概率论ppt课件 1.5条件概率

第五节条件概率一、条件概率的定义及性质引例及概念

在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.在事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，记作P(B|A).

将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两面的情况,设事件

A为“至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”.现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率.解：事件A已经发生的条件下事件B发生的概率,记为

引例条件概率的定义:

设A，B是两事件，且P(A)>0，称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.注1.条件概率P（•|A）满足概率定义的三条公理，即

1）.对于每一事件B，有P（B|A）≥0;2）.P（|A）=13).

设B1，B2,…两两不相容，则有概率的一切性质都适用于条件概率，例如：2．计算一般有两种方法：

(1)由条件概率定义：P(B|A)=P(AB)/P(A)

（在原样本空间中求P(AB)、P(A)）

(2)按古典概型公式：P(B|A)=NAB/NA

（在缩小的样本空间中考虑）

P（Φ|A）=0P（B|A）=1−P（B|A）

P(B1∪B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)−P(B1B2|A)等例1

掷两颗均匀骰子,求在已知第一颗掷出6点条件下“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解法(定义）1:解法（缩小样本空间）2:解:设A={第一颗掷出6点}B={掷出点数之和不小于10}应用定义在A发生后的缩减样本空间中计算由条件概率的定义：即若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)(1)而P(AB)=P(BA)若已知P(A),P(B|A)时,可以反求P(AB).将A、B的位置对调，有故P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(2)若

P(B)>0,则P(BA)=P(B)P(A|B)二、概率乘法公式(1)和(2)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率当P(A1A2…An-1)>0时，有P(A1A2…An）=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)推广到多个事件的乘法公式:例2

设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为P(B|A).例3

乘法公式应用举例

一个罐子中包含b个白球和r个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.若在罐中连续取球四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.

（波里亚罐子模型）b个白球,r个红球

解:设Ai={第i次取出是白球},则Ai={第i次取出是红球}，i=1,2,3,4于是

“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球”

的概率应为P(A1A2A3A4)用乘法公式容易求出

当c>0时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率.这是一个传染病模型.

每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.进一步，当c=0时，放回抽样；当c=-1时，不放回抽样。b个白球,r个红球P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)例4：一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.

5张同样的卡片，只有一张上写“入场券”，其余什么也没写.将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取.“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”后抽比先抽的确吃亏吗？

解：用Ai表示“第i个人抽到入场券”

i＝1,2,3,4,5.显然，P(A1)=1/5，P()＝4/5第1个人抽到入场券的概率是1/5.即则表示“第i个人未抽到入场券”由于因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，由乘法公式计算得：P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5

这就是有关抽签顺序问题的正确解答.

同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到.因此＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5

继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.抽签不必争先恐后.也就是说，

样本空间的划分三、全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率.三、全概率公式与贝叶斯公式样本空间的划分：设

为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn为E的一组事件，若

（1）BiBj=Φ,ij,i,j=1,2,…,n;

（2）B1∪B2∪…∪Bn=，

则称B1，B2，…,Bn为样本空间的一个划分.例如，设试验E为“掷一颗骰子观察其点数”.它的样本空间为={1，2，3，4，5，6}.E的一组事件A1={1,2,3},A2={4,5},A3={6}是的一个划分，而事件组B1={1，2，3}，B2={3，4}，B3={5，6}不是的划分.

设B1,B2,…,Bn是试验E的样本空间

的一个划分，且P(Bi)>0，i=1,2,…,n.A是任一事件,则全概率公式:全概率公式的来由:“全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和.它的实用意义在于:

某一事件A的发生有各种可能的原因(i=1,2,…,n),每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式.B1B2B3B4B5B6B7B8A可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”.诸Bi是原因,A是结果例5设一仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、两箱依次为甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲厂、乙厂、丙厂生产的该种产品的次品率依次为1/10、1/15、1/20.从这十箱中任取一箱，再从取得的这箱中任取一件产品，求取得正品的概率.（抽签问题）

解设A={取得的是正品},

B1={该件产品是甲厂生产的},

B2={该件产品是乙厂生产的},B3={该件产品是丙厂生产的}.显然，B1∪B2∪B3=，且B1、B2、B3互斥由已知得：P(B1)=5/10P(B2)=3/10P(B3)=2/10P(A｜B1)=9/10，P(A｜B2)=14/15，P(A｜B3)=19/20由全概率公式得P(A)=…=0.92

该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因的概率.贝叶斯公式：设B1,B2,…,Bn是试验E的样本空间的一个划分，且P(Bi)>0，i=1,2,…,n,A是任一事件且P(A)>0,则贝叶斯公式可以形象地看成为“由结果推原因”.例6:对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%，试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？后验概率

解:设A＝“产品合格”，B＝“机器调整良好”已知:P(A|B)=0.9，P(A|B)=0.3,P（B）=0.75，求P(B|A)，由贝叶斯公式－先验概率

贝叶斯公式中P(Bi)和P(Bi|A)分别称为原因的先验概率和后验概率.P(Bi)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不知道事件A是否发生）的情况下，人们对事件Bi发生可能性大小的认识.

当有了新的信息（知道A发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Bi|A)有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。

贝叶斯公式在实际中可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因.例7:假定用甲胎蛋白法诊断肝癌，P(B|A)=0.99,P(B|A)=0.05，其中A表示“被检验者患有肝癌”,B表示“被检验者试验反应为阳性”。据调查某地区居民的肝癌发病率P(A)=0.0004。现若由该地区某居民检验结果呈阳性，问他患肝癌的概率P(A|B)是多少?解：思考：1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？2.检出阳性是否一定患有癌症?

如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率

P(A1)=0.0004

患者阳性反应的概率是0.99，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为P(A1｜B)=0.00786说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.从0.0004增加到0.00786,将近增加约20倍.思考1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？思考2.检出阳性是否一定患有癌症?

试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为

P(A1｜B)=0.00786

即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有0.786%(平均来说，1000个人中大约只有8人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.

思考3：条件概率P(A|B)与P(A)的区别

每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小.P(A)与P(A|B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.

而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.思考4：条件概率P(A|B)与P(A)数值关系

条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小.那么,是否一定有:或P(A|B)P(A)?P(A|B)P(A)?

在事件B发生的条件下事件A的条件概率一般地不等于A的无条件概率.但是，会不会出现P(A)=P(A|B)的情形呢？这个问题留待下一节讨论.每100件产品为一批,已知每批产品中次品数不超过4件,每批产品中有

i件次品的概率为

i01234P0.10.20.40.20.1从每批产品中不放回地取10件进行检验,若发现有不合格产品,则认为这批产品不合格，否则就认为这批产品合格.求(1)一批产品通过检验的概率(2)通过检验的产品中恰有i

件次品的概率例解

设一批产品中有

i件次品为事件Bi,i=0,1,…,4A

为一批产品通过检验则已知P(Bi)如表中所示，且由全概率公式与Bayes公式可计算P(A)与结果如下表所示

i01234P(Bi)

0.10.20.40.20.11.00.90.8090.7270.6520.1230.2210.3970.1790.080为后验概率，它是得到了信息—A

发生,再对导致

A

发生的原因发生的可能性大小重新加以修正i较大时，

P(Bi)为先验概率，它是由以往的经验得到的，它是事件

A

的原因

本例中，i较小时，信号收发问题

将A，B，C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其他一字母的概率都是(1－α)/2.今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为p1,p2,p3(p1+p2+p3=1)，已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的.）应用背景

信号输入信道后，有可能由于硬件原因，使得输出的信号与原始信号有差异.此时可以根据已知的条件，求得出现误差的概率.相关知