弹性力学第二章平面问题的基本理论

平面问题的基本理论xyO当前1页，总共99页。·空间问题的简化§2-1平面应力问题与平面应变问题弹性力学均为空间问题，但在特殊情况下，可简化为平面问题，能减少未知量个数，便于方程求解，且精度不受影响。·平面应力问题♢几何特征等厚度薄板♢面力与约束只在板边上，平行于板面，不沿厚度变化♢体力平行于板面，不沿厚度变化当前2页，总共99页。§2-1平面应力问题与平面应变问题·平面应力问题♢简化分析板面无面力和约束板很薄，外力不沿厚度变化，应力沿板厚连续分布切应力互等定理当前3页，总共99页。§2-1平面应力问题与平面应变问题·平面应力问题应力分量只剩★应力只存在平面应力，所以称为平面应力问题板很薄，外力和约束不沿厚度变化♢简化分析★应力分量均为x、y的函数，不随z变化当前4页，总共99页。§2-1平面应力问题与平面应变问题·平面应力问题♢工程实例平板坝的平板支墩深梁当前5页，总共99页。§2-1平面应力问题与平面应变问题·平面应变问题♢几何特征无限长的柱形体，横截面不沿长度变化♢面力与约束作用于柱面，平行横截面，不沿柱体长度方向变化；♢体力作用于柱体内，平行横截面，不沿柱体长度方向变化；当前6页，总共99页。§2-1平面应力问题与平面应变问题·平面应变问题♢简化分析截面、外力、约束沿z不变，外力、约束平行

xy面，柱体无限长任何截面都是对称面w=0，u、v≠0τzx=0、τzy=0εz=0γzx=0、γzy=0εx、εy、γxy≠0★应变只存在平面应变，所以称为平面应变问题★应变和位移均为x、y的函数，不随z变化当前7页，总共99页。§2-1平面应力问题与平面应变问题·平面应变问题♢工程实例挡土墙隧道虽然这些结构并不符合无限长柱形假设，但离两端较远处，仍可按平面应变问题进行计算，精度可满足要求。当前8页，总共99页。§2-2平衡微分方程·平衡微分方程微元体的平衡平衡微分方程*建立应力分量与体力分量之间的关系*表示物体内任意点的微元体平衡条件当前9页，总共99页。§2-2平衡微分方程·微元体*微元体尺寸dx、dy、1*应力分量作用在微分面中心上*应力分量随坐标变化*体力作用在体心*变形后尺寸可用变形前尺寸代替xyOσx∂σx

∂xσx+

dx当前10页，总共99页。§2-2平衡微分方程·推导∴∴∵∴切应力互等定理(1)当前11页，总共99页。§2-2平衡微分方程·推导(2)坐标轴方向合力为0方程两边同除dxdy同理，ΣFy=0平衡微分方程当前12页，总共99页。§2-2平衡微分方程·总结平衡微分方程*3个未知量，2个方程，还需另外方程*弹性体内任意区域都精确成立*平面应力和平面应变问题都适用*基于连续性、小变形假定当前13页，总共99页。§2-3平面问题中一点的应力状态·问题的提出已知P点应力分量，求过P点任意斜面上应力?xyOPABncos(n,x)=l,cos(n,y)=mppxpypx：p在x轴投影py：p在y轴投影AB=dsPB=ldsPA=mdsΔ

PAB=lds·mds/2当前14页，总共99页。§2-3平面问题中一点的应力状态·推导xyOPABnppxpyσyσxτyxτxyΣ

Fx

=0，得

px

ds-σxlds-τxymdslds·mds+fx2=0fxfy同除ds，且ds→0

px=lσx+mτxyΣ

Fy

=0，得

py=mσy+lτxy(2-3)当前15页，总共99页。§2-3平面问题中一点的应力状态·推导xyOPABnppxpyσnτnσn：AB面上正应力τn：AB面上切应力σn=lpx+mpy由(2-3)式，得σn=l2σx+m2σy+

2lmτxyτn=lpy-mpxτn=lm(σy-σx)+

(l2-

m2)τxy★

由一点应力分量可求任一斜面上正(切)应力当前16页，总共99页。§2-3平面问题中一点的应力状态·主应力xyOPABn’σnτnσ：主应力=pxm由(2-3)式，得σ-σxA’B’σA’B’：应力主面n’：应力主向py=mσlσx+mτxy

