概率论与数理统计课件第2章-一维随机变量及其分布

第二章一维随机变量及其分布本章将继续上一章的工作,把概率论的讨论进一步数学化。主要体现在把样本点和实数对应，相应地产生随机变量的概念，从而所有的事件对应着数集。进一步的，我们可以把已有的数学工具应用到概率分布问题的研究，从而实现研究方法的函数化。看下面简单的例子。

例:抛掷一枚硬币的两个结果：｛正面，反面｝，也可以用数字表示：｛1，0｝,这时对应的关系可以反映为一个变量M.T.一、随机变量的概念1随机变量及其分布定义设E是一随机试验，是它的样本空间，若对中的每一个,都有唯一的实数与之对应，且为事件,则称为(随机试验E的)随机变量。随机变量一般用X,Y,Z,或小写希腊字母,,表示。即（映射）问：定义域和值域分别是什么？M.T.离散型连续型取值为有限个和至多可列个的随机变量.可以取区间内一切值的随机变量.例1(1)随机地掷一颗骰子，ω表示所有的样本点,X(ω):123456

(2)某人买彩票直至买中为止，ω表示买入次数，则ω

：买1次买2次......买n次......X(ω)：12......n......(3)记录下午两点到晚上12点电话呼入时间,则ω:呼入时间X(ω):[0,10]ω：M.T.

引入随机变量后，用随机变量的等式或不等式表达随机事件。(3)X(ω)表示记录下午两点到晚上12点电话呼入时间对应的随机变量，讨论例1(1)X(ω)表示随机地掷一颗骰子掷出的点数则表示事件，进一步地讨论它们的概率。(2)X(ω)某人买彩票直至买中为止的次数，讨论M.T.定义了一个x的实值函数，称为随机变量X的分布函数，记为F(x),即定义设X为随机变量,对每个实数x,随机事件的概率注:1.分布函数对应的集合可以表示随机变量其它等式或不等式表示的集合,即它完整地描述了随机变量的统计规律性（见下页）.二、随机变量的分布函数M.T.（]ab]]（]若把X看作数轴上的坐标，则表示X落在区间上的概率，则利用分布函数可以计算而那么怎么由分布函数表示呢？进一步的，可有M.T.请回答我们有那么注：本页问题略超大纲要求M.T.2.且分布函数的性质单调不减，即3.

右连续，即注：后两条性质做直观理解即可！M.T.即求的分布函数，并求

例1:设随机变量的有分布为-123M.T.-1012311xy图像：M.T.并有注意M.T.解：由分布函数的性质，我们有得解得试求常数A,B.例2设随机变量X

的分布函数为M.T.描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布或称分布律，即概率分布的性质

非负性

规范性2离散型随机变量定义若随机变量X的可能取值是有限多个或

无穷可列多个，则称X为离散型随机变量.一、离散型随机变量的分布律M.T.注

1.

F(x)

是分段阶梯函数，一般在

X

的可能取值xk

处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点；2.离散型随机变量的一般用分布律来考察其概率的分布，而不用分布函数(不方便)。二、离散型随机变量的分布函数M.T.例1

从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令X：取出的5个数字中的最大值．试求X的分布律．具体写出，即可得X

的分布律表：解：X

的可能取值为5，6，7，8，9，10．并且=——求分布率一定要说明k

的取值范围！M.T.(1)0–1

分布

三、常见的离散型随机变量的分布应用场合

凡是试验的目的只考虑两个可能的结果，常用0–1分布描述，如考试是否及格、产品是否格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等.－－简单且普便或写成X=k

10P

p1–p0<

p<

1分布律：M.T.(2)二项式分布

回顾：n

重Bernoulli

试验中，每次试验感兴趣的事件A在n

次试验中发生的k次的概率？称

X服从参数为n,p

的二项分布，记作0–1

分布是n=1

的二项式分布若P(A)=

p,则给出随机变量X，X为事件

A在

n

次试验中发生的次数M.T.

例2一大批产品的次品率为0.1，现从中取出15件．试求下列事件的概率：

B={取出的15件产品中恰有2件次品}

C={取出的15件产品中至少有2件次品}解：由于从一大批产品中取15件产品，故可近似看作是15重Bernoulli试验．故X表示“抽取的产品中次品的个数”，则M.T.

例3:一个完全不懂英语的人去参加英语考试.假设此考试有5个选择题，每题有n重选择，其中只有一个答案正确.试求：他居然能答对3题以上而及格的概率.

解:由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案对于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题也是相互独立的.这样，他答题的过程就是一个Bernoulli试验。

另问：全部答错的概率？0.237M.T.(3)Poisson分布或

回顾：

的幂级数展开式？或若变量X满足其中是常数，则称

X

服从参数为的Poisson分布，记作例4设随机变量X

服从参数为λ的Poisson分布，且已知求M.T.解：随机变量X

的分布律为得由已知那么M.T.如果随机变量X的分布律为试确定未知常数c.例5由分布率的性质有解：M.T.Poisson定理历史上，Poisson分布作为二项分布的近似引入。证明：则M.T.而M.T.所以M.T.Poisson定理的应用意义由Poisson定理，可知若M.T.

