材料力学教学课件幻灯片六

返回总目录第5章

梁的应力提要：本章将主要研究梁在线弹性范围内平面弯曲情况下的应力分析和强度计算问题。本章从平面假设出发，并设梁内各纵向线之间无相互挤压，从几何关系、物理关系和静力学关系三方面入手导出纯弯曲时梁横截面上任一点的正应力公式，并将其推广到横力弯曲情形下。梁的横截面上一般既有正应力又有切应力。本章还将介绍矩形、工字形、圆形和薄壁环形截面上切应力的分布规律以及最大切应力的计算公式。在得到梁横截面上的正应力和切应力计算公式的基础上，将建立梁的正应力强度条件和切应力强度条件，并依据强度条件进行强度计算。应该注意的是，除了少数情形，梁的正应力强度条件是主要的。为了降低梁的最大正应力，从而提高梁的抗弯能力，本章将从合理选择截面形状、采用变截面梁、合理配置梁的荷载和支座三方面来探讨梁的合理强度设计。本章将简单讨论非对称截面梁产生平面弯曲的条件，从而建立弯曲中心的概念。此外，本章还将简单阐述梁的塑性极限计算的基本原理，提出塑性铰的概念。

5.1梁横截面上的正应力在一般情形下，梁弯曲时其横截面上既有弯矩M又有剪力，这种弯曲称为横力弯曲(bendingbytransversedeformation)。由上章可知，梁横截面上的弯矩是由正应力合成的，而剪力则是由切应力合成的，因此，在梁的横截面上一般既有正应力又有切应力。(a)(b)图5.1梁的纯弯曲(a)悬臂梁的纯弯曲；(b)简支梁的纯弯曲如果某段梁内各横截面上弯矩为常量而剪力为零，则该段梁的弯曲称为纯弯曲(purebending)。图5.1中两种梁上的AB段就属于纯弯曲。显然，纯弯曲时梁的横截面上不存在切应力。

一.纯弯曲时梁横截面上的正应力考虑到应力与变形之间的关系，可以根据梁在纯弯曲时的变形情况来推导梁横截面上的弯曲正应力(normalstressinbending)分布。现取一对称截面梁(如矩形截面梁)，在梁的侧面画上两条横向线aa、bb以及两条纵向线cc、dd，如图5.2(a)所示。然后在梁两端施加外力偶Me，使梁发生纯弯曲。实验结果表明，在梁变形后，纵向线cc和dd弯曲成弧线，其中上面的cc线缩短，下面的dd线伸长，而横向线aa和bb仍保持为直线，并在相对旋转一个角度后继续垂直于弯曲后的纵向线，如图5.2(b)所示。5.1梁横截面上的正应力(a)(b)图5.2纯弯曲变形(a)画有标识线的对称截面梁；(b)梁的纯弯曲变形5.1梁横截面上的正应力根据上述变形现象，可做以下假设：梁在受力弯曲后，其横截面会发生转动，但仍保持为平面，且继续垂直于梁变形后的轴线。这就是弯曲的平面假设(planeassumption)。同时还可以假设：梁内各纵向线仅承受轴向拉伸或压缩，即各纵向线之间无相互挤压。这两个假设已为实验和理论分析所证实。梁弯曲变形后，其凹边的纵向线缩短，凸边的纵向线伸长，由于变形的连续性，中间必有一层纵向线的长度保持不变，这一纵向平面称为中性层(neutralsurface)，中性层与横截面的交线称为该截面的中性轴(neutralaxis)，如图5.3所示。梁在弯曲时，各横截面就是绕中性轴作相对转动的。5.1梁横截面上的正应力图5.3中性层与中性轴现在来推导纯弯曲时梁横截面上的正应力公式。与推导等直圆杆的扭转切应力公式相似，也要从几何、物理和静力学三方面来综合考虑。5.1梁横截面上的正应力几何方面假想从梁中截取长dx的微段进行分析。梁弯曲后，由平面假设可知，两横截面将相对转动一个角度，如图5.4(a)所示，图中的为中性层的曲率半径。取梁的轴线为x轴，横截面的对称轴为y轴，中性轴(其在横截面上的具体位置尚未确定)为z轴，如图5.4(b)所示，现求距中性轴为y处的纵向线ab的线应变。ab线变形前原长为dx(即)，变形的长度为，故ab线的纵向线应变为

(a)上式表明，梁横截面上各点处的纵向线应变与该点到中性轴的距离y成正比。5.1梁横截面上的正应力2.物理方面如前所述，梁内各纵向线之间无相互挤压，因此，当材料处于线弹性范围内，且拉伸和压缩弹性模量相同时，由虎克定律可得

(b)上式表明，梁横截面上各点处的正应力与该点到中性轴的距离y成正比，而在离中性轴等距线上各点处的正应力相等，如图5.4(c)所示。5.1梁横截面上的正应力(a)(b)(c)图5.4弯曲正应力力分布梁弯曲后截截面相对变变化；(b)梁截面坐标标轴；(c)梁截面正应应力分布5.1梁横截面上上的正应力力3.静力学方面面由于中性轴轴的位置及及曲率半径径均均未确定定，为此需需从静力学学方面加以以考虑。在梁的横截截面上任取取一微面积积dA，在该面积积上作用有有微内力，，构成了了空间平行行力系，因因此有可能能组成三个个内力分量量：轴力FN，绕y、z轴之矩My、Mz，即5.1梁横截面上上的正应力力如前所述，，梁在纯弯弯曲时，其其横截面上上的内力分分量仅有弯弯矩M，故截面上上的FN和My均等于零，，而Mz就是横截面面上的弯矩矩M，即将式(b)代入以上三三式，并根根据附录Ⅰ中有关的截截面几何参参数的定义义，可得(d)(e)(c)5.1梁横截面上上的正应力力(h)(g)(f)式中，Sz为横截面对对z轴的静矩(staticmomentofanarea)，Iyz为横截面的的惯性积(productofinertiaofanarea)，Iz则为横截面面对中性轴轴z的惯性矩(momentofinertiaofanarea)。式(f)中，由于，，故必有有Sz=0。那么根据据附录Ⅰ可知，中性性轴z轴必然通过过横截面的的形心(centerofanarea)，于是中性性轴的位置置得以确定定。5.1梁横截面上上的正应力力式(g)中，由于y轴是横截面面的对称轴轴，故有Iyz=0，因此该式式自然成立立。