=lσmσy+lτxy

=mσlσ2–(σx+σy)σ+(σxσy–τxy)=0τxy=mσ-σylτxy=lσ主应力特征方程全应力=正应力当前17页，总共99页。§2-3平面问题中一点的应力状态·主应力特征方程xyOPABn’σnτnA’B’σσ2–(σx+σy)σ+(σxσy–τxy)=0*两主应力都是实数*

σ1+σ2=σx+σy*当前18页，总共99页。l2m2cosα2cos(90–α2)cosα2sinα2

l1m1cosα1cos(90-α1)cosα1sinα1§2-3平面问题中一点的应力状态·主应力方向xyOPσ1α1tanα1===tanα2===当前19页，总共99页。σ1-σxτxy§2-3平面问题中一点的应力状态·主应力方向xyOPσ1α1σ1由(a)式，得tanα1=σ1-σxτxy=σ2-σyτxytanα2,σ1+σ2=σx+σy=-tanα2∴tanα1·tanα2=-1∴σ1

σ2σ2σ2⊥l2m2cosα1cos(90–α2)cosα2sinα2

l1m1cosα1cos(90-α1)cosα1sinα1tanα1===tanα2===当前20页，总共99页。§2-3平面问题中一点的应力状态·最大最小正应力xyOσ1σ1由(2-4)式，得τxy=0∴σ2σ2σx=σ1σy=σ2l2σx+m2σy+

2lmτxyσn==l2σ1+m2σ2=l2σ1+

(1-l2)

σ2=l2(σ1–σ2)+σ2σmax=σ1

σmin=σ2

两主应力就是最大与最小正应力l2=1l2=0当前21页，总共99页。-(-l2)24121=±l1-l2

(σ2–σ1)

§2-3平面问题中一点的应力状态·最大最小切应力xyOσ1σ1由(2-5)式，得∴σ2σ2lm(σy-σx)+

(l2-

m2)τxyτn==lm(σ2–σ1)

τmax=最大与最小切应力与应力主向成45°=±l2–l4

(σ2–σ1)

=±

(σ2–σ1)

σ1–σ22τmin=-σ1–σ22l2=1/2当前22页，总共99页。§2-3平面问题中一点的应力状态·总结一点应力状态已知应力分量任意斜面上的应力主应力大小和方向最大（小）正应力最大（小）切应力当前23页，总共99页。§2-4几何方程刚体位移·几何方程xyOPABPA=dxPB=dyP’A’B’u：P点x方向位移uu+

∂u

∂x

dxvv+

∂v

∂x

dxu+

∂u

∂y

dyv+

∂v

∂y

dyv：P点y方向位移αβα：PA转角β：PB转角应变与位移的关系当前24页，总共99页。§2-4几何方程刚体位移·几何方程xyOPABP’A’B’uu+

∂u

∂x

dxvv+

∂v

∂x

dxu+

∂u

∂y

dyv+

∂v

∂y

dyαβεx

=(u+∂u

∂xdx)-udx=∂u

∂x

略去v引起的PA伸缩εy

=∂v

∂yα=(v+

∂xdx)-vdx=∂v

∂x∂vβ=∂u

∂yγxy

=α+β=∂v

∂x+∂u

∂y当前25页，总共99页。§2-4几何方程刚体位移·几何方程εx

=∂u

∂xεy

=∂v

∂yγxy

=∂v

∂x+∂u

∂y*

位移分量确定，形变分量确定*

形变分量确定，位移分量不确定*

建立位移分量于形变分量关系*基于连续性、小变形假定当前26页，总共99页。§2-4几何方程刚体位移·刚体位移与变形无关的位移=0∂u

∂x=0∂v

∂y∂v

∂x+∂u

∂y令εx

=εy=γxy=0，

求u、v？由几何方程，得=0前两式分别对x、y积分，得u=f1(y)v=f2(x)代入第三式，得=df1(y)

dy-df2(x)

dx=ω常数当前27页，总共99页。§2-4几何方程刚体位移·刚体位移积分可得，f1(y)

