高中数学 三维设计 复数 复数的概念

#：：：：：：..：!：：：..-工：”…^!!：!'.JF曩数::0101ZHANG7.1复数的概念7.1.1数系的扩充和复数的概念新课程标准新学法解读1•通过方程的解，认识复数.2•理解复数的代数表示，理解两个复数相等的含义.1.了解数系扩充的过程，明确引入复数的必要性.2•本节新概念较多，理解相关概念是学好复数的关键.共同基础*系统落实课前自匸学习，基稳才能楼高GONGTON^JICHUXirONGLUOSHI［思考发现］已知复数z=1+i,则下列结论中正确的个数是()Z的实部为1；②z>0；③Z的虚部为i.TOC\o"1-5"\h\z1B.2C.3D.0解析：选A易知①正确，②③错误，故选A.在2+\/7,7i，8+5i,(1—£)i,0.68这几个数中，纯虚数的个数为()A.0B.1C.2D.3解析：选C由纯虚数的定义可知2i,(1_\h)i是纯虚数•故选C.TOC\o"1-5"\h\z若a—2i=bi+1,a,b^R，贝Va2+b2=.解析：由两个复数相等可知，a=1,_2=b，所以a2+b2=5.答案：53i2+7i的实部为，虚部为.解析：3i2+7i=_3+7i，实部为_3,虚部为7.答案：一37已知复数z=m+(m2—1)i(mWR)满足z<0,则m=［m2—1=0,解析：TzvO,・・・z为实数且小于0,・•』m<0,解得m=—1.答案：一1［系统归纳］数系扩充的脉络自然数集f整数集f有理数集f实数集f复数集.复数概念的三点说明复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a+bi(a,bWR)的形式，其中0=0+0i.复数的虚部是实数b而非bi.复数z=a+bi只有在a,b^R时才是复数的代数形式，否则不是.两个复数相等的条件在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a,b,c,d^R,即当a,b,c,d^R时，a+bi=c+dia=c且b=d.若忽略前提条件，则结论不能成立.利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解.关键能iP童点培优濂蹙确蜒發乖血舉总能通奏極冷卞…GUAJNjlANNENGL1ZMONGDIAMPEIVOU复数的有关概念［例1］给出下列三个命题：①若ZGC，贝yz2>0；②2i—1虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为()0B.1C.2D.3［解析］对于①，当zWR时，z2>0成立，否则不成立，如z=i,z2=—1<0,所以①为假命题；对于②，2i—1=—1+2i,其虚部是2,不是2i,②为假命题；对于③，2i=0+2i,其实部是0,③为真命题.故选B.［答案］B复数概念的几个关注点复数的代数形式：若z=a+bi，只有当a,b£R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi,而是b.不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分.(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答.［变式训练］1•若复数z=a2—3+2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为.解析：由条件知a2—3+2a=0,.°.a=1或a=~3.答案：1或一3下列命题正确的是.复数一i+1的虚部为一1.若z1，z2WC且Z］—z2>0,则z>zr任意两个复数都不能比较大小.解析：①复数一i+1=1—i,虚部为一1,正确；②若Z］,z2不全为实数，则Z］,z2不能比较大小，错误；③若两个复数都是实数，可以比较大小，错误.答案：①复数的分类m2—m—6［例2］当m为何实数时，复数z=工3+(m2—2m—15)i.(1)是虚数；(2)是纯虚数.fm+3^0,懈］⑴当］m2—2m—15工0,即m丰5且m丰—3时，z是虚数.m2—m—6(2)当<m+3，、m2—2m—15工0,即m=3或m=—2时，z是纯虚数.复数分类解题策略判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义•其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解.［变式训练］［变设问］本例中条件不变，当m为何值时，z为实数?fm+3^0，解：当｛即m=5时，z是实数.m2—2m—15=0，［变设问］本例中条件不变，当m为何值时，z>0.