最后，可由由式(h)得到中性层层的曲率(curvature)为式中，EIz称为梁的弯曲曲刚度(flexuralrigidity)。上式表明，，用曲率1/P表示的梁的弯弯曲变形与梁梁所承受的弯弯矩M成正比，与弯弯曲刚度EIz成反比。将式(5.1)代入式(b)，即得(5.1)(5.2)5.1梁横截面上的的正应力这就是梁在纯纯弯曲情形下下横截面上任任一点处的正正应力公式。。式中，M为横截面上的的弯矩，y为所求应力点点至y轴的距离，Iz为横截面对中中性轴z的惯性矩。在式(5.2)中，将弯矩M和距离y按照规定的符符号代入计算算，所得到的的正应力σ若为正值，即即为拉应力，，若为负值则则为压应力。。在具体计算算过程中，一一般取弯矩M和距离y的绝对值代入入式(5.2)进行计算，而而正应力的拉拉、压则依据据梁的变形情情况来判断：：以中性层为为分界线，梁梁变形后凸边边的应力为拉拉应力，凹边边的应力则为为压应力。实实际上，根据据弯矩M的方向很容易易判断出梁的的变形情况。。必须说明的是是，式(5.2)除适用于矩形形截面外，也也适用于具有有对称轴y的其他各种形形状的截面。。5.1梁横截面上的的正应力从式(5.2)可以看出，对对于等截面梁梁来说，最大大弯曲正应力力发生在横截截面上距中性性轴最远(即截面上、下下边缘)的各点处，其其值为令则有(5.3)(5.4)式中，Wz称为弯曲截面系数数(sectionmodulusinbending)，是截面的几几何性质之一一，其值与横横截面的形状状和尺寸有关关，单位为m3。5.1梁横截面上的的正应力对于如图5.5(a)所示的矩形截截面，有对于如图5.5(b)所示的圆形截截面，有对于轧制型钢钢，其弯曲截截面系数Wz可直接从附录录2中的型钢规格格表中查得。。(5.6)(5.5)5.1梁横截面上的的正应力(a)(b)图5.5矩形与圆形截截面的弯曲截截面系数(a)矩形截面梁；；(b)圆形截面梁5.1梁横截面上的的正应力梁受弯时，其其横截面上既既有拉应力也也有压应力。。对于矩形、圆圆形和工字形形这类截面，，其中性轴为为横截面的对对称轴，故其其最大拉应力力和最大压应应力的绝对值值相等，如图图5.6(a)所示；对于T字形这类中性性轴不是对称称轴的截面，，其最大拉应应力和最大压压应力的绝对对值则不等，，如图5.6(b)所示。对于前者的最最大拉应力和和最大压应力力，可直接用用公式(5.4)求得；而对于于后者，则应应分别将截面面受拉和受压压一侧距中性性轴最远的距距离代入式(5.2)，以求得相应应的最大应力力。5.1梁横截面上的的正应力(a)(b)图5.6最大拉应力与与最大压应力力5.1梁横截面上的的正应力二.横力弯曲时梁梁横截面上的的正应力式(5.2)是根据纯弯曲曲的情形推导导出来的梁横横截面上任一一点处的正应应力公式，对对于横力弯曲曲(即横截面上既既有剪力又有有弯矩的情形形)，该公式也是是近似适用的的。当梁上作用有有横向力时，，由于切应力力的存在，梁梁的横截面在在梁变形后将将发生翘曲，，不再保持为为平面，同时时梁内各纵向向线之间还会会产生某种程程度的挤压。。但是，弹性性理论分析和和实验研究的的结果表明，，对于跨长与与截面高度之之比(跨高比)l/h大于5的细长梁，切切应力的存在在对正应力的的分布影响甚甚微，可以忽忽略不计。在在实际工程中中常用的梁，，其跨高比l/h的值一般远远远大于5。因此，应用用纯弯曲时的的正应力公式式来计算梁在在横力弯曲时时横截面上的的正应力，足足以满足工程程上的精度要要求，且梁的的跨高比越大大，计算结果果的误差就越越小。5.1梁横截面上的的正应力【例5.1】一简支木梁受受力如图5.7(a)所示。已知q=2kN/m，l=2m。试比较梁在在竖放(图5.7(b))和平放(图5.7(c))时横截面c处的最大正应应力。(a)(b)(c)图5.7例5.1图5.1梁横截面上的的正应力梁在竖放时，，其弯曲截面面系数为解：首先计算算横截面C处的弯矩，有有故横截面C处的最大正应应力为5.1梁横截面上的的正应力显然，有也就是说，梁梁在竖放时其其危险截面处处承受的最大大正应力是平平放时的一半半。因此，在在建筑结构中中，梁一般采采用竖放形式式。【例5.2】图5.8(a)所示T字形截面简支支梁在中点C处承受集中力力F的作用。已知知F=50kN，横截面对于于中性轴z轴的惯性矩。。试试求弯矩最大大截面上的最最大拉应力和和最大压应力力。5.1梁横截面上的的正应力图5.8例5.2图5.1梁横截面上的的正应力根据中性轴的的位置和梁的的受力情况，，可以确定梁梁的中性轴以以上部分承受受压应力，以以下部分则承承受拉应力。。最大拉应力力和最大压应应力的作用点点分别为距中中性轴最远的的下边缘和上上边缘的各点点。将图5.8(b)所示尺寸代入入式(5.2)，有5.1梁横截面上的的正应力5.2梁横截面上的的切应力在横力弯曲的的情形下，梁梁的横截面上上除了有弯曲曲正应力外，，还有弯曲切切应力(shearingstressinbending)。切应力在截截面上的分布布规律较之正正应力要复杂杂，本节不打打算对其做详详细讨论，仅仅准备对矩形形截面梁、工工字形截面梁梁、圆形截面面梁和薄壁环环形截面梁的的切应力分布布规律作一简简单介绍，具具体的推导过过程可参阅其其他相关教材材。1.矩形截面梁一矩形截面梁梁的横截面如如图5.9(a)所示，其宽为为b，高为h，截面上作用用有剪力和弯矩矩M。为了强调切切应力，图中中未画出正应应力。对于狭狭长矩形截面，由于梁梁的侧面上没没有切应力，，故横截面上上侧边各点处处的切应力必必然平行于侧边边，而y轴处的切应力力必然沿着y方向。