=u0-ωy=df1(y)

dy-df2(x)

dx=ωf2(x)

=v0+ωxu0、v0任意常数u=u0-ωyv=v0+ωx刚体位移u0：x方向刚体平移v0：y方向刚体平移设u0

≠0、v0=ω=0，则u=u0，v=0设v0

≠0、u0=ω=0，则v=v0，u=0当前28页，总共99页。u2

+v2§2-4几何方程刚体位移·刚体位移u=u0-ωyv=v0+ωx刚体位移ω：绕z轴刚体转动设ω

≠0、u0=v0=0，则u=-ωy，v

=ωxxyOP

ωx

ωy

ωρP点位移：=(-ωy)2

+(ωx)2

=x2

+y2ω

(x,y)xyρ=ωρ

αtanα=ωy/(ωx)

=y/xφ=tanφ

PP’⊥OP

P’当前29页，总共99页。§2-4几何方程刚体位移·刚体位移u=u0-ωyv=v0+ωx刚体位移ω：绕z轴刚体转动u0：x方向刚体平移v0：y方向刚体平移*物体不变形，仍可以有刚体位移*由几何方程得出的位移，含有不确定的刚体位移项*要完全确定位移，必须引入约束条件当前30页，总共99页。§2-5物理方程·物理方程应力与应变的关系εx

=E1[σx-μ

(σy+σz)]εy

=E1[σy-μ

(σz+σx)]εz

=E1[σz-μ

(σx+σy)]γyz

=G1τyz，γzx

=G1τzx，γzx

=G1τzxE：弹性模量

μ：泊松比G：剪切模量G=E2(1+

μ

)当前31页，总共99页。§2-5物理方程·物理方程♢平面应力问题σz=0εx

=E(

σx–μ

σy)1εy

=E(

σy–μ

σx)1γxy

=Eτxy2(1+μ)平面应力问题的物理方程τyz=τzx=0γyz=γzx=0εz

=-(

σx+σy)Eμ不作为独立未知函数当前32页，总共99页。§2-5物理方程·物理方程♢平面应变问题εz=0εx

=E1–μ2

εy

=γxy

=Eτxy2(1+μ)平面应变问题的物理方程τyz=τzx=0γyz=γzx=0σz=

μ

(

σx+σy)不作为独立未知函数σx-

1–μμ

σyE1–μ2

σy-

1–μμ

σx当前33页，总共99页。§2-5物理方程·物理方程平面应力问题平面应变问题E→E1–μ2

μ

→

μ1–μ两种平面问题的物理方程不一样。但只需对一种问题的弹性常数进行变换，就可导出另外一种问题的方程。当前34页，总共99页。§2-5物理方程·总结平衡微分方程几何方程物理方程边界条件未知量：2个3个3个εx、γxyεy、u、vσx、σy、τxy8个当前35页，总共99页。§2-6边界条件·边界条件边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。♢位移边界条件♢应力边界条件♢混合边界条件当前36页，总共99页。§2-6边界条件·边界条件♢位移边界条件边界(su)上的约束为u(s)和v(s)，则约束与位移的关系为(u)s=u(s)，(v)s=v(s)（在su上）(u)s=0，(v)s=0完全固定边界:u(s)=v(s)=0（在su上）∴

函数方程当前37页，总共99页。§2-6边界条件·边界条件♢位移边界条件yhρgx(v)y=0=0xOyl(u)x=0=0

y=0(v)x=0=0

y=0(v)x=l=0

y=0当前38页，总共99页。§2-6边界条件·边界条件♢应力边界条件边界(sσ)上的面力为fx(s)和fy(s)，则面力与应力的关系为xyOσyσxτyxτxyfxfy边界面nl=cos(n,x),m=cos(n,y)(lσx+mτxy