解：因为z>0,所以Z为实数，需满足m2—m—6>0，<m+3解得m=5.、m2—2m—15=0,［变条件］已知z=log2(1+m)+ilog丄(3—m)(mWR),若z是虚数，求m的取值范围.2解：*.*z是虚数，•：log］(3—m)主0,且1+m>0,23—m>0,即'3—m主1,—1<m<2或2<m<3.、1+m>0,.m的取值范围为(—1,2)U(2,3).复数相等及其应用［例3］(1)已知x2—y2+2xyi=2i,求实数x,y的值；a⑵关于x的方程3x2—^x—1=(10—x—2x2)i有实根，求实数a的值.［解］(1)°.°x2—y2+2xyi=2i.'x2'x2—y2=0,2xy=2,x=1.x=—1,y=_L(2)设方程的实数根为x=m,a.贝IJ3m2—^m—1=(10—m—2m2)i,3m2—~m—1=0,712解得a=11或a=—、10—m—2m2=0,复数相等问题的解题技巧必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的.［变式训练］满足X—3i=(8x—y)i的实数x,y的值为()A.A.x=0且y=3C.x=5且y=3x=0且y=—3D.x=3且y=0x=0x=0,解得{故选A.[y=3.a2—5a—6=0,a2—3a—1=3,解得a=—1.'x=0,解析：选A依题意得|—3=8x—y,已知A={1,2,(Q2—3a—1)+(°2—5a—6)i},B={—1,3},AAB={3},求实数a的值.解：由题意，得(a2—3a—1)+(a2—5a—6)i=3,夯基捉能・落实盘养课后层级训练，歩步捉升能力HAMUIThlNiENGLU^HISUYANGA级-学考合格性考试达标练1.复数(2—'2^i的虚部为()A.2B—辽B.23C.2-亍D.0解析：选C由复数定义知C正确.故选C.2•若复数2—bi(b£R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为()2A.—2B.32—3D.2解析：选D复数2—bi的实部为2,虚部为一b,由题意知2=—(—b)，即b=2•故选D.设集合A=｛实数｝,B=｛纯虚数｝,C=｛复数｝，若全集5=0则下列结论正确的是()AUB=CA=BAA([SB)=0([SA)U([SB)=C解析：选D集合A,B,C的关系如图，可知只有([谢)"[小)=。正确.故选D.4.已知复数可=1+3：的实部与复数z2=-1-^i的虚部相等，则实数a等于()A．—3B．3C．—1D．1解析：选C易知1+3i的实部为1,—1—ai的虚部为一a,则a=—1.故选C.5.已知复数Z]=a+2i,z2=3+(a2—7)i,a^R,若z1=z2，则a=()A．2B．3C．—3D．9]a=3,解析：选B因为w=a+2i,z2=3+(a2—7)i,且z】=z2,所以有｛解得a=1212[a2—7=2,故选B.若4—3a—a2i=a2+4ai,则实数a的值为."4—3a=a2解析：易知"解得a=—4.、一a2=4a,答案：—4如果(加2—1)+(加2—2加)i>l则实数m的值为."m2—2m=0，解析：由题意得｛'解得m=2.m2—1>1,答案：2若复数(a2—3a+2)+(a—1)i是纯虚数，则实数a的值为.解析：因为复数(a2—3a+2)+(a—1)i是纯虚数，a2—3a+2=0,所以｛解得a=2.[a—1主0,答案：2分别求满足下列条件的实数x,尹的值.2x—1+(y+1)i=x—y+(—x—y)i；~工+1~+(x2—2x—3)i=0.解：(1)Tx,yWR,"[2x—1=x—y，・•・由复数相等的定义得[,y+1=—x—y.解得x=解得x=3，

y=—2.X2—x—6I\=°,(2)TxWR,・•・由复数相等的定义得(x+l、x2_2x_3=0.=3或x=—2,且存一1,即｛斗・x=3.x=3或x=—1,设复数z=lg(m2—2m—2)+(m2+3m+2)i(mWR)，试求m取何值时？z是实数；z是纯虚数；z对应的点位于复平面的第一象限.解：(1)由m2+3m+2=0且m2_2m_2>0,解得m=_1或m=_2,故当m=_1或m=—2时,复数表示实数．当实部等于零且虚部不等于零时,复数表示纯虚数．由lg(m2—2m—2)=0,且m2+3m+2^0,求得m=3,故当m=3时，复数z是纯虚数.由lg(m2—2m—2)>0,且m2+3m+2>0,解得m<—2或m>3,故当m<—2或m>3时，复数z对应的点位于复平面的第一象限.B级——面向全国卷高考高分练1•复数z=J—j+(Q2—1)i是实数，则实数a的值为()A.1或—1B.1C.—1D.0或—1解析：选C因为复数z=±+(a2—1)i是实数，且a为实数,"a解析：选C因为复数z=±+(a2—1)i是实数，且a为实数,"a2_1=0,a—1工0,解得a=_1.故选C.2.若(x+y)i=x—1(x,yWR)，贝V2x+y的值为()A*B.2C.0D.1解析：选D由复数相等的充要条件知,「x+y=0.x_1=0,x=1,解得｛、y=—1,・.x+y=0..°.2x+y=20=1.故选D.3.已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(mWR)有实数根〃，且z=m+ni，则复数z等于()A.3+iB.3—iC.