自主招生数学及历年试题

自主招生数学讲义分配

编号内容负责人

1数列递推公式，求数列通项邵宏宏

2数列求和邵宏宏

3数学归纳法孙雁

4杂数列季风

5三角恒等变换孙雁

6三角不等式王敏杰

7抽象函数倪国红

8函数与方程张宇

9函数图像张宇

10向量综合倪国红

11直线与圆黄润育

12圆锥曲线周延军

13参数方程、极坐标周延军

14立体几何季风

15复数综合黄润育

16组合杂题王敏杰

说明：

1.建议大家参考发给大家的自主招生试题集，主要是复旦、交大等的试题,

挑选相应内容的中等或中等偏上试题；

2.讲义格式，试题数量参考发给大家的讲义范例;

3.时间上要求在国庆后交初稿

大学自主招生数学简明讲义

第一讲递推数列求通项...........................................3

第二讲数列求和.................................................8

第三讲数学归纳法..............................................11

第四讲数列杂题................................................16

第五讲三角恒等变换............................................19

第六讲三角不等式..............................................24

第七讲函数性质................................................29

第八讲函数与方程..............................................32

第九讲函数性质................................................35

第十讲向量综合................................................45

第十一讲直线与圆................................................45

第十二讲圆锥曲线................................................57

第十三讲参数方程、极坐标........................................58

第十四讲立体几何................................................58

第十五讲复数综合................................................64

第十六讲组合杂题................................................64

第一讲递推数列求通项

一、公式法

例1、已知无穷数列｛%｝的前〃项和为S,,,并且a“+S“=l(〃eN*),求

｛a,,｝的通项公式？

反思：利用相关数列｛%,｝与｛SJ的关系：/=S1,%=S“-S,i(〃22)与

提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.

二、归纳猜想法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利

用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.

例2、己知数列｛““｝中，％=1,=2^+1(»>2),求数列｛%｝的通

项公式.

【解析】：,/=1,an=2a“_1+1("-2)，a2=2a,+1=3,

a3=2a,+1=7■■■•

猜测a“=2"-l(〃eN*),再用数学归纳法证明.(略)

反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定

要用数学归纳法证明其正确性.

三、累加法：利用/=%+(。2-6)+…(4一%_1)求通项公式的方法称为

累加法。累加法是求型如％+|=4+/(〃)的递推数列通项公式的基本方法

(/(〃)可求前”项和).

例3、已知无穷数列｛%｝的的通项公式是,若数列也｝满足

4=1,bn+i-bn=-(„>i),求数列也｝的通项公式.

反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为=%+/(〃)o

四、累乘法:利用恒等式对=6女&…上匚(。,尸0,〃？2)求通项公式的方

a\a2an-\

法称为累乘法，累乘法是求型如：fl„+,=g(〃)。”的递推数列通项公式的基本方

法(数列g(〃)可求前〃项积)。

反思：用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为=g(〃)a“.

五、构造新数列(待定系数法)：将递推公式。用=4。“+〃(％"为常数，

qWO,d#0)通过(a“+j+x)=q(a,+x)与原递推公式恒等变成

。,川+—”―=如。“+上一)的方法叫构造新数列，也即是待定系数法。

q-\q-\

例5、己知数列｛4“｝中，％=l,a“=2a._j+1(”22),求｛6,｝的通项公式.

反思：构造新数列的实质是通过(。用+x)=q(a“+x)来构造一个我们所熟知

的等差或等比数列.

CCL

六、倒数变换：将递推数列句讨=-J(cwO,dwO),取倒数变成

an+d

的形式的方法叫倒数变换。然后就转变为第五种情况，此时

«„+1canc

将数列I」-（看成一个新的数列，即再利用“构造新数列”的方法求解。

例6、已知数列｛4｝（〃eN*）中，％=1,%+]=———，求数列｛4｝的通项

2a0+1

公式.

