可以得到一些简单的结论：当前25页，总共78页。当前26页，总共78页。定理：设，那么当时，我们有证明：首先证明第一个等式当前27页，总共78页。现在证明第二个等式当前28页，总共78页。同样可以证明其余的结论。注意：这里矩阵A

与B

的交换性条件是必不可少的。当前29页，总共78页。例：设那么容易计算并且于是有当前30页，总共78页。故有显然三者互不相等。当前31页，总共78页。当|z|<1时，有设，当时，有当前32页，总共78页。函数在矩阵谱上的值与矩阵函数定义：设，为A

的r个互不相同的特征值，为其最小多项式且有其中如果函数f(x)具有足够高阶的导数并且下列m个值存在，则称函数f(x)在矩阵A的谱上有定义。矩阵函数的计算-待定系数法当前33页，总共78页。例：设又已知容易求得矩阵A的最小多项式为并且所以f(x)

在A的谱上有定义.当前34页，总共78页。但是如果取容易求得矩阵B的最小多项式为显然f(3)不存在，所以在B的谱上无定义。当前35页，总共78页。定理：设函数f(x)与函数g(x)在矩阵A的谱上都有定义，那么f(A)=g(A)的充分必要条件是f(x)与g(x)在A的谱上的值完全相同。设矩阵的最小多项式为其中为矩阵A的r个互异特征值且矩阵函数的计算-待定系数法当前36页，总共78页。

如何寻找多项式p(x)使得p(A)与所求的矩阵函数f(A)完全相同？根据计算方法中的Hermite插值多项式定理可知，在众多的多项式中有一个次数为m-1次的多项式且满足条件这样，多项式中的系数完全可以通过关系式当前37页，总共78页。确定出来。则我们称为矩阵函数f(A)的多项式表示。当前38页，总共78页。例2

：设求f(A)的多项式表示并且计算解：容易观察出该矩阵的最小多项式为这是一个3次多项式，从而存在一个次数为2的多项式且满足当前39页，总共78页。于是有解得所以其多项式表示为当前40页，总共78页。当时，可得于是有当时，可得故有当前41页，总共78页。类似地有当前42页，总共78页。例3

：设求的多项式表示并且计算解：容易观察出该矩阵的最小多项式为这是一个2次多项式，从而存在一个次数为1的多项式且满足当前43页，总共78页。于是有解得所以其多项式表示为当时，可得当前44页，总共78页。当时，可得同样可得当前45页，总共78页。练习：设求的多项式表示并且计算当前46页，总共78页。矩阵函数的计算-相似对角矩阵

设矩阵A相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵P，满足则有当前47页，总共78页。当前48页，总共78页。例：设求解：该矩阵的特征多项式为求得特征值λ1=-2，λ2=λ3=1，对应的特征向量当前49页，总共78页。构造矩阵求得则有当前50页，总共78页。因此有当前51页，总共78页。定理：设，J为矩阵A的Jordan标准形，P为其相似变换矩阵且使得，其中矩阵函数的计算-Jordan标准形法如果函数f(x)在矩阵A的谱上有定义，那么其中当前52页，总共78页。当前53页，总共78页。例1：设求A的Jordan表示并计算.解：首先求出其Jordan标准形矩阵J与相似变换矩阵P.从而的Jordan表示为当前54页，总共78页。当时，可得，从而有当前55页，总共78页。当时，可得，于是有当时，可得，同样可得当前56页，总共78页。矩阵的微分和积分导数定义基本性质其中为标量函数当前57页，总共78页。当前58页，总共78页。如果方阵A(t)的逆矩阵存在，则有于是有当前59页，总共78页。积分基本性质当前60页，总共78页。函数对矩阵的导数定义：设，即：X→f(X)，f(X)∈F，记定义当前61页，总共78页。例1：设，n元函数计算。解：当前62页，总共78页。例2：当前63页，总共78页。例3当前64页，总共78页。例4当前65页，总共78页。

当A是对称矩阵时，即：AT=A，则有当前66页，总共78页。例5：设，一元函数计算。解：当前67页，总共78页。矩阵函数对矩阵的导数矩阵函数的定义当前68页，总共