数学物理方法知识点归纳

(i)A(i)A柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D内解析，则它沿D内任一围线的积分都等于零。£f(z)dz=0C二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针方向)的积分等于f⑵沿内境界线(逆时针方向)的积分。n+1连区域柯西定理：Jf(z)dz-£f(z)dz+£f(z)dz+....+£f(z)dzr r r re i1 i2 in推论：在f(z)的解析区域中，围线连续变形时，积分值不变。2.3柯西公式若f(z)在单连有界区域D内解析，在闭区域D的边界连续，则对于区域D的任何一个内点a,有f(a)=二J生)dz其中r是境2兀iz一ar界线。2.5柯西导数公式n!J f@/下f(n)(z)=—；彳—_—_d^2兀ic(:—z)n+1第一章复述和复变函数连续若函数以x)在z0的领域内(包括Z0本身)已经单值确定，并且limf(z)=f(z0),z-z0则称f(z)在z0点连续。导数若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件du du dv dv__瓦、dy、dX、dy在点不仅存在而且连续。(ii)C-R条件在该点成立。C-R条件为'du(x,y)_dv(x,y)dx dy〈dv(x,y)du(x,y) = dx dy解析若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。解析的必要条件：函数f(z)=u+iv在点z的(ii)C-R条件在该点成立。解析的充分条件:函数f(z)=u+iv在领域内(i)du du dv dvdx~、dy、d-、dy不仅存在而且连续。(ii)C-R条件在该点成立。解析函数和调和函数的关系拉普拉斯方程的解都是调和函数：d2ud2udx2dy2①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足C-R条件。②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)?通过C-R条件列微分方程第二章复变函数的积分解析函数的积分柯西定理：若函数f⑵在单连区域D内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A与B的那些曲线来讲，积分Bf(z)dz的值均相等。第三章级数复变函数项级数外尔斯特拉斯定理:如果级数寸u小z)在境k=0界r上一致收敛，那么⑴这个级数在区域内部也收敛，其值为F(z)(ii)由它们的m阶导数组成的级数精选范本Um乂()在区域内也收敛,而且它们的和

函数。环形区域内的解析函数可展成双边幕级数k=0等于F(m)(z)。幂级数阿贝尔(Abel)定理：如果幕级数寸c(z-a)k在点z0处收敛，则在任一圆k 0k=0lz-al<=plz0-al，0<p<1内，幕级数一致收敛，并且绝对收敛。达朗贝尔(D'Alembert)判别法:对于幕级数，「lc(z—a)k+i|计算下列极限hm* --kT8lc(z—a)klk

£ck(z-a)kk=-811f也)，匕c=—^^ 9自称为Laurant系数k 2my(g—a)3.8孤立奇点非孤立奇点：若函数f(z)在z=a点的无论多么小的领域内，总有除z=a以外的奇点，则z=a是f(z)的非孤立奇点。孤立奇点：若函数在z=a不可导(或无定义)，而在去心领域0<lz-al<£解析，则z=a是f(z)的一个孤立奇点。⑴当极限值小于1时，幕级数在点z处绝对3.9奇点分类收敛(ii)当极限值大于1时，幕级数在点z处发散(iii)当极限值等于1时，敛散性不能判断。柯西判别法：计算极限lim研c(z—a)klkfg 卜当极限值小于1时，幕级数在点z处绝对收敛;而当极限值大于1时，幕级数在点z处发有限远奇点极限性质洛朗级数可去奇点limf(z)二有限值不含负幕项极点limf(z)=8含有限个负幕项本性奇点limf(z)=无定值含无限个负幕项散；极限值等于1时，不能判断3.4解析函数与幂级数定理：幕级数的和是收敛圆内的解析函数。Taylor级数：f(z)£ (z-a)nn!n=01 z2 zn无穷远点极限性质洛朗级数可去奇点limf(z)=有限值不含正幕项极点limf(z)=8含有限个止幂项本性奇点limf(z)=无定值含无限个止幕项ez=1+z+—+...+—+...2! n!z3 z5 z2n+1sinz=z——+——...+(-1)n +...3! 5! (2n+1)!1z2z4 z2ncosz=1+ + +...+ +...2! 4! (2n)!z2z3 zn+1ln(1+z)=z——+——...+(-1)n--+...2 3 n+1第四章留数4.1柯西公式的另一种形式一阶极点留数:若g(z)在单连区域D内解析，a在D内，在D内作一环绕点a的围线C。令f(z)=g(z)/(z-a)则有：£f(z)dz=2冗iResf(a)CResf(a)=lim(z—a)f(z)zfa一阶极点留数的一种算法：3.5解析函数与双边幕级数 如果八z)=得那么Resfm)=黑定理：双边幕级数的和是环形区域内的解析精选范本m阶极点的留数公式Resf(a)=1dm-1(m-1)!dzm-i[(z-a)mf(z)]1注意需要符合条件limf(z)=0Z-8ff(X)eimxdx=2而｛f(z)eim在上半平面的f8f8cosx2dx=f8sinx2dx=；三224.2用级数分析来分析留数定理f(z)=ZC(z-a)kkk=-8则有Resf(a)=c-1多连区域的柯西定理:如果在围线C的内部包含n个孤立奇点，利用多连区域的柯西定理就有ff(z)dz=2"iZResf(a)kC k=1无限远点的留数Resf(8)=———ff(z)dz=-c2"i -1定理1：如果当z-8时，若zf⑵-0,则Resf(8)=0定理2：ZResf(a)+Resf(8)=0k=1留数定理计算型积分第一种类型：f2"R(cos.sin①)d①型积分令z=eg d甲=dz/iz