反思唯I数变换有两个要点需要注意:一是取倒数.二是一定要注意新数列的首

项,公差或公比变化了。

七、特征根法：形如递推公式为%+2=P%+i+qa”（其中P，q均为常数）。

对于由递推公式%+2=pa“+]+qan,有q=a,牝=6给出的数列

｛a„｝,方程x2-px—q=0,叫做数列｛a,J的特征方程。

若再是特征方程的两个根，

当再/匕时，数列｛aj的通项为a“=4<T+8x尸，其中A,B由

a｝=a,a2=P决定（即把内,。2，再，％2和〃=L2,代入a“=Ax"~'+Bx；",

得到关于A、B的方程组）；

当项=》2时，数列｛。“｝的通项为%=（，+8〃）X；T，其中A,B由

flj=a,a2=>决定（即把。“&2，4，*2和〃=1,2,代入a”=（4+Bn）x"~',

得到关于A、B的方程组）。

例7:数列｛aJ满足3%+2-5a“+1+2a,=0（/7>0,neN）,ax=a,a2=h,

求E

反思：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出A,B的

用已知量a,b表示的值，从而可得数列｛a"的通项公式。

八、不动点法

若A,B，0且AD-BCW0,解x="x十,，设。£为其两根

Cx+D

I、若a丰B,数列｛2二3｝是等比数列;

a,.-P

n、若。=力，数列｛---｝是等差数歹!］。

a„-a

例8、已知数列｛an｝满足an+i='」f，a1=2,求数列

2an+3

｛an｝的通项公式。

金,、3x—1

反思：本题解题的关键是先求出函数f(x)=:；——二的不动点，即方程

4x+7

7x-21_1,2

'=五仔的根x=1，进而可推出二JF—不从

而可知数列｛；f｝为等差数列，再求出数列｛；7｝的通项公式，最

后求出数列｛an｝的通项公式。

九、换元法即是将一复杂的整体用一个新的符号来表示，从而使递推数

列看起来更简单，更易找到解决的方法。

例9、已知数列｛aj满足

an+i=+4an+Jl+24an），a,=1,求数列｛an｝的

10

通项公式。

反思：本题解题的关键是通过将正724an的换元为bn,使得所给递推

,_1,3

关系式转化bn+1='bn+'形式，从而可知数列｛bn-3｝为等比数

列，进而求出数列｛bn一3｝的通项公式，最后再求出数列｛an｝的通项

公式。

十、取对数法：形如%+1=pa；(p>0,%>0)

这种类型一般是等式两边取对数后转化为%+1=pan+q,再利用构造新

数列(待定系数法)求解。

1,

例10：已知数列｛%｝中，q=1,%+|=—«；(a>0),求数列

a

｛a“的通项公式

十一、周期型：由已知递推式计算出前几项，寻找周期。此题型一般是在不

能运用以上各种方法的情况下可考虑到这种方法，具有一定的探索性，虽然

比较简单，但也是一种很重要的数学思想，需要好好掌握。

2a„,(0<«„<-)

例11：若数列｛%｝满足%，若q=—,则出。的值

117

2a„-1,(-<«„<1)

为___________

反思：此题的关键在于观察递推数列的形式，取一些特定的n的值，求出数

列的前几项的值，从而找到其周期，这样问题就迎刃而解了。

第二讲数列求和

1.公式法

等差数列前n项和:

与二^2”卓。

特别的，当前n项的个数为奇数时，S2«+i=(2左+l)Eh〃+|,即前n项和为中

间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n项和：

q=l时，Sn=M6f|

4Hi,S“=r-------特别要注意对公比的讨论。

其他公式：

»1a1

1、Sn=VA:=—n(n+1)2、S“==—〃(〃+1)(2〃+1)

p2A=i6

+1)]2

-1,,

［例1］已知log?x=-------,求x+x~++…+x”+…的前n项和.

我23

*S

［例2］设Sn=l+2+3+...+n,nGN,求/(〃)=-----2-------的最大值.

(〃+32)S.+i

2.错位相减法

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要

用于求数列｛an・壮｝的前n项和，其中｛a0｝、｛bn｝分别是等差数列和等比

数列.

［例3］求和：S“=1+3x+5x'+7x，+…+(2〃—l)x"1

2462〃

［例4］求数列一,一亍,—r,--—，…刖n项的和.

222232"

练习：

2

求：Sn=l+5x+9x+...+(4n-3)x"i

3.反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来

排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(％+6,).