5.2梁横截面上的的切应力(a)(b)图5.9矩形截面切应应力分布规律律(a)矩形截面切应应力分布；(b)矩形截面切应应力沿高度分分布考虑到狭长矩矩形截面上的的切应力沿宽宽度方向的变变化不大，于于是可作假设设如下：(1)横截面上各点点处的切应力力均平行于侧侧边；(2)距中性轴z轴等距离的各各点处的切应应力大小相等等。弹性理论论分析的结果果表明，对于于狭长矩形截截面梁，上述述假设是正确确的；对于一一般高度大于于宽度的矩形形截面梁，在在工程计算中中也能满足精精度要求。根据以上假设设，再利用静静力平衡条件件，就可以推推导出矩形截截面等直梁横横截面上任一一点处切应力力的计算公式式。此处略去去推导过程，，只给出结果果：(5.7)5.2梁横截面上的的切应力式中，FQ为横截面上的的剪力，Iz为横截面对中中性轴z轴的惯性矩，，b为矩形截面的的宽度，S′为横截面上距距中性轴为y的横线以外部部分的面积(即图5.9(a)中的阴影部分分面积)对中性轴的静静矩。切应力力τ的方向与FQ剪力的方向相相同。对于矩形截面面，静矩等于于所考虑面积积与该面积形形心到中性轴轴距离的乘积积，即将上式代入式(5.7)，即可得到截面上上距中性轴为y处各点的切应力(5.8)5.2梁横截面上的切应应力由上式可知，矩形形截面上的切应力力沿着截面高度按按二次抛物线规律律变化，如图5.9(b)所示。当时时，即在在横截面的上、下下边缘处，切应力；；当时时，，即在中性轴上各各点处，切应力最最大，其值为已知矩形截面对中中性轴的惯性矩，，将其代入上式式，即得(5.9)式中，A=bh，为矩形截面的面面积。从上式可以以看出，矩形截面面梁的最大切应力力为其平均切应力力的1.5倍。5.2梁横截面上的切应应力2.工字形截面梁在土木工程中经常常要用到工字形截截面梁。工字形截截面可以简化为图图5.10(a)所示的图形，由翼翼缘和腹板组成。。在工字形截面的的翼缘和腹板上的的切应力分布是不不同的，需要分别别研究。首先分析工字形截截面翼缘上的切应应力分布。由于翼缘上、下表表面上没有切应力力的存在，而且翼翼缘的厚度很薄，，因此翼缘上的切切应力主要是水平平方向的切应力分分量，平行于y轴方向的切应力分分量则是次要的。。研究表明，翼缘上上的最大切应力比比腹板上的最大切切应力要小得多，，因此在强度计算算时一般不予考虑虑。5.2梁横截面上的切应应力至于工字形截面的的腹板，则可视为为一狭长矩形，那那么在研究矩形截截面时的两个假设设同样适用。于是是，可由式(5.7)求得腹板上任一点点处的切应力为式中，FQ为横截面上的剪力力，Iz为工字形截面对中中性轴z轴的惯性矩，d为腹板厚度，为横横截面上距中性轴轴为y的横线以外部分(含翼缘)的面积(即图5.10(a)中的阴影部分面积积)对中性轴的静矩。。腹板部分的切应应力方向与剪力FQ的方向相同，切应应力的大小则同样样是沿腹板高度按按二次抛物线规律律变化，其最大切切应力也发生在中中性轴上，如图5.10(b)所示(5.10)5.2梁横截面上的切应应力(a)(b)图5.10工字形截面切应力力分布规律(a)工字形截面切应力力分布；(b)工字形截面切应力力沿高度分布5.2梁横截面上的切应应力这也是整个横截面面上的最大切应力力，其值为式中，为中中性轴任一边的半半个横截面面积对对中性轴z轴的静矩。在实际计算时，对于于工字钢截面，上上式中的可可查型钢规格格表中的得到。由图5.10(b)可见，腹板上的最最大切应力和最小小切应力相差不大大，接近于均匀分布。由于于截面上的剪力几几乎全部(约95%～97%)由腹板承担，因此在工程上常常常用剪力除以腹板板面积来近似计算算工字形截面梁的的最大切应力，即(5.11)5.2梁横截面上的切应应力式中，A1=dh1，为腹板的面积。。工字形截面梁在受受弯时，切应力主主要是由腹板承担担，而弯曲正应力力则主要由上、下下翼缘承担，这样样截面上各处的材材料就可以得到充充分利用。3.圆形截面梁在土木工程中，圆圆形截面梁多用于于木结构。圆形截截面上的切应力分分布规律比矩形截截面还要复杂，此此处也不作详细推推导。(5.12)5.2梁横截面上的切应应力由切应力互等定理理可知，任意横截截面上各点的切应应力必与圆周相切切，因此对矩形截截面所作的两个假假设在此不成立。。但研究表明，圆形形截面上的最大切切应力仍在中性轴轴上各点处，而在在中性轴两端的切切应力方向都与y轴平行，故可假设设中性轴上切应力力方向均平行于剪剪力FQ，且各点处的切应应力大小相等。于于是可以采用公式式(5.7)来求最大切应力，，只是要要将该式中的b用圆直径d代替，则为为半圆面积对中性性轴的静矩，其值值为。再再将圆形截面对中中性轴的惯性矩代代入式式(5.7)，于是有(5.13)5.2梁横截面上的切应应力式中，，，为圆形截面面的面积。由上式可知，圆形形截面上的最大切切应力为截面上平平均切应力的3/4倍。圆形截面上的的切应力分布规律律如图5.11所示。图5.11圆形截面切应力分分布规律5.2梁横截面上的切应应力4.薄壁环形截面梁如图5.12所示为一薄壁环形形截面，圆环的平平均半径为r，壁厚为。由由于，，因此可作作如下假设：(1)横截面上切应力的的方向相切于圆周周；(2)切应力的大小沿壁壁厚均匀分布。根根据这些假设推导导出来的横截面上上任一点切应力的的计算公式与式(5.7)具有相同的形式。。对于薄壁环形截面面，其最大切应力力仍发生在中性轴轴上。采用式(5.7)来求最大切应力时时，需将将该式中的b用两倍的壁厚2代替，而则则为半个圆环面积积对中性轴的静矩矩，其值为。。由附录1可知环形截面对中中性轴的惯性矩，，将其代入式式(5.7)，于是有(5.14)5.2梁横截面上的切应应力式中，，，为环形形截面的面积。