《数学分析（第4版）》01-2数集 · 确界原理_第1页
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文档简介

一、有界集二、确界三、确界的存在性定理四、非正常确界

确界原理本质上体现了实数的完备性，是本节学习的重点与难点.§2数集·确界原理数学分析第一章实数集与函数*点击以上标题可直接前往对应内容记号与术语；；；；；；；.；后退前进目录退出定义1有界集

有界集有界集即即即证取L

=1,例1例2证有界集故S

有下界.因此S无上界.定义2确界若数集S

有上界,则必有无穷多个上界,而其中最小的一个具有重要的作用.确界.确界.最小的上界称为上同样，若S

有下界，则最大的下界称为下确界定义3注2注1由定义,下确界是最大的下界.确界注4注3条件(i)说明

是

的一个上界,比小的数都不是

的上界,从而

是最小的上界界,条件(ii)说明即上确界是最小的上界.确界证先证supS=1.例3确界以下确界原理作为公理,不予证明.虽然我们定义了上确界,但并没有证明上确界的存在性,不一定有最小值,例如(0,)无最小值.这是由于上界集是无限集,而无限数集确界定理1.1（确界原理）确界存在性定理确界的存在性定理例4证明：数集A有上确界，数集B有下确界，由定义,上确界supA是最小的上界,因此,任意证

由假设,B中任一数y都是A的上界,A中的任界,B有下确界.yB;supAy.而infB是最大的下界,因此supA

infB.一数x都是B的下界.因此由确界原理,A有上确确界的存在性定理这样,supA又是B的一个下界,例5证必有于是使从而且因此确界的存在性定理其中必有于是则存在使因此这就证明了确界的存在性定理非正常确界2.推广的确界原理:非空数集必有上、下确界.例2设数集求证:例1

非正常确界证设于是因此反之,若求证:

非正常确界2.1.

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