—3—iD.—3+i解析：选B由题意知n2+(m+2i)n+2+2i=0.n2+mn+n2+mn+2=0,即＜〔2n+2=0.解得｛Az=3-i.故选B.n=—1.已知复数Z]=m+(4—m2)i(mWR),z2=2cos0+(久+3sin0)i(X,0WR)，并且Z]=z2,则久的取值范围为()解析：选D由解析：选D由Z]=z2彳得m=2cos3,4—m2=A+3sin3,消去m得A=4sin20—3sin3=4(sin3—8A.「9nl_-7注B._9n下7」_9-C.[—1,1]D.57992—]6.由于一l^sin3<1,故一]6畝三7.故选D.5•若复数(Q2—a—2)+(|a—1|—l)i(aWR)不是纯虚数，则a的取值范围是解析：若复数为纯虚数，则有f—1|T妙a2—a—2=0,a工a工0且a工2,a=2或。=—1,••a=—1.故复数不是纯虚数时a^—1.答案：(一8,—1)U(—1,+(»)6.已知实数a,,满足a2+2a+2xy+(a+x—y)i=0,则点(x,,)的轨迹方程是解析：由复数相等的充要条件知,"解析：由复数相等的充要条件知,"a2+2a+2xy=0,a+x—y=0,消去a,得x2+y2—2x+2y=0,即(x—1)2+(y+1)2=2.答案：(x—1)2+(y+1)2=2a7.定义运算ca7.定义运算cb=ad—be,d3x+2yi如果(x+y)+(x+3)i=—y1求实数x,y的值.ab解：由定义运算=ad—be,ed3x+2yi得=3x+2y+yi,—y1故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.因为x,因为x,y为实数，所以有X+y=3x+2y,x+3=y,，2x+y=0,得｛丄c得x=_l,y=2.x十3=y,C级——拓展探索性题目应用练已知关于x的方程x2+(l—2i)x+(3加一i)=0有实根，求实数m的值.解：设a为方程的一个实数根，则有a2十(1_2i)a+(3m_i)=0,即(a2+a+3m)_(2a+1)i=0.由复数相等的充要条件得a2+a+3由复数相等的充要条件得a2+a+3m=0,2a十1=0,<解得m=12故实数m的值为吉17.1.2复数的几何意义新课程标准新学法解读1•理解复平面的实轴、虚轴、复数的模、共轭复数的概念.2•理解复数的代数表示及其几何意义.从“数”和“形”两个角度认识理解复数，由于复平面的建立，使得复数和复平面内的点和以原点为起点的向量具有一一对应关系，为研究复数问题提供了更加有力的工具.共耐基础*系统落实滦前自匸学习，基稳才能楼高GONGTOhl^JlCHUXirOIMGLUOSlHlII［思考发现］已知复数z=-i,复平面内对应点Z的坐标为()A.(0,-1)B.(-1,0)C.(0,0)D.(-1,-1)解析：选A复数z=_i的实部为0,虚部为_1,故复平面内对应点Z的坐标为(0,_1).故选A.TOC\o"1-5"\h\z2•若—劳=(0,-3)，则茲对应的复数为()A.0B.—3C.-3iD.3解析：选C由复数的几何意义可知—戸对应的复数为一3i.故选C.3•复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上，贝％)A.a工2或a丰1B.a工2或a丰—1C.a=2或a=0D.a=0解析：选C由题意知a2-2a=0,解得a=0或2•故选C.若复数a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(—8,1)B.(—«,—1)C.(1,+w)D.(—1,+«)解析：选B因为z=a＋1＋(1-a)i，所以它在复平面内对应的点为(a+1,1—a),fa+1<0,又此点在第二象限，所以｛解得a<—1.故选B.、1—a>0,已知复数z=1+2i(i是虚数单位)，则|z|=.解析：Vz=1+2i,|z|=\'12十22=詁5.答案：V5［系统归纳］复平面、实轴、虚轴与复数的对应复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a,b^R)可用点Z(a,b)表示.实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数.虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数.复数几何意义的两个注意点复数与复平面上的点：复数z=a+bi(a,b^R)的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,bi).复数与向量的对应：复数z=a+bi(a,b^R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与O：产相等的向量有无数个.对复数模的三点说明数学上所谓大小的定义是：在(实)数轴上右边的比左边的大,而复数的表示要引入虚数轴,在平面上表示,所以也就不符合关于大和小的定义,而且定义复数的大小也没有什么意义,所以我们说两个复数不能比较大小.