函数展开成幂级数

函数展开成幂级数第一页，共二十五页，2022年，8月28日一、泰勒(Taylor)级数其中(

在

x

与x0

之间)称为拉格朗日余项

.则在复习:

f(x)的n

阶泰勒公式若函数的某邻域内具有n+1阶导数,该邻域内有:第二页，共二十五页，2022年，8月28日为f(x)

的泰勒级数.则称当x0=0

时,泰勒级数又称为麦克劳林级数

.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,第三页，共二十五页，2022年，8月28日定理1.各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式余项满足:证明:令设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有第四页，共二十五页，2022年，8月28日定理2.若f(x)能展成x

的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.证:设f(x)所展成的幂级数为则显然结论成立.第五页，共二十五页，2022年，8月28日二、函数展开成幂级数

1.直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(－R,R)内是否为0.骤如下:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式的函数展开第六页，共二十五页，2022年，8月28日例1.将函数展开成x

的幂级数.解:

其收敛半径为对任何有限数

x,其余项满足故(

在0与x之间)故得级数第七页，共二十五页，2022年，8月28日例2.将展开成x

的幂级数.解:

得级数:其收敛半径为对任何有限数

x,其余项满足第八页，共二十五页，2022年，8月28日对上式两边求导可推出:第九页，共二十五页，2022年，8月28日例3.将函数展开成x

的幂级数,其中m为任意常数.解:

易求出于是得级数由于级数在开区间(－1,1)内收敛.因此对任意常数m,第十页，共二十五页，2022年，8月28日推导推导则为避免研究余项,设此级数的和函数为第十一页，共二十五页，2022年，8月28日称为二项展开式

.说明：(1)在x＝±1

处的收敛性与m

有关.(2)当m为正整数时,级数为x

的m

次多项式,上式就是代数学中的二项式定理.由此得第十二页，共二十五页，2022年，8月28日对应的二项展开式分别为第十三页，共二十五页，2022年，8月28日例3附注第十四页，共二十五页，2022年，8月28日2.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4.

将函数展开成x

的幂级数.解:

因为把x

换成,得将所给函数展开成幂级数.第十五页，共二十五页，2022年，8月28日例5.将函数展开成x

的幂级数.解:从0到x

积分,得定义且连续,域为利用此题可得上式右端的幂级数在x

＝1

收敛,所以展开式对x

＝1也是成立的,于是收敛第十六页，共二十五页，2022年，8月28日例6.将展成解:

的幂级数.第十七页，共二十五页，2022年，8月28日例7.将展成x－1的幂级数.解:

第十八页，共二十五页，2022年，8月28日内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式式的函数.第十九页，共二十五页，2022年，8月28日当m=–1时第二十页，共二十五页，2022年，8月28日思考与练习1.函数处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同?提示:

后者必需证明前者无此要求.2.如何求的幂级数?提示:第二十一页，共二十五页，2022年，8月28日思考题1.将下列函数展开成x

的幂级数解:x1时,此级数条件收敛,因此第二十二页，共二十五页，2022年，8月28日2.

将在x=0处展为幂级数.解:因此第二十三页，共二十五页，2022年，8月28日将函数展开成x的幂级数，并求其收敛域

(9分)

.(2014级期末考试题)3.

将函数展开成x的幂级数，并求其收敛域

(10分)

.(2015级期末考试题)4.

第二十四页，共二十五页，2022年，8月28日