由由上式可知，环形形截面上的最大切切应力为截面上平平均切应力的2倍。环形截面上的的切应力分布规律律如图5.12所示。图5.12薄壁环形截面切应应力分布规律5.2梁横截面上的切应应力从上面的分析可以以看出，对于等直直梁而言，其最大大切应力发生在最最大剪力所在横截截面上，一般位于于该截面的中性轴轴上。由以上各种种形状的截面上的的最大切应力计算算公式可知，等直直梁横截面上最大大切应力的一般公公式可统一表述为为式中，为梁上的最最大剪力，Iz为横截面对中性轴轴z轴的惯性矩，b为横截面在中性轴轴处的宽度，为横横截面上中性轴一一侧的面积对中性性轴的静矩。(5.15)5.2梁横截面上的切应应力【例5.3】图5.13(a)所示简支梁由56a号工字钢制成，在在中点处承受集中中力F的作用，已知F=150kN。试比较该梁中最最大正应力和最大大切应力的大小。。解：首先作简支梁梁的弯矩图和剪力力图，如图5.13(b)和(c)所示。从图上可以以看出，该梁所承承受的最大弯矩和和最大剪力分别为为现在来求梁内的最最大正应力。查型型钢规格表，可知知56a号工字钢的(即型钢规格表内的的值)。于是可得梁内的的最大正应力为5.2梁横截面上的切应应力图5.13例5.3图5.2梁横截面上的切应应力接着来求梁内的最最大切应力。查型型钢规格表，可知知56a号工字钢的和腹板厚度d=12.5mm。于是可得梁内的的最大切应力为最后进行比较，可可得由此可见，梁中的的最大正应力比最最大切应力要大得得多。因此在校核核梁的强度时，有有时只需考虑正应应力强度条件而忽忽略切应力强度条条件。5.2梁横截面上的切应应力【例5.4】一外伸梁受力及截截面尺寸如图5.14(a)所示。已知：F1=400kN，F2=200kN，a=2m，h1=400mm，h2=300mm，b1=300mm，b2=200mm。试求该梁中的最最大弯曲切应力。。解：首先求梁的支支反力，得FA=150kN，FB=450kN作外伸梁的剪力图图，如图5.14(b)所示。从图上可以以看出，该梁所承承受的最大剪力为为5.2梁横截面上的切应应力(a)(b)图5.14例5.4图5.2梁横截面上的切应应力再求该截面的两个个几何参数(分别用大矩形面积积的惯性矩、静矩矩减去小矩形面积积的惯性矩和静矩矩)于是，可得梁中的的最大切应力为5.2梁横截面上的切应应力5.3梁的强度条件前面已提到，梁在在横力弯曲时，其其横截面上同时存存在着弯矩和剪力力，因此，一般应应从正应力和切应应力两个方面来考考虑梁的强度计算算。在实际工程程中使用的的梁以细长长梁居多，，一般情况况下，梁很很少发生剪剪切破坏，，往往都是是弯曲破坏坏。也就是是说，对于于细长梁，，其强度主主要是由正正应力控制制的，按照照正应力强强度条件设设计的梁，，一般都能能满足切应应力强度要要求，不需需要进行专专门的切应应力强度校校核。但在少数情情况下，比比如对于弯弯矩较小而而剪力很大大的梁(如短粗梁和和集中荷载载作用在支支座附近的的梁)、铆接或焊焊接的组合合截面钢梁梁、或者使使用某些抗抗剪能力较较差的材料料(如木材)制作的梁等等，除了要要进行正应应力强度校校核外，还还要进行切切应力强度度校核。一.梁的正应力力强度条件件对于等直梁梁来说，其其最大弯曲曲正应力发发生在最大大弯矩所在在截面上距距中性轴最最远(即上、下边边缘)的各点处，，而该处的的切应力为为零或与该该处的正应应力相比可可忽略不计计，因而可可将横截面面上最大正正应力所在在各点处的的应力状态态视为单轴轴应力状态态。于是，，可按照单单轴应力状状态下强度度条件的形形式来建立立梁的正应应力强度条条件：梁的的最大工作作正应力不不得超过过材料的许许用弯曲正正应力，，即(5.16)材料的许用用弯曲正应应力一般近近似取材料料的许用拉拉(压)应力，或者者按有关的的设计规范范选取。5.3梁的强度条条件利用正应力力强度条件件式(5.16)，即可对梁梁按照正应应力进行强强度计算，，解决强度度校核、截截面设计和和许可荷载载的确定等等三类问题题。必须指出的的是，对于于用脆性材材料(如铸铁)制成的梁，，由于其许许用拉应力力和许用压压应力并不不相等，而而且其横截截面的中性性轴往往也也不是对称称轴，因此此必须按照照拉伸和压压缩分别进进行强度校校核，即要要求梁的最最大工作拉拉应力和最最大工作压压应力(要注意的是是，二者常常常发生在在不同的横横截面上)分别不超过过材料的许许用拉应力力和许用压压应力。5.3梁的强度条条件(a)(b)图5.15例5.5图【例5.5】由两根28a号槽钢组成成的简支梁梁受三个集集中力作用用，如图5.15(a)所示。已知知该梁由Q235钢制成，其其许用弯曲曲正应力。试求梁的的许可荷载载[F]。5.3梁的强度条条件解：首先求求梁的支反反力，得FA=FB=1.5F作梁的弯矩矩图，如图图5.15(b)所示。从图图上可以看看出，该梁梁所承受的的最大弯矩矩在梁的中中点上，其其值为由型钢规格格表查得28a号槽钢的弯弯曲截面系系数为340.328cm3，由于该梁梁是由两根根28a号槽钢组成成的，故梁梁的Wz值为5.3梁的强度条条件于是，由式式(5.16)可得故该梁的许许可荷载为为[F]=28.9kN。5.3梁的强度条条件图5.16例5.6图【例5.6】T字形铸铁外外伸梁受力力如图5.16(a)所示。已知知材料的许许用拉应力力为，，许用用压应力为为。。试校校核此梁的的强度。5.3梁的强度条条件解：首先确确定中性轴轴的位置。。根据形心心坐标公式式，可求得得于是，依据据平行移轴轴公式可求求得截面对对中性轴的的惯性矩Iz为作梁的弯矩矩图如图5.16(b)所示。