2012年广一模理科数学试卷及答案

试卷类型2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一数学（理科4页，21150120答案；使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效5参 ：锥体的体

V1ShSh3s21xx2

x2xx2其中xx1x2 xn

一、选择题：本大题8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只已知复数abii1i（abRi是虚数单位ab11

已知全集URyB为集合B，则集合ðUB

的定义域为集A，函ylog2x2的定义A．2,D．1,

B．2,

C．,fxsinx0，则 6 Pa，b（ab0是圆O：x2y2r2laxbyr20，那么直线l与圆O的位置关系是相 D．不确fx2x1ax1

a

fx1f

充分非必要条 已知两个非零向量ab，定义ababsin，其中aba=3,4

b=02，则ab的值

在△ABC中，ABC60，

，BC6BCDABD

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9103标系中的点的坐标x,yz，若x

3 二、填空题：本大题共7小题6小题，每小5分，满30分（一）必做题（9～13题 22如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积 2222已知2≤1kx1dx≤4，则实数k的取值范围 22

已知幂函数ym2则实数m的值

在区间0,上单调递增已知Ax1≤x≤2B则实数a的取值范围

BA

俯视 图两千多年前，古希腊学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙个五角形数记作a25，第3个五角形数记作a3

，第4个五角形数记作a422，……，若按此规律继续下去，则a5 ，若an145，则n 图（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题B14（ OP3cm，弦CDPC

，则CD

cm A15（ x1 xt参数方程分别为l：y1s（s为参数）和C：yt （t为参数 若l与C相交于A、B两点，则AB 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步16（ 4已知函数f(x)tan3x 4 9求f 的值9 设

，若f 2，求

17（如图4所示的茎记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中a

甲 乙已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同 （1）求a的值 分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数 成绩之差的绝对值为X，求随量X的分布列和均值（数学期望（温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计 及其说明

18（如图5P

AB

ABCPD

D，

，CD3，PD PBCAPPBC19（等比数列a的各项均为正数，2a, 成等差数列，且a2a2 求数列an的通 设

2n

，求数列b的前n项和S 2n12n3 20（ x

离心率为的双曲线．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．求曲线C设P、T两点的横坐标分别为x、x2，证明：x1 21（ x xf(xee为自然对数的底数)，gn(x1x

（nN*（1）f(x)≥g1(xx0f(x)gn(x2 2 2

2证明 L

n n 2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分12345678DBCABDCA二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性7小题，每小5分．其14~15题是选做题，考生只能选做一题131个3分9．4

2 2 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步16（（本小题主要考查两角和的正切诱导同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：f9tan 1 4tantan 3

31 tan 311 311

3 4（2）解：因为ftan3 5 4

4 tan 6

tan，即sin

7 因为sin2cos21 由①、②解得cos2

9因为

，所以cos

55sin 1055所以

cos

11 25

52

12 17（（本小题主要考查统计方差随量的分布列均（数学期望等知识考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） 解：依题意，分

(87899696)

解得a 2解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都x92 3分s2

87922934

.…………5解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4416种可能的结 6分XX87乙0299643364338611所以X的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8， 8分 PXP(X

，P(X1)，P(X

，P(X，P(X8)

，P(X3) 1，P(X X01234689X01234689P11111111随量X的数学期望

10EX01122

819

………11

1218（（1：因为平面PACPDAC，PD平面

ABC

，PDABC 1记AC边上的中点为E，在△ABC中，AB ，所以BEACAB

，

BC262BC2622PDACPCDPDPC

，CD3PD2PD232

．………4BD，在RtBDEBE

， BE222所以BDBE222PDABCBDABCPDBD在Rt△PBD中，因为PD ，BD PD23PD232

．… 6在PBCBC

，PB

，PC 3BC2PB2PC23所以PBC为直角三角形 72：因为平面PAC，PDAC

ABC

，PD所以PD平面ABC 1记AC边上的中点为E，在△ABC中，因为AB ，所以BEACAB

，

BC262BC2622BD，在RtBDE中，因为BED90oBE

， BE2223BE2223在△BCD中，因为CD3，BC ，BD 所以BC2BD2CD2，所以BCBD 5PDABCBCABC所以BCPD 6

BCPBD．PBDBCPB．所以PBC为直角三角形 7解法1：APBCHPH则 为直线AP与平面PBC所成的角 8123由（1）ABCSABC2ACBE23

9PD22

，所以VP

13

3 22 3

10由（1）知PBC为直角三角形，BC ，PB PBCSPBC2BCPB2

6 3 116A6

P

的体积相等，即VAPB 2即13AH ，所以AH2

2 122 在RtPADPD

， PD232所以APPD2322因为sinAPHAH 6 APPBC6 1463PC解法2：过点D作DM∥AP，设PCP则DM与平面PBC所成的角等于AP与平面PBC所成的 8分P由（1）BCPDBCBCPBD．BCPBCPBCPBD