-8奇点留数之和｝围线积分方法1.,"泊松积分：Je-ax2cosbxdx=—、一e-b2/4a0 2\a菲涅尔积分:第六章积分变换6.1傅里叶级数三角函数系的正交性2n周期-展开定理：f(x)=C+£(Ccosmx+Dsinmx)0 mm=1C=Jf"f(W)dW0 2"-"C=—f"f(W)cosmWdWm"-"D=—f"f(W)sinmWdWm"-"任意周期2l-展开定理：cos①=—(z+z-i)sin①=—(z一z-i)

2 2f2"R(cos①,sin明d5=ff(z)dz=IzI=1｛在单位圆内各个奇点的留数之和｝

f(x)=C+£(Ccosm7"-x+Dm=1c。=J1f(W)dW0 21-1注意，需要满足条件lim注意，需要满足条件limzf(z)=0Z-86.2傅立叶积分第二种类型：ff(x)dx型积分

=1f1f也)cos?匕dWI-1 I=1f1f8)sin?匕d^1-1 1Jf(x)dx=2冗i｛在上半平面的奇点留数之-8和｝(界限上的乘以0.5)

f(x)=f8[C(k)coskx+D(k)sinkx]dk0C(k)=-1f8f(W)coskWdW"-88第三种类型：ff(x)eimxdx型积分D(k)=18第三种类型：ff(x)eimxdx型积分"-8-8精选范本dndn0(t)