由图图可知，B截面和C截面的弯矩矩分别为5.3梁的强度条条件从截面弯矩矩、截面上上下边缘到到中性轴的的距离以及及材料的许许用应力三三方面综合合考虑，危危险点可能能出现在B截面的上下下边缘和C截面的下边边缘，而不不可能出现现在C截面的上边边缘。B截面上边缘缘受拉，有有B截面下边缘缘受压，有有5.3梁的强度条条件C截面下边缘缘受拉，有有因此梁的强强度不满足足要求。从此例题可可以看出，，对于中性性轴不是截截面对称轴轴的用脆性性材料制成成的梁，其其危险截面面不一定就就是弯矩最最大的截面面。当出现现与最大弯弯矩反向的的较大弯矩矩时，如果果此截面的的最大拉应应力边距中中性轴较远远，算出的的结果就有有可能超过过许用拉应应力，故此此类问题考考虑要全面面。T字形截面梁梁是工程中中常用的梁梁，应注意意合理放置置，尽量使使最大弯矩矩截面上受受拉边距中中性轴较近近。此外，，在设计T字形截面的的尺寸时，，为了充分分利用材料料的抗拉、、抗压强度度，应该使使中性轴至至截面上下下边缘的距距离之比恰恰好等于许许用拉、压压应力之比比。5.3梁的强度条条件【例5.7】图5.17(a)所示由工字字钢制成的的外伸梁，，其许用弯弯曲正应力力为，，试试选择工字字钢的型号号。图5.17例5.7图解：作梁的弯矩矩图，如图图5.17(b)所示。从图图上可以看看出，该梁梁所承受的的最大弯矩矩在B截面上，其其值为5.3梁的强度条条件于是，由正正应力强度度条件可得得梁所必需需的弯曲截截面系数Wz为由型钢规格格表查得25b号工字钢的的弯曲截面面系数为422.72cm3，此值虽小小于梁所必必需的Wz值425cm3，但仅仅相相差0.54%，此时最大大正应力为为超过许用弯弯曲正应力力160MPa不到1%。由于此差差异在一般般规定的5%范围以内，，故可选用用25b号工字钢。。5.3梁的强度条条件二.梁的切应力力强度条件件前面已提到到，等直梁梁的最大正正应力发生生在最大弯弯矩所在横横截面上距距中性轴最最远的各点点处，该处处的切应力力为零，处处于单轴应应力状态。。至于等直直梁的最大大切应力，，则发生在在最大剪力力所在横截截面的中性性轴上各点点处，该处处的正应力力为零，处处于纯剪切切应力状态态。于是，，可按照纯纯剪切应力力状态下强强度条件的的形式来建建立梁的切切应力强度度条件：梁梁的最大工工作切应力力不不得超超过材料的的许用切应应力，，即(5.17)材料的许用用切应力在在有关的设设计规范中中有具体的的规定。5.3梁的强度条条件【例5.8】若例题5.7中的外伸梁梁材料的许许用切应力力为，，工工字钢的型型号选定后后，试校核核该梁的切切应力强度度。解：在例题题5.7中，已选用用25b号工字钢，，其最大正正应力虽超超过许用正正应力，但但差值在一一般规定的的5%范围以内，，故仍满足足正应力强强度条件。。现在来校校核该梁的的切应力强强度。作梁的剪力力图，如图图5.18所示。从图图上可以看看出，该梁梁所承受的的最大剪力力为对于25b号工字钢，，查型钢规规格表，有有5.3梁的强度条条件图5.18例5.8图5.3梁的强度条条件腹板厚度由式(5.11)可得到梁的的最大切应应力，并校校核切应力力强度：在满足正应应力强度条条件的同时时，梁的切切应力强度度条件也满满足，故梁梁是安全的的。在设计梁的的截面时，，通常是先先按正应力力强度条件件来选出截截面，再进进行切应力力强度校核核。从本题题可以看出出，在一般般情形下，，梁的强度度控制因素素主要是正正应力，按按照正应力力强度条件件设计的截截面尺寸，，并不需要要再按切应应力进行强强度校核。。5.3梁的强度条条件由该式可知知，减小最最大弯矩，，提高弯曲曲截面系数数，或者对对弯矩较大大的梁段进进行局部加加强，都能能降低梁的的最大正应应力，从而而提高梁的的抗弯能力力，使梁的的设计更为为合理。在在实际工程程中，经常常采用的合合理设计方方法包括：：合理选择择截面形状状、采用变变截面梁、、合理配置置梁的荷载载和支座。。5.4梁的合理强强度设计如前所述，，梁的横截截面上一般般同时存在在着正应力力和切应力力，但梁的的强度通常常都是由正正应力强度度条件控制制的。因此此，在按强强度条件设设计梁时，，主要的依依据就是梁梁的正应力力强度条件件式(5.16)从正应力强强度条件式式(5.16)可以看出，，当弯矩确确定时，梁梁的弯曲截截面系数越越大，横截截面上承受受的正应力力就越小。。当然，增大大梁的截面面面积就能能使弯曲截截面系数Wz增加，但这这样会造成成材料的浪浪费，从经经济角度看看是不可取取的。合理的截面面设计，就就是指在满满足强度要要求的前提提下如何选选择截面面面积A最小(即材料的耗耗用量最少少)的截面形式式，或者说说是在截面面面积A相同(即材料的耗耗用量相同同)的情况下，，如何尽可可能地去获获得更大的的弯曲截面面系数Wz。由于横截面面上各点的的正应力正正比于各点点至中性轴轴的距离，，当截面上上下边缘各各点的应力力达到许用用应力时，，靠近中性性轴处的各各点的正应应力仍很小小，此处的的材料未能能得到充分分利用。1.合理选择截截面形状5.4梁的合理强强度设计因此，中性性轴附近面面积较多的的截面显然然是不合理理的，圆形形截面就属属于这类截截面。在同样的面面积下，环环形截面的的Wz比圆形截面面的就要大大得多。同样的道理理，同一矩矩形截面梁梁，竖放就就比平放要要合理(参见例5.1)，而同样面面积的工字字形、槽形形截面又比比竖放的矩矩形截面更更为合理。。也就是说，，为了提高高材料的利利用率，增增强梁的承承载能力，，应该尽量量将靠近中中性轴的部部分材料移移到远离中中性轴的边边缘上去。。工字钢钢、槽槽钢等等宽翼翼缘梁梁就是是在弯弯曲理理论指指导下下设计计出来来的合合理截截面。。