，且 DDNPBNMN，DNPBC．所以 为直线DM与平面PBC所成的角．……10在RtPADPD

， PD232所以APPD232 因为DM∥AP，所 ，A

12由（1）BD

，PB

，且PD 所以DNPDBD 3

136因为sinDMN 2 6 2APPBC6 14633：延长CB至点GBGBCAGPG 8在△PCG中，PBBG 所以CPG90o，即CPPG3PACPC3

，

， PA2PC2AC2所以CP 因为PAI 所以CPPAG 9AAKPGK因为 平面PAG所以CPAK因为PGI AKPCG所以

APPBC角 11由（1）知，BC 所以PGP CAGEB分别为边CA、CG2所以AG2BE22 122PAG

，AG

，PG23PA2AG2PG2PA

1322因为sinAPKAG 22 APPBC6 14634：EEBECxy轴建立如图的Exyz 8A020B200C020P01,3．于是AP0,1,3PB

3，PC0,3,

3．则2xy即y1z

3，x 3所以平面PBC的一个法向量为n2,1,3．… APPBC所成的角为646则sincosAP,n

2AP26所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值 1463若第（1（2）问都用向量法求解，给分如下EEECxyExyz 1B200C020P01,3．BP

2,1,3，BC

2,2,0BPBCBPBC

2,1,3

2,2,00所以BP 所以PBC为直角三角形 7由（1）可得A020于是AP0,1,3PB

3，PC0,3,

3． 则 即

2xyy1z

3，x 3所以平面PBC的一个法向量为n2,1,3．… 12APPBC所成的角为646则sincosAP,n

2AP26所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值 146319（（以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）解：设等比数列an的公比为q，依题意，a2a4

a2a 即

2a

2

所以

3

a 1由于a0q0

a1或

5

10q0，所以a11

61所以数列a的通 为a

（nN*．… 72 2 （1，得

2n2n12n

2n 2n12n3

821所以bn 21 (2n

10Snb1b2L1 3故数列bn的前n项和20（

13

2n3

14查数形化归与函数与方程的数学思想方法理论证能力和运算求解能力 1 设双曲线Cx

b01因为双曲线的离心率为，所 ，即b1 所以双曲线Cx

3证法1：P(x1y1、T(x2y2)（xi0yi0，i12AP的斜率为（k0则直线AP的方程为yk(x1) 4ykx1,联立方程组x2

5 4整理，得4k2x22k2xk2404k 4k解得x1或x4k2．所以x24k2 64

7

82：P(x1y1、T(x则

（xi0，yi0，i1,2

x

x

42 y y因为kAP

，所以 1

，即 ．… 5x

x 1P和点Tx1

yy211，x2 yy241y24x1

，y24

624x22

x 2所 2

，即

7

83：P(x1y1APy

x

(x1 4y联立方程组x2

x11

x

54(x1)2y2x22y2xy2

1)20

4(x1)2 4

6 4(x1)2y 将y14x14代入x 1，得x ，即x

1)2y

8解：设点P(x1,y1)、T(x （xi0，yi0，i1,2则PA ，PB PA因 ，所以1x1xy215，即x2y216PA y P

114

416

4P是双曲线在第一象限内的一点，所以1

10111因为S1 | ，S2 111所以S2S2y21y244x2x215x24x2 4 分由（2）知x11设tx2，则11 S2S2

，即x2 1x11x，．ft5t4，则ft142t2t当1

时ft0，当2

t2 t2时ft0所以函数ft在12上单调递增，在24上单调递减．f21f1f40，所以当t4x2S2S2

f40 12 当t2x1

时 2SS2SS

f2 13 所以S2S2的取值范围为 1说明：S2S25x24x2 1

1，得S2S2

1121（（合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）证明：设(x)f(xg(x)exx1 1所以(x) 11当x0时，(x ，当x0时，(x)0，当x0时，(x)0 即函数1

在(0)上单调递减，在(0x0值，………2因为

x

f(xg1(x)≥0f(x)

3（2）解：x0f(x)g

4①当n1时，由（1）知f(x) nk（kN*）x0f(x)g

5令k(x)f(x)gk(x)，k1(x)f xk(xfxgxf(x

(x) k 1由归纳假设