概率论ppt课件 3.4-3.5 二维随机变量的函数的分布

§3.4相互独立的随机变量一、两个随机变量相互独立的概念二、n个随机变量相互独立的概念

它表明，两个随机变量相互独立时，联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积一、两个随机变量相互独立的概念两事件A,B独立指P(AB)=P(A)P(B)定义１设F(x,y),FX(x),FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)

联合分布函数及边缘分布函数．若对所有x,y有即则称随机变量X与Y是相互独立的.说明

(1)若离散型随机变量(X,Y

)的分布律为教材上称为“几乎处处成立”，含义是：在平面上除去面积为0的集合外，处处成立.(3)定理设随机变量X与Y相互独立，令其中为连续函数，则U与V也相互独立．(2)二维正态随机变量X与Y相互独立证:必要性

对任何x,y有取X与Y相互独立附：故将代入即得所以X与Y相互独立充分性

例1设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为

X

Y0100.04a

1b

0.64若X

和Y相互独立,则a=_______b=_______0.160.16图例2

学生甲,乙到达教室的时间均匀分布在7~9时,设两人到达的时刻相互独立，求两人到达教室的时间相差不超过5分钟的概率．解设X，Y分别表示甲，乙到达教室的时刻

由于X与Y相互独立，故(X,Y)的概率密度为 7979GxOyG1返回证:对任何x,y有取X与Y相互独立例3故将代入即得所以X与Y相互独立若对任意实数，均有则称X1,X2,…,Xn相互独立.

设(X1,X2,…,Xn)的分布函数为F(X1,X2,…,Xn).

定理

设(X1,X2,…,Xm)与(Y1,Y2,…,Yn)相互独立,则Xi(i=1,2,…,m)与Yj(j=1,2,…,n)相互独立.又若h,g为连续函数,则h(X1,X2,…,Xm)与g(Y1,Y2,…,Yn)相互独立.若对任意实数x1,x2,…,xm;y1,y2,…,yn均有则称X1,X2,…,Xn与Y1,Y2,…,Yn相互独立.F(x1,…,xm,y1,…,yn)=F1

(x1,…,xm)F2(y1,…,yn)二、n个随机变量相互独立的概念§3.5二维随机变量的函数

的分布Z=X+Y的分布三、最大值、最小值的分布一、

离散型随机变量的函数的分布二、

连续型随机变量的函数的分布例1

设(X,Y)的分布律为XY012-120.20.30.10.10.10.2解(-1,0)(-1,1)(-1,2)(2,0)(2,1)(2,2)-101234(X,Y)Z=X+YZ=XY

0.20.30.10.10.10.2

0-1-2024Z=XY

0.10.30.30.10.2-2-1024一、

离散型随机变量的函数的分布求(1)Z=X+Y(2)Z=XY

(3)Z=max(X,Y)

(4)Z=min(X,Y)的分布律.Z=max(X,Y)

0

12

2

2

2X与Y独立，X,Y取0,1,2，…，则Z=X+YZ=max(X,Y)的分布律设X与Y独立，分别服从参数为，的泊松分布，证明Z=X+Y服从参数为的泊松分布。【注】分布具有可加性二项分布的可加性（P89）二、

连续型随机变量的函数的分布设(X,Y)的概率密度为f(x,y),求Z=g(X,Y)的分布.一般方法：分布函数法

设(X,Y)的概率密度为f(x,y),Z=X+Y的分布函数为1.

Z=X+Y的分布x+y=zyxo

Z=X+Y的概率密度:

卷积公式当X,Y相互独立时,例1

设X~N(0,1),Y~N(0,1)且X与Y相互独立，求

Z=X+Y的概率密度。Z=X+Y~N(0,2).解(2)若

一般结论：(1)若且相互独立，则X+Y仍服从正态分布，且且相互独立，则

有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.例2

设随机变量X和Y相互独立，且X和Y都是（0，a）上的均匀分布，求Z=X+Y的概率密度。例2

在一简单电路中，两电阻R1和R2串联联接，设

R1,R2相互独立，它们的概率密度均为求总电阻R=R1+R2的概率密度.解xzz=xz=x+10例3

设X1,X2相互独立分别服从参数为1,;2,的分布,即X1,X2的概率密度分别为试证：X1+

X2服从参数为1+2,的分布.[注]函数:

分布：若随机变量X的概率密度为分布的性质：若X1~(1,)，

X2~(2,)，且相互独立，则X1+

X2~(1+2,).[注]函数:则称X服从参数为,的分布.记为X~(,).

若X1,X2,…Xn相互独立，且Xi服从参数为i,(i=1,2,…n)的的分布，则X1+X2+…+Xn服从参数为1+2+...+n,的分布.一般结论：当z>0时,证：A亦即Z=X1+X2服从参数为1+2,的分布．A的计算：[注]函数:

若X1,X2,…Xn相互独立，且Xi服从参数为i,(i=1,2,…n)的的分布，则X1+X2+…+Xn服从参数为1+2+...+n,的分布.一般结论：2.Z=Y/X的分布、Z=XY的分布

设X,Y是二维连续型随机变量,其概率密度为f(x,y),则Z=Y/X、Z=XY仍为连续型随机变量，其概率密度分别为当X,Y相互独立时,证:

y=xzyxoG1G2y=xzyxo

(z>0)G1G2(z<0)例3

设X和Y分别表示两个不同电子元件的寿命，且相互独立,服从同一分布，其概率密度为求Z=Y/X的概率密度.解xzxz=100010001被积函数的非零区域0，三、最大值、最小值的分布

设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为FX(x),FY(y).求M=max{X,Y}及N=min{X,Y}的分布函数.对任意实数z,

设X1,X2,…,Xn相互独立，其分布函数分别为FXi(xi)，则M=max{X1,X2,…,Xn}与N=min{X1,X2,…,Xn}的分布函数分别为推广：特别，相互独立且具有相同的分布函数F

(x)时，有例4

设系统L由两个相互独立的子系统组成,其寿命分别为X,Y．其概率密度分别为

其中>0,>0,.试求联接方式为：(1)串联，(2)并联（3）备用时系统L的寿命Z的概率密度．解(1)串联系统：此时有Z=mi