综上所所述，，考虑虑各种种形状状截面面是否否合理理，主主要是是看Wz/A的比值值。比比值越越大，，材料料的使使用越越经济济，截截面也也就越越合理理。表表5-1给出了了几种种常用用截面面形式式的Wz/A比值。。5.4梁的合合理强强度设设计表5-1常用截截面的的Wz/A比值从上表表可以以看出出，对对于矩矩形截截面，，保持持面积积不变变，增增大梁梁高h而减小小梁宽宽b可以增增大其其Wz/A比值，，从而而增加加其经经济合合理性性。但必须须注意意的是是，梁梁的高高度增增加是是有限限度的的，当当矩形形截面面过高高时，，容易易引起起梁的的失稳稳(参阅第第10章)。当然，，在选选择梁梁截面面的合合理形形状时时，除除了考考虑横横截面面上的的应力力分布布外，，还必必须考考虑材材料的的力学学性能能、梁梁的使使用条条件以以及制制造工工艺等等方面面的问问题。。比如，，考虑虑到在在梁横横截面面上距距中性性轴最最远的的上下下边缘缘各点点处分分别有有最大大拉应应力和和最大大压应应力，，为充充分发发挥材材料的的潜力力，应应尽量量使两两者同同时达达到材材料的的许用用应力力。截面形式矩形圆形工字形槽形Wz/A0.167h0.125d0.29~0.31h0.27~0.31h5.4梁的合合理强强度设设计因此，，对于于拉伸伸和压压缩许许用应应力值值相同同的塑塑性材材料(如建筑筑钢)梁，应应采用用中性性轴为为其对对称轴轴的截截面形形式，，如工工字形形、矩矩形、、薄壁壁箱形形、圆圆形和和环形形等；；而对对于抗抗压强强度远远高于于抗拉拉强度度的脆脆性材材料(如铸铁铁)梁，则则宜采采用T字形、、不等等边工工字形形等对对中性性轴不不对称称的截截面形形式，，并将将其翼翼缘部部分置置于受受拉一一侧。。再比如如，对对于木木梁，，虽然然材料料的拉拉、压压强度度不同同，但但由于于制造造工艺艺的要要求，，仍多多采用用矩形形截面面，截截面的的高宽宽比也也有一一定的的要求求，北北宋李李诫于于1100年所著著《营造法法式》一书中中就指指出矩矩形木木梁的的合理理高宽宽比为为=1.5，1807年英国国著名名物理理学家家托马马斯·杨(T.Young)则在《自然哲哲学与与机械械技术术讲义义》一书中中指出出矩形形木梁梁的合合理高高宽比比为：：时，，强度度最大大；时时，，刚度度最大大。5.4梁的合合理强强度设设计2.采用变变截面面梁对于等等直梁梁，按按照正正应力力强度度条件件式(5.16)确定截截面尺尺寸时时，是是以最最大弯弯矩为为依据据的。。而在工工程实实际中中，梁梁的弯弯矩沿沿梁的的长度度方向向会发发生变变化。。也就就是说说，当当最大大弯矩矩所在在横截截面上上的最最大正正应力力达到到材料料的许许用应应力时时，其其余各各横截截面上上的最最大正正应力力都还还小于于材料料的许许用应应力，，使材材料得得不到到充分分利用用。为了克克服这这一不不足，，可对对弯矩矩较大大的梁梁段进进行局局部加加强，，将梁梁设计计为变变截面面梁，，使梁梁的横横截面面尺寸寸大致致上适适应弯弯矩沿沿梁长长度方方向的的变化化，以以达到到节约约材料料、减减轻自自重的的目的的。假若使使梁各各横截截面上上的最最大正正应力力都相相等，，并均均达到到材料料的许许用应应力，，则这这样的的变截截面梁梁通常常称为为等强度度梁(beamofconstantstrength)，5.4梁的合合理强强度设设计其强度度条件件为式中M(x)、W(x)分别表表示梁梁上任任意x截面的的弯矩矩和弯弯曲截截面系系数。。由上上式，，可根根据弯弯矩变变化规规律确确定等等强度度梁的的截面面变化化规律律。【例5.9】图5.19(a)所示矩矩形截截面简简支梁梁在中中点处处受一一集中中力F作用，，设截截面宽宽度b不变，，改变变其高高度h，使之之成为为一等等强度度梁。。试求求其高高度随随截面面位置置的变变化规规律h(x)。(5.18)5.4梁的合合理强强度设设计(a)(b)图5.19例5.9图解：在在梁左左半段段距左左端为为x处的弯弯矩为为5.4梁的合合理强强度设设计弯曲截截面系系数为为于是，，根据据等强强度梁梁的强强度条条件式式(5.18)，有可求得得(a)5.4梁的合合理强强度设设计这是梁梁左半半段高高度变变化的的规律律。右右半段段与左左半段段对称称，无无需另另求。。但按按照式式(a)，梁两两端的的截面面高度度为零零，这这将无无法抵抵抗剪剪力。。因此此必须须按切切应力力强度度条件件来确确定截截面的的最小小高高度可求得得按式(a)和式(b)确定的的梁的的外形形，也也就是是厂房房建筑筑中常常见的的鱼腹腹梁，，如图图5.19(b)所示。。(b)5.4梁的合合理强强度设设计等强度度梁是是一种种理想想的变变截面面梁。。在实实际工工程中中，考考虑到到制造造工艺艺方面面的限限制以以及构构造上上的要要求，，构件件一般般设计计成近近似等等强度度梁。。例如如车辆辆上起起承重重和减减振作作用的的叠板板弹簧簧(图5.20)，实质质上就就是一一种高高度不不变、、宽度度变化化的矩矩形截截面简简支梁梁沿宽宽度切切割下下来，，然后后叠合合起来来制成成的近近似等等强度度梁。。图5.20叠板弹弹簧5.4梁的合合理强强度设设计3.合理配配置梁梁的荷荷载和和支座座在工艺艺要求求许可可的条条件下下，通通过合合理地地配置置梁的的荷载载和支支座位位置，，可降降低梁梁内的的最大大弯矩矩值。。如图5.21(a)所示的的简支支梁，，当其其跨度度中央央受集集中力力F作用时时，梁梁内的的最大弯矩矩为；；如如果使使集中中力通通过辅辅助梁梁再作作用到到梁上上，如如图5.21(b)所示，，则梁梁内的的最大大弯矩矩就下下降为为原来来的一一半。。这是是通过过合理理分散散集中中荷载载来降降低最最大弯弯矩值值。