dtn—pn0(p)-pn-10(0)-pn-2。'(0)-...—0"1(0)C(k)是偶函数，D(k)是奇函数傅里叶公式~ 1令f(k)三-[C(k)-iD(k)]乙f则f(x)=卜f(k)eikxdk-gf(k)=[0f8)eik自d匕2兀-g〜f(k)=F[f(x)]〜f(x)=F-I[f(k)]傅立叶变换线性定理导数的象函数：华—P0(P)-0(0)积分的象函数n!tn―• pn+1F[Cf+Cf]=CF[f]+CF[f]11 22 1 1 2 2导数定理象函数的位移定理:eat0(t)―0(p-a)由此可得L[L[ft001精选范本F[f'(x)]=ikF[f(x)]F[dfx]=(ik)nF[f(x)]dxn积分定理F[fxf(^)d己]=-1F[f(x)]x0 ik延迟定理F[f(x-x°)]=e-ikxoF[f(x)]相似定理F[f(ax)]=1f(()aa卷积定理ffF[f：f)f/x-)d己]二珂/k)f2(k)拉普拉斯变幻0(p)=%(t)e-ptdt0注意当t<0时，0(t)=00(p)=L[0(t)]0(t)=L-1[0(p)]0(t)*-->°(p)线性性质：f f.、a0(t)+b0(t)=a0(p)+b0(p)12 12p-aeatcos3t― (p-a)2+32.一、3eatsin3t― (p-a)2+32p-aeatch3t― (p-a)2-323eatsh3t•(p_/2-32(用来求逆变换)延迟函数的象函数0(t-t)H(t-t)—e-p^0(p)卷积定理(t)0(t-t)dt]=L[0(t)]"0(t)]象函数的导数dn0(p)(-1)n0(t)— —dpn积分公式：卜0(p)dp=fg幽dt第八章数学物理方程的导出d2u(X,t) d2u(X,t) =a2 St2 SX2弦的横振动方程u二弦的横向位移a2=FT/Pft=张力p=单位长度弦的质量弦的纵振动方程u二弦的纵向位移a2=E/P£=杨氏模量p=单位长度弦的质量Su6t)=a2V2u(r,t)St扩散方程u=离子浓度，a2=D口=扩散系数热传导方程u=温度，a2=k/Pck二导热系数，。=质量密度c=比热容S2u(干,t)_S12a2V2u(r,t)波动方程u=E或B的任一分量a2=1/£o/£0=真空电容率%=真空导磁系数E电场强度B磁场强度拉普拉斯方程v2u(r,t)=o稳恒状态扩散方程口=粒子浓度稳恒状态传导方程u二温度静电场方程u=静电势线性算符与解的叠加初始条件扩散方程热传导方程u（r,t）i…=。（已知函数）波动方程u（r,t）10二巾（已知函数）精选范本史6Di=v（已知函数）Stt=o边界条件口加+B忧］，=已知函数第九章本征函数法弦振动方程的第一类边值问题定解问题S2u(X,t) S2u(X,t) =a2 S12 SX2u1 =巾(x),u1 =V(x)u(0,t)=u(l,t)=0分离变量u(x,t)=X(x)T(t)解本证方程JX〃(x)+XX(x)=0|X(0)=X(l)=0. . n冗本征值入=入=(i)2…、一，、 .n九本征函数X(x)=X(x)=sin—X解非本征方程T〃(t)+a2九J(t)=0的通解为T(t)=T(t)=C8毕+Dsinn^t定解问题的解u(x,t)=£T(t)X(X)=n=1n&-八・n^a八・n兀4ccos——t+Dsin——t)sin-xn l n l ln=1由初始条件和傅里叶级数确定系数u(x,0)=。(x)=£Csinn^-xn=1,…fnnna.n兀u1 =W(x)=乙D—1~sin-xn=1c=Jl怵)sin d白nl0 lD=—JlV&)sin鼻dWn nna0 l热传导方程第二类边值问题定解问题du(x,t) d2u(x,t) =a2 St d.x2Ux1x=0=0，Ux1x=r0u(x,0)=0(x)分离变量u(x,t)=X(x)T(t)解本证方程JX〃(x)+XX(x)=0|X(0)=X'(l)=0. . n冗本征值入一入=()2nl一.、一.、 n九本征函数X(x)=X(x)=cosxn l解非本征方程T〃(t)+a2九nT(t)=0的通解为T(t)=T(t)=C/YaT-定解问题的解u(x,t)=C+0之cJ-(皿)2]c0先丫乙cei cos—xn ln=1由初始条件和傅里叶级数确定系数/ 人,『人n兀u(x,t)=C+乙Ccos——x0 n ln=1C=1fl怵)d己0l0C=2fl。色)cos，jd自nl0 lX〃(x)+九X(x)=0本征值和本征函数系齐次边界条件本征值本征函数系X(0)=X(l)=0、 产兀九一(7)2nl.n九sin——xlX'(0)=X'll)=0n 产兀九=(7)2nln兀cos——xlX(0)=X'(l)=0(n+-)K九=[1^]2nl11,(n+-)^sin—―xl精选范本第一类边界条件齐次化的一般方法非齐次边界条件u(0,t)=八(t)iu(l,t)=|Ll(t)齐次化方法u(x,t)=V(x,t)+N(t)+1x[N(t)-N(t)]l2 1非齐次方程按本征函数系展开的解法定解问题S2V(x,t) S2V(x,t) =a2 +f(x,t)S12 Sx21=0,V1=0匚=0,V;：=0本征函数n冗X(x)=X(x)=sin——xn l非齐次项按本征函数展开n九xf(x,t)=汇f(t)sinn ln=1f1t)=了11f(1,t)sin-3dmn l0 l定解问题试解v(x,t)=kT(t)xinn^-xn ln=1Tn(t)的确定T〃(t)+(异)2T(t)-f(t)=0n l n nTJt=0=0,TJ=0=0〜、l nna(t-t)1T(t)=——Jtf(t)sin——-——乙dTnn^a0n l第十章勒让德多项式微分方程的幂级数解法二阶齐次线性常微分方程d2y(z) dy(z)—：——+P(z)—--+q(z)y(z)=0dz2 dz将试解y(z)=立ck(z—z0)人代入方程，求k=0系数的递推公式，从而求出方程的解

