单调区间与极值

单调区间与极值1第一页，共三十页，2022年，8月28日未定式求极限的方法:转化转化转化使用罗必塔法则复习：上节课的主要内容2第二页，共三十页，2022年，8月28日两条经验2).罗比塔法则不是万能的1).灵活使用罗比塔法则（如，等价无穷小替换，设等3第三页，共三十页，2022年，8月28日一、函数的单调性4第四页，共三十页，2022年，8月28日增减1、函数单调性的判断5第五页，共三十页，2022年，8月28日定理1(函数单调性的判定法)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.(1).若在内(2).若在内单调减少.,则在上单调增加.,则在上说明在某区间内有限个点处为零,若则函数在该区间上仍是单增(或单减)的.在其余点处恒为正(或负),6第六页，共三十页，2022年，8月28日证明应用拉格朗日中值定理(1).设即所以在上单增.（2）证明类似7第七页，共三十页，2022年，8月28日解例1.判定函数在上的单调性.在上单增.一个函数并不一定在其整个定义域内都是单调增加或单调减少,而往往是在定义域内的某一部分区间上单增,在另一部分区间上单减,函数的单增区间,单减区间统称为单调区间.8第八页，共三十页，2022年，8月28日解(1).定义域例2.确定函数的单调区间.令,得(2).(3).以为分界点,将定义域分割,列表:增减增函数的单增区间为:单减区间为:9第九页，共三十页，2022年，8月28日xyo不存在,确定函数单调区间的方法和步骤:(1).求(2)找使的点(驻点),及使不存在的点;(3).以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间,判断在每一区间上导数的符号，由定理得出结论。观察图形可知：(求导）(找点）(列表）10第十页，共三十页，2022年，8月28日解(1)定义域例3确定函数的单调区间.(2).令,得当时,不存在,(3).列表:增减增函数的单增区间为:单减区间为:练习一下11第十一页，共三十页，2022年，8月28日时,例4.证明当方法１：设所以，在时，是增函数故有，即，2、函数单调性的应用12第十二页，共三十页，2022年，8月28日方法２：设对在上应用拉氏中值定理,,使即因所以即13第十三页，共三十页，2022年，8月28日例5证明：当时，恒有练习一下14第十四页，共三十页，2022年，8月28日二、函数的极值15第十五页，共三十页，2022年，8月28日定义1设f(x)在区间(a,b)内有定义,都有极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.若存在1).,则称为函数的极大值.2).,则称为函数的极小值.1、函数的极值的定义xyo16第十六页，共三十页，2022年，8月28日注意1)函数的极值概念是局部性的2)函数的极值可能有多个3)函数的极大值可能比极小值小4)函数的极值不在端点上取17第十七页，共三十页，2022年，8月28日由图所示,函数的极大值为:极小值为:函数的极值在单调区间的分界点处取得.xy的最大值为:最小值为:18第十八页，共三十页，2022年，8月28日定理2（必要条件）是极大值.证不妨设由定义知,设函数在处可导并取得极值,则的某一邻域内,恒有在2、极值的求法19第十九页，共三十页，2022年，8月28日条件必要而不充分.即导数为零的点未必是极值点.注意例y=x3在x=0点导数为零，但不是极值点。20第二十页，共三十页，2022年，8月28日说明1）导数不存在的点也可能是函数的极值点.若，称点为函数的驻点.2）极值点只可能在驻点或导数不存在的点取到。21第二十一页，共三十页，2022年，8月28日定理3(极值存在充分条件之一)当时,当时,1)若则在处取得极大值.当时,2)若当时,则在处取得极小值.3)若在的邻近两侧不变号,则在处没有极值.在点连续，在的某一邻域内可导（可除外）设函数xy22第二十二页，共三十页，2022年，8月28日例6.求函数的单调区间与极值.解.得列表:极大值极小值增减增极大值为:极小值为:23第二十三页，共三十页，2022年，8月28日确定函数单调区间与极值的步骤:(1).求（2）找使的点(驻点),及使不存在的点;(3).以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间,判断在每一区间上导数的符号，由定理判断单调区间与极值。(求导）(找点）(列表）24第二十四页，共三十页，2022年，8月28日（千万别忘记了定义域）例7.求函数的单调区间与极值.解(1)定义域为(2)令,得(3).列表:增减极小值练习一下25第二十五页，共三十页，2022年，8月28日定理4（极值存在充分条件之二）设函数处具有二阶导数,且在点则当时,为极大值;当时,为极小值.当时,待定26第二十六页，共三十页，2022年，8月28日列表:极小值增减减增非极值非极值例8.求函数的极值.解:得方法１27第二十七页，共三十页，2022年，8月28日所以有极小值:定理4失效,用定理3判断.当时,时,不是极值点当时,时,不是极值点方法228第二十八页，共三十页，2022年，8