工程力学 弯曲

工程力学弯曲第一页，共六十五页，2022年，8月28日

横力弯曲

(bendingbytransverseforce)━━梁的横截面上既有弯矩又有剪力；相应地，横截面既有正应力又有切应力。第二页，共六十五页，2022年，8月28日Ⅰ.纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式的推导

(1)

几何方面━━藉以找出与横截面上正应力相对应的纵向线应变在该横截面范围内的变化规律。表面变形情况在竖直平面内发生纯弯曲的梁(图a)：(a)第三页，共六十五页，2022年，8月28日

1.弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵向直线段aa和bb(图b)，在梁弯曲后成为弧线(图a)，靠近梁的顶面的线段aa缩短，而靠近梁的底面的线段bb则伸长；第四页，共六十五页，2022年，8月28日

2.相邻横向线mm和nn(图b)在梁弯曲后仍为直线(图a)，只是相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。第五页，共六十五页，2022年，8月28日

根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：平面假设梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。第六页，共六十五页，2022年，8月28日横截面的转动使梁凹入一侧的纵向线缩短，凸出一侧的纵向线伸长，从而根据变形的连续性可知，中间必有一层纵向线只弯曲而无长度改变的中性层，而中性层与横截面的交线就是梁弯曲时横截面绕着它转动的轴━━中性轴

(neutralaxis)。（f)第七页，共六十五页，2022年，8月28日令中性层的曲率半径为r(如图c)，则根据曲率的定义有纵向线应变在横截面范围内的变化规律

图c为由相距dx的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角dq。梁的横截面上距中性轴z为任意距离y处的纵向线应变由图c可知为(c)第八页，共六十五页，2022年，8月28日即梁在纯弯曲时，其横截面上任一点处的纵向线应变e与该点至中性轴的距离

y成正比。(c)第九页，共六十五页，2022年，8月28日小变形时纯弯曲情况下可假设梁的各纵向线之间无挤压，认为梁内各点均处于单轴应力状态。

(2)物理方面━━藉以由纵向线应变在横截面范围内的变化规律找出横截面上正应力的变化规律。梁的材料在线弹性范围内工作，且拉、压弹性模量相同时，有这表明，直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化(如图)。M第十页，共六十五页，2022年，8月28日

(3)静力学方面━━藉以找出确定中性轴位置的条件以及横截面上正应力的计算公式。梁的横截面上与正应力相应的法向内力元素sdA(图d)不可能组成轴力()，也不可能组成对于与中性轴垂直的y轴(弯曲平面内的轴)的内力偶矩()，只能组成对于中性轴z的内力偶矩，即(d)第十一页，共六十五页，2022年，8月28日其中为截面对于z轴的静矩(staticmomentofanarea)或一次矩，其单位为m3。为截面对于y轴和z轴的惯性积，其单位为m4。为截面对于z轴的惯性矩(momentofineritaofanarea)或二次轴矩，其单位为m4。第十二页，共六十五页，2022年，8月28日将代入上述三个静力学条件，有(a)(b)(c)以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相关的几何量，统称为截面的几何性质，而第十三页，共六十五页，2022年，8月28日由于式(a)，(b)中的不可能等于零，因而该两式要求：

1.横截面对于中性轴z的静矩等于零，；显然这是要求中性轴

z通过横截面的形心；

2.横截面对于

y轴和

z轴的惯性积等于零，；在对称弯曲情况下，y轴为横截面的对称轴，因而这一条件自动满足。(a)(b)(c)第十四页，共六十五页，2022年，8月28日由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，梁的横截面上的弯矩M不随截面位置变化，故知对于等截面的直梁包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。将上式代入得出的式子即得弯曲正应力计算公式：(c)第十五页，共六十五页，2022年，8月28日

中性轴z

为横截面对称轴的梁(图a，b)其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴z不是横截面对称轴的梁(图c)，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。dzyo(b)

yc,max

yt,maxyz

bd1

hOd2(c)hbzyo(a)第十六页，共六十五页，2022年，8月28日中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应力的值smax为式中，Wz为截面的几何性质，称为抗弯截面系数，其单位为m3。hbzyodzyo第十七页，共六十五页，2022年，8月28日中性轴

z不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为第十八页，共六十五页，2022年，8月28日最大正应力：当时，，