连带勒让德方程“ 、d2y dy m2(1-12)———2x—+[I(I+1)- ]y=0dx2 dx 1-x2勒让德方程(1-x2)史y-2xdy+1(l+1)y=0dx2dx勒让德方程的通解y(x)=Coyo(x)+C1y1(x)小1l(l+1)1(l-2)l(l+1)(l+3),y(x)=1--2!—x2+ 4 x4—…+(-1)k(l-2k+2)(l-2k+4)...l(l+1)(l+3)…(l+2k-1)x2k/(2k)!+...(、 (l-1)(l+2)1y(x)=x 3! x2+(l-3)(l-1)(l+2)(l+4) x5-...+5!(-1)k(l-2k+1)(l-2k+3)...(l+2)(l+4)…(l+2k)x2k+1/(2k+1)!+...系数递推关系P(x)=—@l-(x2-1)ll 2ll!dxl围线积分表达式P(z)_=d己l 2兀i21cd-z)l+1定积分表达式P(cos0)_—JK[cos0+isin0cos①]ld①性质P(-x)=(-1)lP(x)l l1P2nFX0|P(0)=(-1)nKnL〔2n 22nn!n!P(1)=1lP(-1)=(-1)ll1P(cos0)l<1l勒让德方程的本征方程刘维尔方程d[k(x)乎]-q(x)y-九w(x)y_0dxdx勒让德方程 一d(1-x2)孚+1(l+1)y_0dxdx权函数：w(x)=1本征函数：R(x) 一正交性：』c_(n-l)(n+1+Dcn+2c_(n-l)(n+1+Dcn+2 (n+2)(n+1)n勒让德多项式对y0(x)或y/x)乘以适当常数，使得XI的最一 (21)!高项系数为C_三今时的多项式称为勒21(l!)2ClCl-2n广义傅立叶级数展开让德多项式，此时相应的Cl-2n为(21-2n)!(-1)n n!21(l-n)!(l-2n)!：Nl、叫p(x)]2dx飞Urp(xp(x)=im(-1)klk_0精选范本母函数勒让德级数表达式(21-2k)! xl-2kk!21(l-k)!(l-2k)!k_[l]（高斯函数）m2导数表达式f(x)=£fP(x),f_2+1J1f(x)P(x)dxlll2_1 ll_0 -g(0)_f(cos0)v=£gP(cos0),_0g="+1卜g(0)P(cos0)sin0d0l20l£riP(cos。),r<1_=Jl=0-2rcos0+r2 £—P(cosO),r>1ri+ii【l=0—[xvJ(x)]=xvJ(x)dxv v-1—[x-vJ(x)]=-X-vJ(x)dxv'' v+1''1 £rlP(%),r<1=Jl=0%'1-2rx+r2 |£Ap(%),r>1ri+1i=i=0J1(x)+J1(x)=—J(x)J(x)-J(x)=2J'(x)v-1 v+1 v整阶贝塞尔函数递推公式(n+1)P+Jx)-(2n+1)xP(x)+nPJx)=0Jm(x7k/2i+1)^ +22k=0P(x)=P+1(x)-2xPF(x)+P1(x)奇偶性：J(-x)=(-1)mJ(x)m mPr+1(x)=xP'(x)+(n+1)P(x)xP'(x)-P1(x)=nP(x)线性相关性：J(x)=(-1)mJ(x)-m m渐进性质当lxl>>1时P^(x)-P1(x)=(2n+1)P(x)具有轴对称性质的拉普拉斯方程V2u(r,0,^)=V2u(r,