［例5］求sin?1°+sin?2°+sin23°4--I-sin288°+sin289°的值

4.分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆

开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

［例6］求数列的前n项和：1+1,—F4,——+7-■,——+3n—2,...

aa~an~

［例7］求数列｛n(n+l)(2n+l)｝的前n项和.

练习：求数列(〃+!),…的前n项和。

2482"

5.裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列

中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和

的目的.通项分解(裂项)如：

(1)a„=/(«+1)-./'(«)

(2)犯^------=tan(/?+1)°-tann

cosn"cos(〃+l)°

111

(3)a=

nn(n+1)nn+1

,、(2〃)2,1,11、

4A"~(2M-1)(2»+1)-+22n-l-2n+l

(5)a“=------=-［—----------］

〃(77-1)(〃+2)277(/7+1)(〃+1)(/7+2)

(6)

%=3'=.如+1)-〃.一_则S.=l

"n(n+1)2"n(n+1)2"n-2"~'(〃+1)2"”("+1)2”

［例9］求数列一^,厂1■■,y-\------.,■••的前n项和.

1+J2V2+V3+l

［例10］在数列｛an｝中，an=------H------1---F—,又白,=-------,

〃+1〃+1«+1an-a“+［

求数列｛%｝的前n项的和.

［例11］求证：-----5--+--X--++---J---=黑一

cos00cosTcosl°cos2°cos88°cos89°sin~1°

练习：求13,115,135,163之和。

6.合并法求和

针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此,

在求数列的和时.，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

［例12］求cosl°+cos2°+cos3°++cosl78°+cosl79°的值.

解：设Sn=cosl°+cos2°+cos3°+•••+cosl78°+cosl79°

•・・cosw°=-cos(180°-«0)(找特殊性质项)

00

Sn=(cosl+cos179°)+(cos2°+cosl78°)+(cos3+cosl770)

+•••+(cos89°+cos91°)+cos90°(合并求和)

=0

［例13］数列｛an｝：%=1,。2=3,。3=2,4+2=a0+i-%，求S2002.

［例14］在各项均为正数的等比数列中，若%%=9,求

log,4+log,a2+---+log3%o的值.

以上一个6种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原

数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的

求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规

律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。

第三讲数学归纳法

【基础知识】

1.数学归纳法可以证明与正整数n有关的命题，可以是数列通项，数列求和，

也可以是不等式证明，整除问题等.自主招生中不等式的证明较常见.

2.数学归纳法证明的格式特别要注意，第一步对初始值的验证必须做，第二

步假设n=k时命题成立，证明n=k+l时命题也成立.第二步的证明需要用

到归纳假设，还需要从题设中利用递推关系从n=k得到n=k+l时的表达

式.两个步骤都非常重要.

3.数学归纳法的关键在与如何得到一个普遍适用的递推关系，如何从n=k证

明—k+l时命题仍成立，有时候归纳的技巧比较高.

【典型例题】

例题1：设斐波那契数列/=人=1,/川N*），求证：几,

是5的倍数.

【分析工这是整除问题，关键是如何利用归纳假设.〃=上到〃=左+1,其

实质是将，*+4表示成£人和另外5的倍数的形式，利用递推公式可得.

例题2：设正数数列｛%｝的前n项的和为S,，且S“='(七+'-),试猜想

2an

出并证明数列｛%｝的通项公式.

【分析】：数学归纳法在数列中求通项、求和时是基本的方法之一.猜测、归

纳、证明，完整的解答需要这三个方面.

【解答】：n=l时，a=S,=—(a,4---),所以4=1；

]2%

n=2时，S2=4-a2=—(a9+—)，所以a；+2a2—1=0,a2=V2-1

-2~a2

(负值己舍)；

n=3时，S3=%+%+%=—(%---)，所以a；+2^2(7^—1=0,

2Q3

CI3=V3-V2.

猜想%=册一五=I,下面用数学归纳法证明.

(1)当n=l,2,3时命题已证.

(2)假设n=k时，有a*=4k-yjk—X成立.则当n=k+l时，

ak+\=Sz-S时，即

1/1、1/1、

aM-T(4+i+--)~TQ+—)

2aM2ak

=((a“i+」一)-<(«-yjk-\+j-l,3=；(4+i+」-)-“，

2-2\lk-Jk-12ak+i

所以。；+|+2而什]-1二0,所以Qk+T=HK-“，猜想也成立.