DdDd=aDz

Wz—梁的抗弯截面系数。第十九页，共六十五页，2022年，8月28日BHbBhHz

z

矩形截面：箱形截面：第二十页，共六十五页，2022年，8月28日A.1静矩（面积）矩一、静矩：(与力矩类似，面积与它到轴的距离之积)dAyzyz常用截面的惯性矩平行移轴公式第二十一页，共六十五页，2022年，8月28日设任意形状截面如图所示。1.极惯性矩（或截面二次极矩）2.惯性矩（或截面二次轴矩）（为正值，单位m4或mm4)所以（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）OxyyxrdAA.2惯性矩、极惯性矩第二十二页，共六十五页，2022年，8月28日例

试计算图a所示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）x和y的惯性矩。

解：取平行于x轴的狭长条，则dA=bdy同理yhCx

dyyb(a)第二十三页，共六十五页，2022年，8月28日若截面是高度为h的平行四边形（图b），则其对形心轴x的惯性矩同样为hxyb(b)C第二十四页，共六十五页，2022年，8月28日例

试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴）的惯性矩。

xdyyx解：由于圆截面有极对称性，所以所以第二十五页，共六十五页，2022年，8月28日简单图形的二次矩圆形yzOd矩形bh/2h/2yzO讨论：惯性矩大于零第二十六页，共六十五页，2022年，8月28日§A.3惯性矩的平行移轴公式组合截面的惯性矩1.惯性矩的平行移轴公式设有面积为A的任意形状的截面。C为其形心，Cxcyc为形心坐标系。与该形心坐标轴分别平行的任意坐标系为Oxy,形心C在Oxy坐标系下的坐标为(a,b)任意微面元dA在两坐标系下的坐标关系为：aycyxcxCObdAxcycyx第二十七页，共六十五页，2022年，8月28日同理，有：（此为平行移轴公式）注意：式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。等号右边各首项为相对于形心轴的量。第二十八页，共六十五页，2022年，8月28日2.组合截面的惯性矩根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某轴的惯性矩等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩之和：第二十九页，共六十五页，2022年，8月28日10014020

20C2yzC1CyC例

求“T”型截面对形心轴zc的静矩，惯性矩。①建立参考坐标系oyz解：组合图形②计算形心坐标第三十页，共六十五页，2022年，8月28日③计算静矩Sz(ω)和SzC(ω)④计算惯性矩IzC，IyC第三十一页，共六十五页，2022年，8月28日§9－2横力弯曲时梁横截面上的正应力

弯曲正应力强度条件

一、横力弯曲（梁横截面上既有FS又有M的情况）时，平面假设不成立。但对于（L/h>5）长梁，可用纯弯曲推导的正应力公式计算横力弯曲时的正应力，由此引起的误差能够满足工程上的精度要求。

二、弯曲正应力强度条件：

弯曲应力（1）

（2）

第三十二页，共六十五页，2022年，8月28日Œ校核强度：设计截面尺寸：Ž设计载荷：弯曲正应力强度计算的三类问题。

第三十三页，共六十五页，2022年，8月28日例1受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）1—1截面上1、2两点的正应力；（2）1—1截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半径。q=60kN/mAB1m2m11xM

+M1Mmax12120180zy解：画M图，求截面弯矩30第三十四页，共六十五页，2022年，8月28日q=60kN/mAB1m2m1112120zy（1）求1—1截面上1、2两点的正应力18030（压应力）第三十五页，共六十五页，2022年，8月28日求曲率半径q=60kN/mAB1m2m11M1MmaxxM

+（2）求1—1截面上的最大正应力（3）求全梁的最大正应力第三十六页，共六十五页，2022年，8月28日例2求图示梁外壁和内壁处的最大正应力。解：（1）画弯矩图，求最大弯矩

