机械振动Part04课件

机械振动基础MechanicalVibrations

二零零七年十月热能工程系单自由度系统-无阻尼系统的振动特性简谐振动固有频率固有圆频率周期振幅与相位初始条件系统参数常力不影响系统的固有频率单自由度系统-具有粘性阻尼系统的振动特性振动方程临界阻尼系数阻尼因子振动特性第4章受迫振动4.1数学基础

(自学)4.2单自由度系统

4.3二自由度系统4.4多自由度系统数学基础（自学）二阶非齐次常系数线性微分方程的解二阶非齐次常系数线性微分方程组的解拉普拉斯变换强迫振动系统在持续的随时间变化的激励力或激励位移、激励速度作用下所发生的振动。强迫振动的研究对象：瞬态响应（transientresponse）稳态响应(steady-stateresponse）强迫振动主要研究系统的稳态响应，特别是当激励的频率与系统的固有频率相等时出现的“共振”（resonance）现象。自由振动的瞬态响应与简谐激励的稳态响应系统模型：简谐激励下的响应xF0sinωtmkc简谐力为激励频率，系统的运动微分方程为：这一二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为：齐次方程通解特解Φ是位移xp(t)与激励力F（t)之间的相位差简谐激励下的响应-稳态解{注意：式中的积分常数A、B虽仍由初始条件决定，但在有阻尼的情况下不能按自由振动条件得到的积分常数直接代入。因为在强迫振动的情况下，即使初始位移和初始速度均为零，在响应中仍包含有瞬态部分，因此积分常数必须与稳态解一起考虑。简谐激励下的响应-稳态解幅频特性和相频特性振幅达到最大值的位置：

简谐激励下的响应应该注意，这里的相位差是表示响应滞后于激励的相位角，不应与式中的初相位相混淆。是表示系统自由振动在时的初相位，它取决于初始位移与初始速度的相对大小，而是反映响应相对于激励力的滞后效应，是由系统本身具有阻尼引起的，这是两者主要区别。受迫振动峰值并不出现在阻尼系统的固有频率处，峰值频率略向左偏移，若

时，有

相位特性和振幅一样，相位也仅为r的函数。

简谐激励下的响应弹性控制区4.03.02.01.001.02.03.01.02.03.00180°90°150°120°60°30°特性曲线惯性控制区阻尼控制区弹性控制区4.03.02.01.001.02.03.0幅频特性（1）-弹性控制区

(1)当频率比r很小(r《1)，即激励频率ω远小于系统的固有频率ωn时，无论阻尼的大小如何，动力放大系数μ→1，X→F0/K,即振幅近似地等于激励力幅值Fo作用下的静位移,这个区域内振幅x主要由弹簧常数K控制，故称为“弹性控制区”，此时φ=0。惯性控制区

(2)当频率比r很大，即激励频率ω远大于系统的固有频率ωn时，无论阻尼的大小如何，动力放大系数μ→0，X→F0/kr2=F0/mw2,即振幅的大小主要决定于系统的惯性。故称为“惯性控制区”，此时φ=180度。弹性控制区4.03.02.01.001.02.03.0幅频特性（2）-惯性控制区相频特性

(a)当r=1共振时，不管系统的阻尼如何，响应总是滞后于激励90。(b)ζ=0，当r＜1时，响应与激励同相位，即φ=o；当r＞1时，则相位相反，即φ=180，相位在共振点前后发生突变。(c)若ζ>0，则φ随r的增大而逐渐增大，不会发生突变，但在共振点(即r＝1处)，特别当ζ较小时，相位角φ变化较大。1.02.03.00180°90°150°120°60°30°注：在振动测试过程中，常应用共振点前后相位角有较大变化的现象来确定系统的共振点。弹性控制区4.03.02.01.001.02.03.0幅频特性-最大幅值惯性控制区阻尼控制区最大幅值并不发生在r=1。ζ>0.7后，响应曲线无峰值力矢量图