综上得，对一切〃EN,%二册--1总成立.

例题3：证明：1+上+J+…+二<2—L("22,〃eN*)

23nn

【分析工这是数学归纳法证明不等式，利用归纳假设和不等式证明的基本方

法是关键.不等式证明的常用方法有比较法，放缩法，公式法，分析法，综

合法，反证法等.

【证明工①当〃=2时，左边=』<2—4=右边，即不等式成立;

42

皿111cl

②假设n=k(kN2)时不等式成立,即14-H——+…4---<2---

2232k2k

则〃=A+1左边

=1H——H—1—T-----7<21------<2---1------=2-----

2232k2("Ipk("Ipkk(k+X)k+\

故，〃=左+1时不等式也成立.

由①、②知，原不等式成立.

例题4：证明不等式(])">〃!>(3)”,当自然数〃次时成立.

【分析】：由于是两个不等式，证明时要注意归纳假设也是两个不等式.

【证明】：①当〃=6时，不等式变形为§)6=729>6!=120>§)6=64,

显然成立;

②假设〃=k*>6)时不等式成立，即(|/>A!>(gy

则〃=左+1时要证(警)>/+1)!>(7)八।；

根据归纳假设，/+l)!=(A+l)/!<(A+l>(1y；

(左+1).分<(e产=2<(i+；y,

22k

而//)=(1+(>单调递增，且2=/(l)W/(%)<e<3,故

（寸）/+1）!成立

同理，/+1）!=/+i）M!〉/+i>（|y,

优+1）・（4）”〉（5y+|<=>3>（1+-/也成立

33k

故〃=左+1时不等式（浮）*|>（左+1）!>（容）八|也成立.

由①、②知，原不等式成立.

例题5:对于任意N,须,吃,…X“均为非负实数，且X]+》2+…+x“W],

试用数学归纳法证明：（1—%）（1—丫2）…（1一.）2g成立.

【分析】：如何利用已知条件中的关于n的表达式，是归纳假设的关键.

证明：①显然，〃=1时，%]<-^=>l-x1>^；当〃=2时，x,+x2<,

又X”马为正数，故（1一M）（1一%2）=1-（玉+%2）+玉》222+玉％22；，不等

式成立；

②假设当〃=%时，不等式成立，即正数再产2，/,…

若玉+工2+/+…+/《Q，则（1一X）（1-工2）（1—工3）…（1-%）2万.

于是，当〃=k+1时，正数万,%2，x3,…，程与+1

有％/+工3---/+/+1<Q，根据归纳假设，

有（1_玉）（1_彳2）（1_七>_（1一4-4+1）25成立.

故只需证明（1一%）（1-X*+J21-/-X*+1成立即可.

显然，（1一4）（1-々+1）—（1_**-4+]）=4/+]20成立，故〃=左+1时

不等式也成立.

综合①、②得，原命题成立.

n（„\2

例题6：已知对任意“wN*,有a“>0,且,求证：an=n

/=1\/=!7

【分析】：本题归纳假设时稍有不同，需假设之前的都成立

【证明】：①当〃=1时，.：=42,又%>o,故q=1；

②假设〃〈人（左21）时均有4=左，则〃=左+1时

A+lkfkA2(k+l

这，+*i=力%=*

即疯=2%1>+吭，又%>0及归纳假设得1>=誓12

Z=l/-IL

得a；+i—%+1—k("+1)=0=>4+1=k+\,即”=k+1时也有4+1=k+1成立.

由①、②知，原命题成立.

【巩固练习】

1.若其中n为非负整数,求证：1V+2+12用是勤3的倍数.

2.已知数列｛%｝的前n项和2=-%-（；尸+2（n为正整数），猜测并证

明｛%｝的通项公式.

1+~^=+H---F~^=<2y[n,£N*)

3.证明不等式:

1〃1

4.已知数列｛斯｝，=-------，=(n£N*),求证：VaA.<2(1——；-——)

+k=i+l

5,设g=A/T~^+J2・3+•••+Jn(n+1)

证明不等式吆也<明〈如2对所有的正整数n都成立.