（2）计算应力梁内、外壁处的最大正应力分别为：

60

30

120

80

z

(－)第三十七页，共六十五页，2022年，8月28日例3求图示梁中央截面上的最大拉应力和最大压应力以及G点的正应力，梁由10号槽钢制成。解：（1）画M图，求（2）查型钢表，求截面有关几何量

(＋)

（压应力）

第三十八页，共六十五页，2022年，8月28日解：画弯矩图1m1m1mABCDx3.5kNm4kNmM（+）

（－）

例4倒Ｔ形截面铸铁梁，已知，，，，试校核该梁的强度。

Ｃ截面：B截面：第三十九页，共六十五页，2022年，8月28日讨论：采取什么措施，使梁满足强度要求？弯曲应力将梁截面倒置x3.5kNm4kNmMy1y2（＋）

（－）

Ｃ截面：B截面：第四十页，共六十五页，2022年，8月28日§9－3梁横截面上的切应力一、矩形截面梁横截面上的切应力1、两个假设：

切应力与剪力平行；

距中性轴等距离的各点切应力相等。2、研究方法：分离体平衡。

在梁上取微段如(图b)；dxxFS(x)+dFS(x)M(x)M(x)+dM(x)FS(x)dxxyztb(图a)（图b）（图c）y在微段上取一块如图c，平衡

第四十一页，共六十五页，2022年，8月28日由切应力互等FS(x)+dFS(x)M(x)M(x)+dM(x)FS(x)dxxyztb（图b）(图c)y

第四十二页，共六十五页，2022年，8月28日FSt方向：与横截面上剪力方向相同；t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大切应力在中性轴上，为平均切应力的1.5倍。二、其它形状截面梁横截面上的切应力1、研究方法与矩形截面同;切应力的计算公式亦为：其中FS为截面剪力；Sz为y点横线以下的面积对中性轴之静矩；Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b

为y点处截面宽度。第四十三页，共六十五页，2022年，8月28日2、几种常见截面的最大弯曲切应力

①工字钢截面：结论：翼缘部分tmax<腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。铅垂切应力主要由腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin，故工字钢最大切应力Af—腹板的面积。;»maxAFStf第四十四页，共六十五页，2022年，8月28日②圆截面：

第四十五页，共六十五页，2022年，8月28日一般来说，最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。tsMt三、梁的切应力强度条件—中性轴以上（或以下）部分截面对中性轴的静矩。（绝对值）第四十六页，共六十五页，2022年，8月28日四、需要校核切应力的几种特殊情况：②铆接或焊接的工字形截面梁，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力。①梁的跨度较短，M

较小，而FS较大时，要校核切应力。③焊接、铆接或胶合的组合梁，对焊缝、铆钉或胶合面，一般要进行剪切计算。④各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。第四十七页，共六十五页，2022年，8月28日解：画内力图求危险截面内力例5矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，

[]=7MPa，[]=1MPa，试求最大正应力和最大切应力之比,并校核梁的强度。q=3.6kN/mxMABL=3m–+x（+）

第四十八页，共六十五页，2022年，8月28日求最大应力并校核强度应力之比第四十九页，共六十五页，2022年，8月28日若将上述梁改为10号工字钢，试计算其最大切应力。

表中：

表中：d=4.5mm

第五十页，共六十五页，2022年，8月28日

§9–4提高梁弯曲强度的措施一、合理安排梁的受力情况①合理布置载荷

降低Ｐ（＋）

Ｐ（＋）

第五十一页，共六十五页，2022年，8月28日Ｐ（＋）

q＝P/l（＋）

（＋）

第五十二页，共六十五页，2022年，8月28日②合理布置支座位置

（＋）

qq（+）

（-）

（-）

第五十三页，共六十五页，2022年，8月28日二、梁的合理截面合理截面：★矩形截面bhz

hz

第五十四页，共六十五页，2022年，8月28日★空心圆截面比实心圆截面合理Dz

DdDd=a第五十五页，共六十五页，2022年，8月28日★工字形截面是由矩形演变而成★

的材料（例铸铁