高等数学 第十章 散度旋度曲线积分

2013-2014学年第二学期期中考试知识点求全微分多元函数连续,偏导数存在,可微,偏导数连续之间的关系求曲面的切平面方程求复合函数的偏导数二重积分的计算各种方法计算三重积分各类积分的对称性第一类曲线积分的计算计算曲线型构件的质心第二类曲线积分的计算格林公式曲线积分与路径无关的条件

解全微分方程第一类曲面积分的计算第二类曲面积分的计算高斯公式各类积分的几何、物理背景三、向量场的散度设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为理意义可知,设为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面的流量为则由对坐标的曲面积分的物若为方向向外的闭曲面,

当>0时,说明流入的流体质量少于当<0时,说明流入的流体质量多于流出的,则单位时间通过的流量为当=0时,说明流入与流出的流体质量相等.流出的,表明内有源（正源）;表明内有洞（负源）;注：反映了内源的性质和强度定义:设有向量场divergence

M(x,y,z)为场内一点

称此极限值为向量场A

在点M

的散度，记为方向向外的任一闭曲面

,

记所围域为,是包含点

M且的体积为V,如果极限存在表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.若向量场A

处处有,则称A

为无源场.例如,

匀速场故它是无源场.注:

散度是通量对体积的变化率,且定理:设有向量场其中P,Q,R

具有连续一阶偏导数,则

证：注：1．高斯公式：2．性质例.置于原点,电量为q

的点电荷产生的场强为解:

计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.

第七节斯托克斯公式与旋度个空间域内具有连续一阶偏导数,的侧与

的正向符合右手法则,在包含在内的一例.

为柱面与平面y=z

的交线,从z轴正向看为顺时针,计算解:设为平面z=y

上被所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦二、空间曲线积分与路径无关的条件定理.设G

是空间一维单连通域,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:(1)对G内任一分段光滑曲线,与路径无关(2)在G内存在某一函数u,使(3)在G内处处有(4)对G内任一分段光滑闭曲线,有与路径无关,并求函数解:

令积分与路径无关,因此例.

验证曲线积分三、环流量与旋度曲线L的单位切向量为称为向量场A定义:沿有向闭曲线的环量.环量密度:rotation向量rotA

称为向量场A的旋度:定理:若则向量场A

产生的旋度场穿过的通量为向量场A沿的环流量斯托克斯公式的物理意义:的外法向量,计算解:

例.设曲线积分曲面积分1.第一类曲线积分2.第二类曲线积分3.第一类曲面积分4.第二类曲面积分（曲面薄板质量）（物质曲线质量）（变力作功、环量）（通量）第十章曲线积分与曲面积分知识总结•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧(1)利用参数方程化为定积分1.第一类曲线积分的计算例.

计算其中L是抛物线与点

B(1,1)之间的一段弧.解:上点O(0,0)推广:

设空间曲线弧的参数方程为则(2)要结合利用第一类曲线积分的性质简化计算曲线L方程可带入被积函数可使用对称性与轮换对称性第一类曲线积分对称性与轮换对称性当区域关于x轴对称,函数关于y

有奇偶性时,仍有类似结果.例.

计算其中为球面被平面所截的圆周.解:由对称性可知例.设均匀螺旋形弹簧L的方程为求它的质心.解:

设其密度为

ρ(常数).L的质量而故重心坐标为例.L为球面面的交线,求其形心.在第一卦限与三个坐标解:

如图所示,交线长度为由对称性,形心坐标为2．第二类曲线积分的计算(1)利用参数方程化为定积分(3)曲线积分与路径无关的等价条件(2)格林公式和斯托克斯公式•对有向光滑弧(1)利用参数方程化为定积分•

对有向光滑弧•

对有向光滑弧例.计算其中L为沿抛物线解法1

取x

为参数,则解法2取y

为参数,则从点的一段.例.计算其中L为(1)半径为a

圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点

B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则两类曲线积分的联系•

对空间有向光滑弧

:例：计算其中由平面y=z

截球面提示:

因在上有故原式=从z轴正向看沿逆时针方向.(2)格林公式推论:正向闭L所围D的面积应用格林公式注意事项：格林公式三个条件曲线封闭性曲线正向偏导连续性加边法考虑反方向挖洞法当被积函数或积分曲线比较复杂时考虑用格林公式计算其中L为上半圆周提示:沿逆时针方向.例.

例.

设L是第一象限从点计算解:

添加利用格林公式.原式=的曲线段,2012考研数学一(3)平面上曲线积分与路径无关的等价条件在

D

内与路径无关.在

D

内有对D

内任意闭曲线L有在D

内有设P,Q

在单连通域D

内具有一阶连续偏导数,则注:若曲线积分与路径无关,则可选择方便的积分路径:

-----------折线、圆周、抛物线等说明:若在某单连通区域内则2)可用积分法求du=

Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;例.

计算其中L

是沿逆时针方向以原点为中心,解法1令则这说明积分与路径无关,故a

为半径的上半圆周.解法2

它与L所围区域为D,(利用格林公式)则添加辅助线段例.设质点