22

,4T3572/7+1I------,

6.求证：-------------+(neN]

2462n''

7.已知正数…X“，求证：'+工+~~>^X1X2---Xn

«

第四讲数列杂题

【典型例题】

例题1：在｛%｝中，q=4,a“=J1+6,

①求证：,0T-3|②求lima”。

例题2：口袋中有4个白球，2个黄球，一次摸2个球，摸到的白球均退回口

袋，保留黄球，到第〃次两个黄球都被摸出，即第〃+1次时所摸出的只能是

白球，则令这种情况的发生概率是勺，求鸟，鸟，勺。

例题3：数列｛4｝满足4用+(—1)%,,=2〃一1,则｛4｝的前60项和为。

例题4：设(1+夜)"=%+%8，其中为整数，求〃-8时，&的极

yn

限.

例题5：数列他｝满足条件:a,=l,an=l+—(n>2)

(2)-<a'^~a'-<l(>2)

试证明：(Dl<a„<2(neN*)w

32

【巩固练习】

1.下列正确的不等式是.

120]

C.20V):--=<21；

A-i0k

2.设函数/(x)=2x-cosx,{a,,}是公差为々的等差数歹U，

8

八4)+/(々)+…+/他)=5万，则[/(《)『一。臼=()

113

O2212

不

万

A&万C-D--

、

、

、

816

3.1-1!+2-2!+3-3H-\-n-n\=.\

4.在正项等比数列｛凡｝中，a5=1,牝+的=3，则满足

%+名----…。〃的最大正整数〃的值为

5.已知函数工(8)="，对于〃=1,2,…,定义£x(x)=((£(x))，若

<5。)=工(X)，则人8(X)=•

raI

Xn+[-1

6.设a为正整数，数列｛%｝满足玉=a,怎M=[----Z](〃€N*),现有

下列命题:

①当。=5时，数列｛%｝的前3项依次为5,3,2；

②对数列｛/｝都存在正整数女，当〃2人时总有4二4;

③当〃21时，xfl>4a-1；

④对某个正整数左，若XjX£,则x“=[&]。

其中的真命题有。(写出所有真命题的编号)

17兀

7.数歹！J｛%｝的通项公式a,,=〃cos——+1,前〃项和为Sn,则S2012=—»

8.设函数/(x)=®,则S=l+2/(x)+3/2(x)+…+”"T(x)=

X

9.已知数列｛%｝、也,｝满足4+1=-an-2bn，且b“x=6a„+6b”,又

%=2,4=4,求⑴an,bn；(2)lim—.

b”

10.设知=｛3,4｝为部分正整数组成的集合，数列｛%｝的首项q=l,前〃

项和为S,,,已知对任意整数逐当整数〃〉上时，

S“+*+S,T=2(S“+S*)都成立，求％

11.已知数列｛6,｝中，q=3,=3""T,求证，an=4/??+3(m是非负整

数)

12.数列｛%｝满足：玉=0,x“+|=-x；+x“+c(〃eN*)

(I)证明：数列｛x,,｝是单调递减数列的充分必要条件是c<0

(II)求c的取值范围，使数列｛瑞｝是单调递增数列。

1348两人轮流掷一个骰子，第一次由A先掷，若A掷到一点，下次仍由

A掷：若A掷不到一点，下次换B掷，对B同样适用规则。如此依次投掷,

记第〃次由A掷的概率为4,。

(1)求4+1与4的关系：(2)求lim/“。

“T8

14.求证：(1+-)"<(1+—)n+1(rtGN*)

n〃+1

第五讲三角恒等变换

【基础知识】

1.三角问题主要包括三角化简求值，解三角形和三角恒等式证明.通常都要

用到三角公式，正余弦定理，三角形中相关的定理等.自主招生中对三角

变换要求较高.

2.要熟练运用三角恒等式变换，需要熟悉半角公式、和差化积、积化和差等

公式.

0sin。l-cos。

tan—=----------=-----------；

21+cosCsin。

sin26=cos?6-sin?0-2cos20-\=l-2sin20；

..c.a+Bex—(3

sina+sin0Q=2sin-----cos........-；

22

cosa+cos夕=2cosa+cos—~~—；

22

sina-cos1=5[sin(a+〃)+sin(a-〃)]；

cosa•cos夕=；[cos(cr+夕)+cos(a—/?)]