数的角度理解：复数a+bi(a,b£R)的模|a+bi|=Ja2+b2,两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数,可以比较大小.几何角度理解：表示复数的点Z到原点的距离.|z1—z2|表示复数％z2对应的点之间的距离.囑堂谶绦養起往潘违龍通:类题关键能力•就点培优囑堂谶绦養起往潘违龍通:类题GUAJNJIANMENGLIZHONQDIANPEIYOUI复数与复平面内点的关系复数与复平面内点的关系a2—a—6［例1］求实数a分别取何值时，复数z=+(a2—2a—15)i(aWR)对应的点Z满足下列条件：在复平面的第二象限内；在复平面内的x轴上方.懈］(1)点Z在复平面的第二象限内，a2—a—6~"V0,贝”°十3解得aV—3.、a2—2a—15>0,(2)点Z在x轴上方，'a2—2a—15>0,贝卅a+3^0,即(a+3)(a—5)>0,解得a>5或aV—3.利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤找对应关系：复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b£R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示，是解决此类问题的根据.列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.特别提醒：复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示.［变式训练］［变设问］本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值.解：点Z在x轴上，所以a2—2a—15=0且a+3^0,所以a=5.故a=5时，点Z在x轴上.2•［变设问］本例中条件不变，如果点Z在直线x+y+7=0上，求实数a的值.解：因为点Z在直线x+y+7=0上,~a2—a—6,,所以~a+3~十"2—2a—15+7=0,即a3+2a2—15a—30=0,所以(a+2)(a2—15)=0,

故a=—2或a=±\：15.所以a=—2或a=±£15时，点Z在直线x+y+7=0上.怪粧煜二复数的模怪粧煜二［例2］已知复数z=\'3+i,z2=—2+⑴求|z1|及|z2|并比较大小；(2)设zWC,满足条件|z|=|z1|的复数z对应的点Z的轨迹是什么图形?［解］(l)|z］|=|V3+i|=<32+12=2,2+=12+=1,所以Zil>|z2|.(2)法一:设z=x+yi(x，yWR),则点Z的坐标为(x,y).由|z|=|Z］|=2得\'x2+y2=2，即x2+y2=4.所以点Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆.法二：由|z|=|z1|=2知O|=2(O为坐标原点),所以Z到原点的距离为2.所以Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆.复数模的计算计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解.［变式训练］已知复数z=l—2mi(mWR)，且|z|<2，则实数m的取值范围是.解析：由|z|^\'1+4m2<2，解得一¥<m<¥・答案:2•求复数Z］=6+8i与z2=_2—边i的模，并比较它们的模的大小.解：*.*z1=6+8i，z2=—*—rj2i.°.|Z］|="(62+82=10,2+—远2+—远2=2.•・T0>3，••问泊.riT-'Ri复数与复平面内向量的关系［例3］(1)在复平面内，复数6+5i,—2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A.4+80iB.8+2iC.2+4iD.4+i(2)在复平面内，A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,—1+2i.求向量—戸，~A(J,—(?对应的复数；判定△ABC的形状.懈析］⑴两个复数对应的点分别为A(6,5),B(-2,3),则C(2,4).故其对应的复数为2+4i.［答案］C(2)①由复数的几何意义知：O=(1,o),~OBB=(2,1),—=(—1,2),>>>>>>>所以AB=OB—OA=(1,1),AC=OC—OA=(—2,2),BC=OC3,1)，所以—BT,~A(J,—(?对应的复数分别为1+i,—2+2i,—3+i.②因为I—B—K|=2<2,—K|=V10所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形.复数与平面向量的对应关系根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数•反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.解决复数与平面向量对应的问题时，一般以复数与复平面内的点对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.［变式训练］1.在复平面内，把复数3—对应的向量按顺时针方向旋转3，所得向量对应的复数是()A.2百B.—2；3i