)s=fx(s)(lσy+mτxy

)s=fy(s)P(lσx+mτxy

)P=fx(P)(lσy+mτxy

)P=fy(P)当前39页，总共99页。§2-6边界条件·边界条件♢应力边界条件边界面为坐标面:xOyfxfyaPl=1,m=0正x面:x=a(σx

)x=a

=fx(y)(τxy

)x=a

=fy(y)b应力分量与面力分量同号σx→

fxτxy→

fy大小相同，方向也相同σx(+)τxy(+)不含σy

当前40页，总共99页。§2-6边界条件·边界条件♢应力边界条件边界面为坐标面:xOyfxfyaPl=-1,m=0负x面:x=-b(σx

)x=-b

=-fx(y)(τxy

)x=-b

=-fy(y)b应力分量与面力分量异号σx→

fxτxy→

fy大小相同，方向也相同σx(+)τxy(+)不含σy

当前41页，总共99页。§2-6边界条件·边界条件♢应力边界条件表示:（1）根据微元体平衡条件，得应力边界条件；（2）同一边界面上，应力分量等于对应的面力分量。σx→

fxτxy→

fyx面:大小相同，方向也相同；按应力分量的正负号规定，确定应力分量的正负号。当前42页，总共99页。τyx(+)σy(+)§2-6边界条件·边界条件♢应力边界条件边界面为坐标面:xOyfxfyc正y面:y=c(σy

)y=c

=fy(x)(τyx

)y=c

=fx(x)d应力分量与面力分量同号σy→

fyτyx→

fx大小相同，方向也相同不含σx

当前43页，总共99页。τyx(+)σy(+)§2-6边界条件·边界条件♢应力边界条件边界面为坐标面:xOyfxfyc负y面:y=-d(σy

)y=-d

=-fy(x)(τyx

)y=-d

=-fx(x)d应力分量与面力分量异号σy→

fyτyx→

fx大小相同，方向也相同不含σx

当前44页，总共99页。§2-6边界条件·边界条件♢应力边界条件*每边都有表示x向和y向的两个边界条件；*边界面为正、负x面，应力边界条件中没有σ

y

；*边界面为正、负y面，应力边界条件中没有σ

x

；*平行于边界面的正应力，边界值与面力分量不直接相关。当前45页，总共99页。§2-6边界条件·边界条件♢应力边界条件xq1h/2h/2ylq2①边界x=0上:(v)x=0=0(u)x=0=0②边界x=l

上:(σx

)x=l

=0(τxy

)x=l

=0③边界y=-h/2上:(τyx

)y=-h/2

=0(σy

)y=-h/2

=-q1lx④边界y=h/2上:(τyx

)y=

h/2

=q2(σy

)y=

h/2

=0当前46页，总共99页。§2-6边界条件·边界条件♢应力边界条件xqybq①边界y=±b

上:(τyx

)y=±b

=0by(σy

)y=±b

=0Obaaqq②边界x=±a

上:(τxy

)x=±a

=0(σx

)x=±a

=-q(

)2边界条件要求在x=±a上，

σx也成抛物线分布。当前47页，总共99页。§2-6边界条件·边界条件♢混合边界条件（1）一部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件（2）同一边界上，既有位移边界条件，又有应力边界条件(τxy

)x=a

=fy=0(u)x=a

=u

=0(σx

)x=a

=fx=0(v)x=a

=v

=0连杆支承边:齿槽边:当前48页，总共99页。§2-7圣维南原理及其应用·问题的提出*

弹性力学问题是微分方程的边值问题.应力,形变,位移等未知函数必须满足域内的方程和边界上的边界条件.主要的困难在于难以完全满足边界条件.*物体一小部分边界,只知合力,面力分布方式不明确圣维南原理可用于简化小边界上的应力边界条件当前49页，总共99页。§2-7圣维南原理及其应用·圣维南原理如果把物体小边界上的面力,变换为分布不同但静力等效的面力(主矢量相同,对同一点的主矩也相同).那么,近处的应力分量将有显著的改变,但远处所受的影响可以不计.FFFF/2F/2F/2F/2F/2F/2F/AF/A*只能应用在小边界上*等效只对近处应力影响大*远处应力可用等效后代替*集中力→均布力,便于求解当前50页，总共99页。§2-7圣维南原理及其应用·圣维南原理FFF/AF/A*不满足静力等效,绝不成立FF*位移边界条件难以满足,也可用圣维南原理FF当前51页，总共99页。§2-7圣维南原理及其应用·圣维南原理FF/2F/2F/A当前52页，总共99页。§2-7圣维南原理及其应用·推广如果物体小边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于0）.那么,这个面力就只会使近处产生显著的应力,而远处的应力可以不计。主矢、主矩=0无面力当前53页，总共99页。§2-7圣维南原理及其应用·推广FF当前54页，总共99页。§2-7圣维南原理及其应用·应用xylOlh/2h/2δ=1