3.三角恒等变换是代数变换，选择公式前要注意观察，通常观察已知条件和

结论中代数式形的变化，观察角的变化，观察三角比名称的变化，观察代

数式次数的变化等，然后根据变化选择合适的公式.

【典型例题】

,34

例题1：已知sina+siny=1,cosa+cos/=w，求cosa・cosy的值.

【分析】：己知条件平方和后可以得到cos(a-7),结论中用积化和差，还需

耍cos(a+y),需要从条件中再用和差化积.

【解答】:sina+siny=2sin"+'cos?-,

225

-a+ya-y4

cosa+cosy=2cos------cos------二—

225

两式平方和得，4cos2~~~~=2[l+cos(a-沏=1=>cos(a-y)=-；，

两式相除得，tan2±Z=3=>cos(a+/)=—

2425

故cosa•cos/=—[cos(a+y)+cos(a-7)]=-.

例题2：在A4BC中，若勿sin/=(26+c)sin6+(2c+6)sinC,求A的大小.

【分析】：解三角形通常利用正、余弦定理化为边或者角的运算.

【解答】：利用正弦定理化为边，则

2a2=(2b+c)b+(2c+b)c=>a2=b2+c2+bc

124

再对照余弦定理，得cos/=—=>A=—.

23

例题3：试推导三角形面积公式一海伦秦九韶公式:5=历荷不丽石，其

中p=4(〃+6+c).

[解答]：S=gaZ?sinC=gaby/\-cos2C=；aby](l4-cosC)(l-cosC)

22222

c-a+b-c万(a+b)-c(Q+b+c)(a+b-c)

又cosC=---------------=>I1+cosC=---------------=------------------------

2ab2ab2ab

1-c2-(a-h)2(c+a-b)(c-a+h)

1—cosC=--------------=------------------------

2ab2ab

故S=一(c+a+b)(a+6+c)(c+Q—b)(c-a+6)

2ab2ab

即5=Jp(p-a)(/?_b)(p_c)

例题4：化简：cos2nr+cos2J3-2cosacos/3cos(cr+B)

【分析】：三角比中sina,cosa可以看成对偶式，利用这种关系构造对偶式求

解.

【解答】：令M-cos2a+cos2-2cosacos[3cos(6ir+/3)

N=sin2a+sin2,-2sinasin4cos(a+/)

则M+N=2—2cos?(a+4)=2sin2(a+0)

M-N=cos2a+cos24一2cos(a-0cos(a+夕)=0

故M=N=sin?(a+4)

即cos2a+cos2J3-2cosacosftcos(a+^)=sin2(a+/)

实际上，也化简了

sin2a+sin2-2sinasinJ3cos(a+yff)=sin2(a+0)

例题5：设火尸为锐角，旦sin2a+sin?夕=sin(a+/?),求证：a+§=%

【分析】：作为等式的证明，各种方法都要考虑，本题可以用反证法.

【解答】:根据题意得sin?a+sin2°=sinacosP+cosasinp

即sina(sina-cosp)-sin夕(cosa-sin夕).......①

因为火尸为锐角，若a+/?>5=>5>a>5-尸>0,根据正余弦函数的

单调性，则sina-cos0>sin(^--伊-cos。=。

兀

coscr-sin[5<cos(y-y5)-sin/=0

此时①式两边一正一负，不成立，与已知条件矛盾；

同理，若工=>0<&<四一£<卫

222

兀

则sina-cos(3<sin(y一4)一cos/?=0

JI.

cosa-sin/3>cos(y一4)一sin/?=0

此时①式两边仍然一正一负，不成立，与已知条件矛盾；

TF

故只有a+£=]

例题6：求证：sin36=4sin，sin(60°-e)sin(60°+e)

【分析】：注意观察两边的角的变化，式的变化，利用积化和差公式即可.

【证明】：右边=2sinacos10-cos120°]=sin36+sin(-6)+sin。=sin36

故等式成立.

ABC

例题7：在AABC中，求证：—r=4sin—sin—sin—

R222

【分析】：和差化积与积化和差公式在复杂的三角化简中很重要.