C.V3—3iD.3+<3i解析：选B复数对应的点为（3,_\沽）,对应的向量按顺时针方向旋转3则对应的点为（0,—2百），所得向量对应的复数为一2\.'3i.故选B.已知复数勺=—l+2i,z2=1—i,z3=3—2i,它们所对应的点分别是A,B,C,若OC=xOA+yOB（x,y^R），贝Vx^y的值是.解析：由复数的几何意义可知，——=x—A+y"O—,即3—2i=x(—1+2i)+y(1—i),3—2i=(y—x)+(2x—y)i,由复数相等可得｛y由复数相等可得｛y_x=3,2x—y=—2,x=1,解得|y=4..*.x+y=5,答案：5夯基捉能，落实蠹养滦后层级训练，歩步捉升能丿JHAHGJIThMENGLHISUYANGA级一一学考合格性考试达标练1•复数z=—1—2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选Cz=—1—2i在复平面内对应的点为（一1,—2）,它位于第三象限.故选C.向量a=（—2,1）所对应的复数是（）B.z=1—2iAB.z=1—2iC.z=—1+2iD.z=—2+i解析：选D向量a=（—2,1）所对应的复数是z=—2+i.故选D.已知0VaV2，复数z=a+i（i是虚数单位），则|z|的取值范围是（）A.（1,；'3）B.（1,-'5）C.（1,3）D.（1,5）解析：选B|z|=pa2+1,V0<a<2,?.1<a2+1<5,A|z|G（1,'5）.故选B.设O为原点，向量—O-,~OB对应的复数分别为2+3i,—3—2i，那么向量——对应的复数为（）A.—1+iB.1—iD.5+5i解析：选D因为由已知OA=(2,3),OB=(—3,—2)，所以BA=OA—OB=(2,3)

—(―3,—2)=(5,5),所以BA对应的复数为5+5i•故选D.5•已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为()A.—个圆B.线段C.两点D.两个圆解析：选A•••|z|2—2|z—3=0,.•・(|z—3)(|z|+l)=0,."1=3，表示一个圆.故选A.6•复数z=x—2+(3—x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是解析：••复数z在复平面内对应的点位于第四象限，X—2>0,解得x>3.3—x<0.答案：(3,+^)7•复数3—5i,1—i和一2+ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为解析：由点(3,—5),(1,—1),(—2,a)共线可知a=5.答案：5i是虚数单位，设(1+i)x=1+yi,其中x,是实数，则xy=,|x+yi|=,解析：由(1+i)x=1+yi，得x+xi=1+yi,.*.x=y=1,.*.xy=1,|x+yi|=|1+i|=/2.答案：12在复平面内指出与复数Z]=—1+V2i,z2=2—i，z3=—i，z4=i/5+3i对应的点Z2,Z3,Z4，然后在复平面内画出这4个复数对应的向量.解：由题意知即一1,迈)，Z2(2,—1),Z3(0,—1),Z4G;'3,3).如图所示，在复平面内，复数z1,z2,z3,z4对应的向量分别为—才,芮,—疋,—兀实数x取什么值时，复平面内表示复数z=x2+x—6+(x2—2x—15)i的点Z：(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x—y—3=0上.解：因为x是实数,所以x2+x—6,x2—2x—15也是实数.x2+x—6<0,⑴当实数x满足)x2—2x-15<0，即—3<x<2时，点Z位于第三象限•x2+x—6>0,当实数x满足)即2<x<5时，点Z位于第四象限.x2—2x—15<0,当实数x满足(x2+x—6)—(x2—2x—15)—3=0,即3x+6=0,x=—2时,点Z位于直线x—y—3=0上.

B级——面向全国卷高考高分练1.若x,尹WR,i为虚数单位，且x+y+(x—y)i=3—i,则复数x+yi在复平面内所对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限x+y=3,x_y=_1.解析：选A*.*x+yx+y=3,x_y=_1.x=1,解得L，・•・复数卄所对应的点在第一象限•故选A.已知复数z=a+羽i(aWR)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|=2,则复数z等于（）B.1+V3iDB.1+V3iD.—2+\；3iC.—1+p3i或1+\'3i'a+3=4,解析：选A由题意得｛'解得a=_1.a<0,故z=—1+\'3i.故选A.若复数z对应的点在直线y=2x上，且|z|=\/5，则复数z=()A.1+2iC.±1±2iD.1+2i或一1—2i解析：选D依题意可设复数z=a+2ai(aWR)，由|z|=\/5得如2+4。2=运，解得a=±1，故z