小边界上边界条件（x=±l）？fxfyσx(+)τxy(+)fxfyσx(+)τxy(+)(τxy

)x=±l

=±

fy(y)(σx

)x=±l

=±

fx(y)(1)严格的应力边界条件

上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足。当前55页，总共99页。§2-7圣维南原理及其应用·应用xylOlh/2h/2δ=1

小边界上边界条件（x=±l）？fxfyσx(+)τxy(+)fxfyσx(+)τxy(+)(2)由已知面力等效*

应力的主矢量=面力的主矢量（给定）;*

应力的主矩=面力的主矩（给定）;当前56页，总共99页。§2-7圣维南原理及其应用·应用xylOlh/2h/2δ=1

小边界上边界条件（x=±l）？fxfyσx(+)τxy(+)fxfyσx(+)τxy(+)(2)由已知面力等效

将点点相等转化为积分值相等当前57页，总共99页。§2-7圣维南原理及其应用·应用xylOlh/2h/2δ=1

小边界上边界条件（x=±l）？σx(+)τxy(+)FNFSσx(+)τxy(+)(3)由已知合力等效

将点点相等转化为积分值相等M当前58页，总共99页。§2-7圣维南原理及其应用·应用xylOlh/2h/2δ=1

σx(+)τxy(+)FNFSσx(+)τxy(+)*同一小边界上,应力的主矢量和主矩,分别等于面力的主矢量和主矩M*|应力的主矢量和主矩|=|面力的主矢量和主矩|*二者方向相同,应力主矢量和主矩正负号按应力分量规定确定正的应力×正的力臂=正的主矩图中应力主矢和主矩都为正当前59页，总共99页。§2-7圣维南原理及其应用·圣维南原理(τxy

)x=±l

=±

fy(y)(σx

)x=±l

=±

fx(y)方程个数23方程性质函数方程（难满足）代数方程（易满足）精确性精确近似适用边界大、小边界小边界等效前等效后当前60页，总共99页。§2-8按位移求解平面问题·问题的求解平衡微分方程几何方程物理方程应力边界条件位移边界条件未知量：2个3个3个εx、γxyεy、u、vσx、σy、τxy8个可用消元法减少未知量和方程的个数当前61页，总共99页。§2-8按位移求解平面问题·基本未知函数*位移*应力位移边界条件应力边界条件·求解方法♢位移法♢应力法当前62页，总共99页。§2-8按位移求解平面问题·求解方法♢位移法以位移分量作为基本未知函数只含位移分量的方程和边界条件消元求解位移分量求应力、应变分量类似结构力学的位移法当前63页，总共99页。§2-8按位移求解平面问题·求解方法♢应力法以应力分量作为基本未知函数只含应力分量的方程和边界条件消元求出应力分量求应变、位移分量类似结构力学的力法当前64页，总共99页。§2-8按位移求解平面问题·位移法①物理方程εx=E(σx–μσy)1εy=E(σy–μσx)1γxy=Eτxy2(1+μ)σx=E(εx+μεy)1-μ2γxyEτxy=2(1+μ)σy=E(εy+μεx)1-μ2当前65页，总共99页。§2-8按位移求解平面问题·位移法②代入几何方程εx=∂u

∂xεy=∂v

∂yγxy=∂v

∂x+∂u

∂yσx=E(εx+μεy)1-μ2γxyEτxy=2(1+μ)σy=E(εy+μεx)1-μ2σx=E1-μ2Eτxy=2(1+μ)∂u

∂x+μ∂v

∂yσy=E1-μ2∂v

∂y+μ∂u

∂x∂v

∂x+μ∂u

∂y当前66页，总共99页。§2-8按位移求解平面问题·位移法③代入平衡方程∂σx∂x+∂τyx∂y+fx=0∂σy∂y+∂τxy∂x+fy=0E1-μ2∂2u

∂x2+1-μ2∂2u

∂y2+1+μ2∂2v

∂x∂yE1-μ2∂2v

∂y2+1-μ2∂2v

∂x2+1+μ2∂2u

∂x∂y+fx=0+fy=0位移法基本方程当前67页，总共99页。§2-8按位移求解平面问题·位移法④应力边界条件(lσx+mτxy)s=fx(s)(lσy+mτxy)s=fy(s)∂u