同样，通通过合理理调整支支座间距距，也能能降低最最大弯矩矩值。5.4梁的合理理强度设设计(a)(b)图5.21分散荷载载对最大大弯矩的的影响(a)简支梁在在集中荷荷载作用用下的弯弯矩图；；(b)简支梁在在分散荷荷载作用用下的弯弯矩图5.4梁的合理理强度设设计如图5.22(a)所示的均均布荷载载简支梁梁，梁内内的最大大弯矩为。。如果将简简支梁两两端的支支座分别别向中间间移动0.2l，如图5.22(b)所示，则则梁内的最最大弯矩矩就下为为，，仅为原原来的20%。在工厂厂、矿山山中常见的龙龙门吊车车(图5.23)的立柱位位置不在在两端，，就是为为了降低低横梁中中的最大大弯矩值值。5.4梁的合理理强度设设计(a)(b)图5.22移动支座座对最大大弯矩的的影响(a)简支梁两两端支承承时的弯弯矩图；；(b)将支座向向中间移移0.2l后的简支支梁弯矩矩图图5.23龙门吊车车示意图图5.4梁的合理理强度设设计前面推导导了对称称截面梁梁(即具有纵纵向对称称平面，，且外力力或外力力偶作用用在该平平面内的的细长梁梁)发生平面面弯曲时时横截面面上正应应力的计计算公式式(5.2)一.非对称截截面梁的的平面弯弯曲5.5非对称截截面梁的的平面弯弯曲现在简单单介绍将将该公式式推广到到非对称称截面梁梁平面弯弯曲情形形下的适适用情况况。如图5.24所示的Z字形截面面梁即为为一非对对称截面面梁，图图中y、z轴为横截截面的形形心主惯惯性轴，，由x轴和任一一主惯性性轴构成成的平面面(xy平面和xz平面)则为形心心主惯性性平面。。图5.24非对称截截面梁的的平面弯弯曲1.纯弯曲时时的情形形如果外力力偶作用用在与梁梁的任一一形心主主惯性平平面平行行的平面面内，则则该梁发发生平面面弯曲。。若外力偶偶平行于于xy平面，则则与推导导对称截截面梁平平面弯曲曲时横截截面上正正应力的的计算公公式相类类似，根根据静力力平衡关关系，以以下三个个方程必必然同时时成立现在假设设公式仍仍然成立立，将其其代入以以上三式式，有(a)(b)(c)5.5非对称截截面梁的的平面弯弯曲(d)由于y、z轴为横截截面的形形心主惯惯性轴，，故有(e)(f)5.5非对称截截面梁的的平面弯弯曲实验结果果和理论论分析都都表明，，横向力力必须作作用在与与梁的形形心主惯惯性平面面平行的的某一特特定平面面内，才才能保证证梁只发发生平面面弯曲而而不扭转转，此时公式式仍仍然适适用。这一特定定平面，，也就是是梁在上上述形心心主惯性性平面内内发生弯弯曲时剪剪力所在的纵纵向平面面。如果果横向力力作用在在与该特特定平面面平行的的其他任任一纵向向平面内内，则梁梁除了发发生平面面弯曲外外，还会会发生扭扭转。显然，式式(d)、式(e)和式(f)均满足，，假设成成立。也也就是说说，非对对称截面面梁在发发生平面面弯曲的的情形下下，对称称截面梁梁平面弯弯曲时横横截面上上正应力力的计算算公式(5.2)仍然适用用2.横力弯曲曲时的情情形5.5非对称截截面梁的的平面弯弯曲如图5.25(a)所示一槽槽形截面面悬臂梁梁，其横横截面的的两根主主轴分别别为y轴和z轴(z轴为截面面的对称称轴)。在梁的的自由端端加载横横向力F，通过实实验可以以发现，，当外力力F作用线经经过截面面形心，，并位于于形心主主惯性平平面xy平面内时时，悬臂臂梁不但但发生平平面弯曲曲，还发发生扭转转，如图图5.25(b)所示；当外外力F的作用线经经过某一特特定点A时，梁才会会只发生平平面弯曲，，如图5.25(c)所示。(a)(b)(c)图5.25横向力作用用位置对非非对称截面面梁变形的的影响(a)槽形截面悬悬臂梁；(b)施加作用线线经过形心心的外力后后梁的变形形；(c)力作用线经经某一特定定点时梁的的变形5.5非对称截面面梁的平面面弯曲二.开口薄壁截截面梁的弯弯曲中心进一步的理理论分析(可参阅有关关教材，此此处不作详详细探讨)证明，上述述外力F作用线所经经过的特定定点A，实际上就就是截面上上切应力合合力(即剪力)的作用点，，该点通常常称为截面面的弯曲中心(bendingcenter)，或称剪切中心(shearcenter)。对于非对对称截面梁梁来说，只只有当横向向外力F所在的纵向向平面通过过其截面的的弯曲中心心，梁才会会只弯曲而而不扭转。。在土木工程程中，尤其其是在钢结结构中，大大量采用了了开口薄壁壁截面的杆杆件。这类类构件抗弯弯强度较强强，但抗扭扭刚度较弱弱，很容易易由于扭转转变形过大大而失稳破破坏。因此此，对于开开口薄壁截截面梁，必必须严格注注意使外荷荷载的作用用线经过截截面的弯曲曲中心。5.5非对称截面面梁的平面面弯曲由此可见，，在工程实实际中，确确定截面弯弯曲中心的的位置是相相当重要的的。下面简简单介绍一一些确定弯弯曲中心位位置的规律律：(a)(b)图5.26弯曲中心在在对称轴上上(a)槽形截面；；(b)开口薄壁环环形截面(1)具有一个对对称轴的截截面，例如如槽形、开开口薄壁环环形截面等等，其弯曲曲中心必定定在此对称称轴上，如如图5.26所示。5.5非对称截面面梁的平面面弯曲(2)具有两个对对称轴或反反对称轴的的截面，例例如工字形形、Z字形截面等等，其弯曲曲中心与形形心重合，，如图5.27所示。(a)(b)图5.27弯曲中心与与形心重合合(a)工字形截面面；(b)Z字形截面5.5非对称截面面梁的平面面弯曲(3)由若干中线线交于一点点的狭长矩矩形组成的的截面，如如T字形、等边边或不等边边角钢截面面等，其弯弯曲中心就就是中线的的交点，如如图5.28所示。(a)(b)(c)图5.28弯曲中心在在两中线交交点(a)T形截面；(b)等边角钢截截面；(c)不等边角钢钢截面5.5非对称截面面梁的平面面弯曲由以上规律律可知，弯弯曲中心的的位置只与与截面的几几何形状与与尺寸有关关。