【解答】：S=—(tz+Z)4-c)r=—tz/)sinC=>r=""sin。

22(Q+"C)

A.B.CABC

8sin—sinsin—coscos—cos—

r_absinC2sin力sin8sinC~222

R(Q+6+C)sin4+sin3+sinCsin-cosi+sinMosC

2222

B

8sin-sin-sin-cos-cos■&inOsin,"c-

22222_22222

A-B.CA-B4+B

cos+sin—cos+COS

2222

ARC

即等式2r=4sin-sin-sin-成立.

R222

【巩固练习】

,八+、丁a2-b2sin(J-5)

1.AABC中，求证：----=----------

c2sinC

2.在△ABC中，设Q+C=26,A-C=60°,求sinB的值

3.化简：cos3a-cos3a+sin3a-sin3a

AC

4.在aABC中，已知tanA:tanB:tanC=l:2:3,求-

AB

5.化简：cos30=4cos0cos(60°-0)cos(60°+0)

6.化简：tan33=tan6•tan(60°-0)-tan(60°+0)

、工但sin1°+sin2°+sin3°+・•・+sin44°

7.计算：——7-------7------------5-------------------77

COST+cos2+cos3+・・・+cos44

【提示解答】

第六讲三角不等式

【基础知识】

1.三角形不等式包括三角形中的不等关系和三角函数的最值，这两个方

面在处理方法上在同小异，并互为所用，并且代数与几何的相关知识常常练

习在一起.

2.三角不等式首先是不等式，因此，不等式的有关性质和证明方法在这

里都用得上.其次它含三角函数，因此三角函数的单调性、有界性(或极值),

正负区间，图像特征都是处理三角不等式的锐利武器.

3.三角形内的不等式是一类特殊的三角不等式，无论在结构上还是在证

法上都有特别之处，需要加倍注意.熟记一些基本的不等关系.

兀

A>B<=>a>b<=>sinA>sinB；若xw(0,—),则sinx<x<tanx

【典型例题】

TTTT

例题1：已知函数/(x)=tanx,xe(O,,)，若王，/e(0,,)且司，求

证：

，〃玉)+/(3)]>/[詈)

【分析】：这是求证正切函数的凸性，不能用图像说明，必须用代数证明.

1/.\1<­Asin」~

【证明】：1〃西)+〃々)]>/空

2\^)21cos再COSX2Jco.F十勺

2

.玉+马

1sin(x.+x)Sin7x.+x.

!?7

<=>--------------->---------——=cos—------>cosx.•cosx7

2cosx.cosx.…X]+乙2

2

=；[1+COS（X[+工2）]>；[COS（X]+%2）+COS（X]-x2）]<=>1>COS（XI-x2）

故不等式成立

例题2：在锐角△NBC中，求证：

sin/+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC

TTTT7T.

【证明】：因为△NBC是锐角三角形，故4+8>巴口2>4>2—8>0

222

所以，sin/>sin（'-8）=cosB,同理有sin8>cosC,sinC>cosZ

于是，sin/+sin8+sinC>cosA+cosB+cosC

例题3：若6e(0,5),求证：sin<tan0

【分析】：本题是经典的数形结合问题，如果利用导数，结合函数单调性也可

以解决.

【证明】：方法一，利用单位圆

如图，单位圆与x轴交于点A,角。的终边与单位圆

交于点B,0B的延长线与过A的切线相交与C,则比较

△40B,扇形4。8及△ZOC的面积，化简后即得到

sin""tan。

方法二，利用导数，利用函数单调性

考虑/(x)=tanx-x,xe[0,三)，/'(%)=―\----1>0,

2'cosx

即/(x)单调递增，于是/(x)>/(0)=0ntanx>x

考虑函数g（x）=x-sinx,xe[0,^-）,g'（x）=1-cosxN0,

即/(x)单调递增，于是g(x)>g(0)=0=>x>sinx

综上得原不等式成立.

例题4：求证：2sin，x+3sin2xcos2x4-5cos4x<5

证明：设力=2sin4x4-3sin2xcos2x+5cos4x,

B=2cos4x+3cos2xsin2x+5sin4x

则A+B=7(sin4x+cos4x)+6sin2xcos2x

=7(sin2x+cos2x)2-8sin2xcos2x

=7-2sin22x=5+2cos22x

^-B=3(cos4x-sin4x)=3(cos2x-