∂x+μ∂v

∂yl+m1-μ2∂u

∂x+∂v

∂ySE1-μ2=fx∂v

∂y+μ∂u

∂xm+l1-μ2∂v

∂x+∂u

∂ySE1-μ2=fy以位移表示的应力边界条件⑤位移边界条件(u)s=u,

(v)s=v当前68页，总共99页。§2-8按位移求解平面问题·位移法*平面应变问题：E→E1–μ2

μ

→

μ1–μ*优点：适应各种边界条件(应力、位移)

*缺点：方程复杂，解析求解困难

*应用：数值近似解法(有限元)当前69页，总共99页。§2-8按位移求解平面问题·位移法例yhρgx解：一维问题，则有u=0,v=v(y),μ=0代入(2-18)式第1式满足，第2式为d2v

dy2=-ρgE当前70页，总共99页。§2-8按位移求解平面问题·位移法例yhρgx解：第1式满足，第2式为d2v

dy2=-ρgE∴v=-ρg2Ey2+Ay+B

(a)将边界条件(v)y=0=0,(σy)y=h=0代入(a)式,得A=ρghEB=0∴v=ρg2E(2hy-y2)σy=ρg(h-y)当前71页，总共99页。§2-8按位移求解平面问题·位移法例yhρgx解：v=-ρg2Ey2+Ay+B

(a)将边界条件(v)y=0=0,(v)y=h=0代入(a)式,得A=ρgh2EB=0∴v=ρg2E(hy-y2)σy=ρg(h-2y)/2当前72页，总共99页。§2-9按应力求解平面问题相容方程·应力法*基本未知量:σx

、σy、τxy*应变分量的表示:εx=E(σx–μσy)1εy=E(σy–μσx)1γxy=Eτxy2(1+μ)物理方程当前73页，总共99页。§2-9按应力求解平面问题相容方程·应力法*位移分量的表示:位移难以用应力表示，存在待定积分项*边界条件:应力法不能直接求解位移边界条件问题，只能求解应力边界条件问题*平衡方程:∂σx∂x+∂τyx∂y+fx=0∂σy∂y+∂τxy∂x+fy=03个未知量，2个方程，如何求解？当前74页，总共99页。∂v§2-9按应力求解平面问题相容方程·相容方程*几何方程:εx=∂u

∂xεy=∂v

∂yγxy=∂v

∂x+∂u

∂yεx对y求二阶导数，εy对x求二阶导数，相加可得∂2εx

∂y2+∂3u

∂x∂y2∂2εy

∂x2=∂3v

∂y∂x2+=∂2

∂x∂y∂u

∂y

∂x+消元γxy∂2εx

∂y2+∂2εy

∂x2=∂2γxy

∂x∂y相容方程（形变协调方程）当前75页，总共99页。§2-9按应力求解平面问题相容方程·相容方程∂2εx

∂y2+∂2εy

∂x2=∂2γxy

∂x∂y相容方程（形变协调方程）*εx、εy、γxy

不独立,必须满足相容方程;*不满足相容方程的εx、εy、γxy

,不是弹性力学的解当前76页，总共99页。§2-9按应力求解平面问题相容方程·相容方程例εx=0,

εy=0,

γxy=Cxy由几何方程前两式，得∂u

∂x=0∂v

∂y=0u=f1(y)v=f2(x)∴由几何方程第三式，可得=Cxy∂v

∂x+∂u

∂y矛盾当前77页，总共99页。§2-9按应力求解平面问题相容方程·应力法*相容方程的应力表示:∂2εx

∂y2+∂2εy

∂x2=∂2γxy

∂x∂yεx=E(σx–μσy)1εy=E(σy–μσx)1γxy=Eτxy2(1+μ)∂2∂y2(σx-μσy)∂2∂x2(σy-μσx)+=2(1+μ)∂2τxy