这是因因为弯曲中中心仅取决决于截面上上剪力的作作用线位置置，而与其其方向及数数值大小无无关。【例5.10】】一开口薄壁壁截面梁由由36a号槽钢制成成，其横截截面如图5.29(a)所示。现该该梁受一个个平行于其其腹板平面面的横向力力F作用，若要要求梁只能能发生平面面弯曲，试试求这一横横向力F的作用位置置。解：为了使梁仅仅发生平面面弯曲而不不扭转，横横向力F的作用线必必须经过截截面的弯曲曲中心A，如图5.29(b)所示。现在在来求弯曲曲中心A距截面腹板板中线的距距离e。5.5非对称截面面梁的平面面弯曲(a)(b)图5.29例5.10图5.5非对称截面面梁的平面面弯曲由型钢规格格表可查得得36a号槽钢的几几何参数如如下：h=360mm；b=96mm；d=9mm；δ=16mm；于是得根据有关数数据，即可可求得e值为故横向力F应作用在腹腹板外侧距距腹板中线线33.4mm处。上述求求解e的公式的推推导可以参参阅参考文文献1。5.5非对称截面面梁的平面面弯曲5.6考虑材料塑塑性时梁的的极限弯矩矩在线弹性阶阶段，梁的的最大正应应力出现在在危险截面面上距中性性轴最远(即上、下边边缘)处，在讨论论梁的正应应力强度时时，就是据据此计算的的。按照梁的正正应力强度度条件式(5.16)来进行强度度设计，将将无法充分分发挥梁的的承载能力力。其原因因为：对于于用塑性材材料制成的的梁而言，，当最大应应力达到屈屈服极限时时，其危险险截面上、、下边缘处处进入屈服服阶段，但但截面的其其他部分却却仍然处于于弹性阶段段，还可以以承受更大大的荷载。。只有当整个截面都都进入屈服阶段，，梁才会产生破坏坏而失去承载能力力。据此算得的最最大荷载称为梁的的极限荷载(limitload)。在土木工程中，某某图5.30理想弹塑性模型的的关系某些钢筋筋混凝土构件就是是按照强度极限状状态设计的。5.6考虑材料塑性时梁梁的极限弯矩考虑到塑性材料超超过弹性阶段后应应力―应变关系的复杂性性，通常将材料简简化为理想弹塑性模型(elastic-idealplasticmodel)，并认为材料在拉拉伸和压缩时的弹弹性模量E和屈服极限限均相同。材料简简化后的关关系如图5.30所示。此外，还假假设超出线弹性范范围后，梁的弯曲曲变形仍然符合平平面假设。这一假假设已得到实验证证明。故梁内纵向向线的线应变沿高高度仍然是线性变变化的。图5.30理想弹塑性模型的的关系5.6考虑材料塑性时梁梁的极限弯矩现考虑一对称截面面简支梁，在其跨跨中受到集中力F的作用，如图5.31(a)所示。在线弹性范范围内，梁横截面面上任意一点处的的正应力正比于该该点到中性轴的距距离。当横截面上的最大大正应力刚达到材材料的屈服极限时时，正应力力沿横截面高度的的分布规律如图5.31(b)中的实线所示。此此时，梁开始屈服服发生塑性变形，，横截面所承受的的弯矩为Ms称为梁的屈服弯矩(yieldbendingmoment)。(5.19)当外荷载继续增大大时，横截面上的的线应变随之增大大，但仍始终保持持线性分布，而横横截面上正应力达达到屈服极限的的区域也将由由其上、下边缘逐逐渐向中性轴扩展展。5.6考虑材料塑性时梁梁的极限弯矩(a)(b)(c)图5.31弯曲变形由弹性向向塑性发展受载的对称截面简简支梁；(b)最大正应力刚达到到时，正应力分布布；(c)全部正应力均达时时分布5.6考虑材料塑性时梁梁的极限弯矩即线应变的的点处的的正应力达到，，各各点处的正应应力保持为，，这些点处于塑塑性区域，而各各点点处则仍处于线弹弹性阶段。与其相相应的正应力沿横横截面高度的分布布规律如图5.31(b)中的虚线所示。最后，当整个横截截面上的正应力均均达到时时，其沿横截面高高度的分布规律如如图5.31(c)所示，截面全部成成为塑性区域，梁梁将发生明显的塑塑性变形而达到极极限状态(limitstate)。此时截面上承受受的弯矩称为极限弯矩(limitbendingmoment)，用Mu表示，其值为5.6考虑材料塑性时梁梁的极限弯矩式中，At，Ac分别代表横截面上上受拉与受压区域域的面积，，，分别为At，Ac对中性轴的静矩，，均取绝对值。现现设(5.20)则有(5.21)式中，Ws称为塑性弯曲截面系数数(plasticsectionmodulusinbending)，其单位为m3或mm3。当梁跨中截面(危险截面)上的弯矩达到极限限弯矩Mu时，其附近将形成成如图5.32(a)阴影部分所示的塑塑性区，跨中截面面两侧的两段梁，，在极限弯矩Mu不变的条件下，将将绕截面的中性轴轴发生相对转动，，恰似在该截面处处安置了一个中间间铰链，且铰链两两侧作用着大小等等于Mu的外力偶矩，如图图5.32(b)所示，通常称之为为塑性铰(plastichinge)。5.6考虑材料塑性时梁梁的极限弯矩对于静定梁而言，，当梁上形成塑性性铰后，梁就达到到了极限状态，并并将产生明显的塑塑性变形。此时，，梁所承受的荷载载达到最大值，即即极限荷载。当梁达到极限状态态时，可根据静力力学条件轴力FN=0来确定出现塑性铰铰截面的中性轴位位置，即由此得(5.22)由上式可知，出现现塑性铰的截面，，其中性轴将截面面平分为两个面积积相等的区域。5.6考虑材料塑性时梁梁的极限弯矩对于具有水平对称称轴的截面，例如如矩形、工字形截截面，在线弹性状状态和极限状态下下中性轴的位置是是重合的，也就是是截面的水平对称称轴；而对于没有有水平对称轴的截截面，例如工字形形截面，在两种状状态下中性轴的位位置并不重合，中中性轴将随塑性区区的增加而不断移移动，当梁由线弹弹性状态变化到极极限状态时，中性性轴由初始的形