MATLAB与差分方程课件

MATLAB与差分方程差分方程~离散时段上描述变化过程的数学模型一年期存款年利率为r，存入M，记第k年本息为xkn年后本息为

污水处理厂每天将污水浓度降低比例q,记第k天的污水浓度为ck

,离散动态过程（系统），实际的变化可以是连续的天后污水浓度降低一半一阶线性常系数差分方程高阶线性常系数差分方程线性常系数差分方程组

建立离散动态过程的数学模型;

用MATLAB计算数值解;

作理论分析(平衡点及其稳定性).差分方程模型及其求解

例1濒危物种(Florida沙丘鹤)的自然演变和人工孵化

记第k年沙丘鹤的数量为xk，自然环境下年平均增长率为r设每年人工孵化的数量为b，结果分析例濒危物种(Florida沙丘鹤)的自然演变和人工孵化

时间充分长后(k→∞)沙丘鹤数量的变化趋势a>1(r>0)时xk→∞,a<1(r<0)时xk→0在中等及较差的自然环境下沙丘鹤将濒于灭绝。人工孵化条件下a<1(r<0)时xk→x=b/(1-a)

x=5/0.0324=154.32自然环境下一阶线性常系数差分方程的平衡点及其稳定性差分方程的一般形式

差分方程的平衡点~代数方程x=ax+b的根x=b/(1-a)

差分方程的解c=x0-b/(1-a)由初始值x0和a、b确定

若k→∞时xk→x,平衡点x稳定,否则平衡点x不稳定

平衡点稳定的充要条件是a<1

高阶线性常系数差分方程

例一年生植物的繁殖

一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种。没有腐烂、风干、被人为掠去的那些种子可以活过冬天，其中的一部分能在第二年春季发芽，然后开花、产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花、产种，如此继续。

一年生植物只能活一年，且近似地认为，种子最多可以活过两个冬天。建立数学模型研究植物数量的变化规律，及它能够一直繁殖下去的条件.模型及其求解

例一年生植物的繁殖

设一棵植物平均产种数为c,种子能够活过冬天的比例为b,活过冬天的那些种子在来年春季发芽的比例为a1，未能发芽的那些种子又活过一个冬天的比例仍为b,在下一年春季发芽的比例为a2。xk~第k年的植物数量设今年种下(并成活)的数量为x0

记p=-a1bc,q=-a2b(1-a1)bc

寻找形如xk=k的解

设c=10，a1=0.5，a2=0.25，b=0.18,0.19,0.20，x0=100

模型及其求解

例一年生植物的繁殖

特征方程特征根差分方程常数c1,c2由x0,x1确定

差分方程的解1,2<1时xk0(k)

1,2

>1时xk(k)

植物能够一直繁殖下去的条件为b>0.191例汽车租赁公司的运营

模型及其求解

0.10.20.10.10.30.30.70.60.6ABCx1(k),x2(k),x3(k)~第k个租赁期末公司在A,B,C市的汽车数量x(k)=[x1(k),x2(k),x3(k)]T

k012345678910x1(k)200180176176178179179180180180180x2(k)200260284294297299300300300300300x3(k)200160140130125123121121120120120开始时600辆汽车平均分配到3个城市开始时600辆汽车全分配给A市k012345678910x1(k)600360258214195187183181181180180x2(k)0180252281292297299300300300300x3(k)06090105113116118119120120120例汽车租赁公司的运营

模型及其求解

时间充分长后3个城市的汽车数量趋向稳定，稳定值与初始分配无关

例按年龄分组的种群增长

动物因自然或人工繁殖而增加，因自然死亡和人为屠杀而减少;

不同年龄动物的繁殖率、死亡率有较大差别;

将种群按年龄等间隔地分成若干个年龄组，时间离散化为时段;

在稳定环境下假定各年龄组种群的繁殖率和死亡率与时段无关;

建立按年龄分组的种群增长模型;

预测未来各年龄组的种群数量;

讨论时间充分长以后的变化趋势.例按年龄分组的种群增长

~按年龄组的分布向量~Leslie矩阵(L矩阵)模型及其求解

归一化:例按年龄分组的种群增长

模型及其求解

设一种群分成n=5个年龄组,繁殖率b1~b5=0,