∂x∂y含τxy当前78页，总共99页。§2-9按应力求解平面问题相容方程·应力法*相容方程的应力表示:∂2∂y2(σx-μσy)∂2∂x2(σy-μσx)+=2(1+μ)∂2τxy

∂x∂y含τxy∂σx∂x+∂τyx∂y+fx=0∂σy∂y+∂τxy∂x+fy=0∂σx∂x∂τyx∂y-fx=-∂σy∂y∂τxy∂x-fy=-2∂2τxy

∂x∂y=-∂2σx

∂x2-∂2σy

∂y2∂fx∂x-∂fy∂y-当前79页，总共99页。∂y2∂y∂y∂y2§2-9按应力求解平面问题相容方程·应力法*相容方程的应力表示:+∂2∂2∂x2(σx+σy)=-(1+μ)∂fx∂x∂fy+由应力表示的相容方程E→E1–μ2

μ

→

μ1–μ+∂2∂2∂x2(σx+σy)=-∂fx∂x∂fy+1-μ1平面应变问题当前80页，总共99页。§2-9按应力求解平面问题相容方程·应力法*应力边界条件:(lσx+mτxy

)s=fx(s)(lσy+mτxy

)s=fy(s)当前81页，总共99页。§2-9按应力求解平面问题相容方程·应力法应力分量σx

,

σy

,

τxy必须满足下列条件:(1)在区域内的平衡微分方程(2-2);(2)在区域内的相容方程(2-21)或(2-22);(3)在边界上应力边界条件(2-15)，假设只求解全部为应力边界条件的问题;(4)多连体还要满足位移单值条件.当前82页，总共99页。§2-9按应力求解平面问题相容方程·应力法单连体：只有一个连续边界的物体多连体：具有两个或两个以上连续边界的物体(如：含孔的物体)单连体多连体单连体当前83页，总共99页。§2-9按应力求解平面问题相容方程·应力法位移单值条件：位移必须为单值多连体应力分量表达式含有待定的项，需要利用位移单值条件，才能完全确定应力分量当前84页，总共99页。§2-10常体力情况下的简化应力函数·常体力很多工程问题,体力为常量.如：重力、常加速度下平移物体的惯性力当前85页，总共99页。§2-10常体力情况下的简化应力函数·常体力的简化fx、fy为常数∂y∂y2+∂2∂2∂x2(σx+σy)=-(1+μ)∂fx∂x∂fy+相容方程∂y2+∂2∂2∂x2(σx+σy)=0常体力的相容方程当前86页，总共99页。§2-10常体力情况下的简化应力函数·常体力的简化∂y2+∂2∂2∂x2(σx+σy)=0常体力的相容方程▽2(σx+σy)=0→▽2+∂2∂y2∂2∂x2调和方程（拉普拉斯方程）▽2:调和算子

σx+σy:调和函数*温度场、电磁场、流场、引力场都服从调和方程.当前87页，总共99页。§2-10常体力情况下的简化应力函数·常体力的简化▽2(σx+σy)=0∂σx∂x+∂τyx∂y+fx=0∂σy∂y+∂τxy∂x+fy=0(lσx+mτxy)s=fx(s)(lσy+mτxy)s=fy(s)平衡微分方程相容方程应力边界条件不含弹性常数当前88页，总共99页。§2-10常体力情况下的简化应力函数·常体力的简化平衡微分方程平面应力问题平面应变问题相容方程应力边界条件平衡微分方程相容方程应力边界条件完全相同与材料属性无关当前89页，总共99页。§2-10常体力情况下的简化应力函数·常体力的简化单连体应力边界条件问题:AB外力相同形状相同A软σx

、σy

、τxy分布相同B硬＝AB＝σx

σy

τxyσx

σy

τxy平面应力平面应变σz

、形变、位移不相同材料不同为实验和计算提供极大便利当前90页，总共99页。§2-10常体力情况下的简化应力函数位移法方程:应力法方程:当前91页，总共99页。§2-10常体力情况下的简化应力函数·常体力的简化应力法方程的解:∂σx∂x+∂τyx∂y+fx=0∂σy∂y+∂