简谐激励的响应-复数表示

(刚度控制区)

力矢量图分析:当简谐激励的响应-复数表示(阻尼控制区)(惯性控制区)简谐激励的响应-复数表示图示系统中，，，

统的稳态响应求（1）（3）（2）建立广义坐标。取质量元件沿铅垂方向的位移作为广义坐标x。原点在系统的静平衡位置，向下为正。

解作受力分析图简谐激励的响应-例4.1（1）简谐激励的响应

-例4.1

(2)简谐激励的响应

-例4.1

简谐激励的响应

-例4.1

例题2若m=20kg,k=8kN/m,c=130N.s/m，受到F(t)=24sin(15t)N激励力的作用；设t=0时，x(0)=0,x(0)=100mm/s,求系统的稳态响应、瞬态响应和总响应。.例题3一质量为1.95kg的机器零件，在粘性阻尼介质中振动，激励力为F(t)＝25sin(2πft)N。(a)若测得系统共振时的振幅为1.27cm，周期为0.20s，求其阻尼系数c.(b)若f＝4Hz，试求除去阻尼后的振幅是有阻尼时的振幅的几倍?例题3例题3单自由度系统-实际系统的阻尼在振动分析中，对阻尼的研究具有很重要的意义。自由振动中阻尼使振幅逐步衰减在受迫振动中，阻尼耗散能量-抑制共振振幅的作用实际上：建立阻尼详细的力学模型极其困难。阻尼类型黏性阻尼结构阻尼：作为材料的一种特性，其大小取决于温度和激励频率。摩擦阻尼（或库仑阻尼）等效阻尼设稳态响应为：

阻尼力：

粘性阻尼模型通常来表示固体之间的相互作用实际系统的阻尼–简谐激励下的能量平衡系统循环一周耗能E由外力的功补充：

粘性阻尼循环一周的耗能与频率成正比：

实际系统的阻尼–简谐激励下的能量平衡

特点：在简谐激励下，结构阻尼的耗能与频率无关，而与振幅平方成正比按耗能相同等效成粘性阻尼：结构阻尼是粘弹性阻尼（非金属）、滞后阻尼或复刚度（金属）的统称。(2)结构阻尼实际系统的阻尼–简谐激励下的能量平衡实际系统的阻尼–简谐激励下的能量平衡实际系统的阻尼–简谐激励下的能量平衡具有摩擦阻尼的系统简谐激励下的响应具有摩擦阻尼的系统简谐激励下的响应具有结构阻尼的系统在简谐激励下的稳态响应结构阻尼的幅频和相频曲线具有结构阻尼的系统在简谐激励下的稳态响应具有结构阻尼的系统在简谐激励下的稳态响应单自由度系统-实际系统的阻尼(例3)单自由度系统-实际系统的阻尼(例3)振动微分方程为：单自由度系统-系统在周期激励下的稳态响应

单自由度系统-系统在周期激励下的稳态响应

典型发动机的周期性激励比如：柴油机的气体激励力坎贝尔曲线

解

系统的稳态响应。

单自由度系统-系统在周期激励下的稳态响应

无阻尼系统对简谐激励的响应(直接法）三自由度系统

计算步骤：1.可先令，求出系统对的响应。2.再将此过程重复两次，分别求出对和的响应。振动微分方程可表示为多自由度系统例4-15图示系统中，已知，，，，求系统受迫振动响应。

无阻尼系统对简谐激励的响应解

建立微分方程

先令，并设的特解为

对的响应

多自由度系统无阻尼系统对简谐激励的响应解得是系数矩阵行列式

多自由度系统无阻尼系统对简谐激励的响应

再令，并设的响应为

多自由度系统无阻尼系统对简谐激励的响应系统的受迫振动响应为

上述求受迫振动响应的方法很直接，但过程冗长。当然，若借助于计算机进