例6为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人，现有同类型设备300台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01.在通常情况下，一台设备的故障可有一人来处理.问至少需配备多少工人，才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01？

解：设需配备

N

人，记同一时刻发生故障的设备台数为

X，则X~B(300，0.01），需要确定最小的N

的取值，使得：M.T.满足上式的最小的N是8,因此至少需配备8个工人。于是有对应着泊松分布，查表可知，M.T.由泊松定理可知，泊松分布可以作为描绘大量试验中稀有事件的次数的概率，也指明了泊松分布在理论上的重要性和应用上的广泛性．比如在一定时间间隔内：电话总机接到的电话次数；大卖场的顾客数；某一地区发生的交通事故的次数；放射性物质发出的粒子数，等等。应用场合M.T.3

连续型随机变量及其概率密度引例

考虑某产品长度偏差的范围，设其偏差的绝对值最大是a,那么V∈［-a,a］M.T.定义设X

是一随机变量，F(x)是它的分布函数,若存在一个非负可积函数

f(x),使得则称X

是连续型随机变量，f(x)是它的概率密度函数，简称为密度函数或概率密度.一、连续型随机变量的概念M.T.xf(x)xF(x)分布函数

F(x)

与密度函数

f(x)的几何意义:建立坐标系,给出f(x)的图像。M.T.f(x)的性质：1、2、

我们利用此性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，或求其中的未知参数。3、在

f(x)

的连续点处，f(x)

描述了X在

x

点分布函数值的变化率。4、对任意的a<b,有M.T.几何解释:

对于连续型随机变量Xbxf(x)aM.T.xf(x)aM.T.注意:

对于连续型随机变量X

,密度函数的积分才对应着概率值，故有P(X=a)=0，这里

a

可以是随机变量

X

的一个可能的取值。并要注意不可能事件的概念与不同。5、分布函数

F(x)是连续的.M.T.例1

一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数．

解:M.T.例2

设随机变量具有概率密度函数试确定常数A，以及的分布函数.

解由知A=3，即而的分布函数为

M.T.(1)

均匀分布则称

X

服从区间(a,b)上的均匀分布,记作若X的密度函数为X

的分布函数为二、常见的连续性随机变量的分布M.T.均匀分布的密度函数和分布函数图像：abxF(x)01密度函数：分布函数：xab0f(x)M.T.例3设随机变量X服从(1,6)上的均匀分布，求一元两次方程t2+Xt+1=0有实根的概率.

解:故所求概率为:

而X的密度函数为

:因此所求概率

M.T.(2)指数分布若X

的密度函数为则称

X

服从

参数为的指数分布。记作X

的分布函数为>0为常数M.T.对于任意的0<a<b,

应用场合用指数分布描述的实例有：电话问题中的通话时间无线电元件的寿命动物的寿命指数分布常作为各种“寿命”分布的近似M.T.令：B={等待时间为10－20分钟}M.T.一般地，若X的密度函数为则称X服从参数为,2的正态分布为常数，记作(3)正态分布首先看标准正态分布M.T.M.T.f(x)的性质：图形关于直线x=

对称：f(+x)=f(-x)在x=

时,f(x)取得最大值在x=±

时,曲线

y=f(x)在对应的点处有拐点曲线

y=f(x)以x轴为渐近线曲线

y=f(x)的图形呈单峰状M.T.xf(x)0若1<2，则，前者取附近值的概率更大.x=1所对应的拐点

M.T.应用场合

若随机变量X受到众多相互独立的随机因素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加,则X服从正态分布.理论依据---中心极限定理.热噪声电流强度；学生们的考试成绩；可用正态变量描述的实例非常之多：各种测量的误差；人的生理特征；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；M.T.密度函数的验证验证:做变量代换,即验证标准正态分面的密度函数满足M.T.回忆：怎么计算？可查表得到.而M.T.对一般的正态分布

N(,2),其分布函数

作变量代换M.T.例5设X~N(1,4),求P(0X1.6)解附表3M.T.例6已知且P(2<X<4)=0.3,求P(X<0).解图示M.T.图解法0.2由图,可得0.3M.T.例7设测量的误差X～N(7.5,100)(单位：米),问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.9?解设

A

表示进行

n次独立测量至少有一次误差的绝对值不超过10米n>3所以至少要进行4次独立测量才能满足要求.M.T.0=1.645=2.575=-1.645=-2.575标准正态分布的上(>0)

分位数zM.T.(4)伽玛分布（了解）

设随机变量X，若X的密度函数为则称X服从参数为的伽玛(Gamma)分布,简称为分布，

注:伽玛函数具有性质：

M.T.即由随机变量X来考察Y=g(X)的概率特性。4随机变量函数的分布引例已知

X

的概率分布为Xp

-1012Y=2X–1，那么Y的分布律为Yp-3-113M.T.由已知函数Y=g(X)可求出随机变量Y的所有可能取值，则Y的概率分布为一、离散型随机变量函数的分布M.T.例1

已知

X

的概率分布为X

pk-1012求Y=X

2

的分布律.解Ypi1014Ypi014M.T.已知随机变量X的密度函数f(x)(或分布函数)求Y=g(X)

的密度函数或分布函数.基本方法的步骤：

二、连续性随机变量函数的分布先看例子M.T.解：(1)先求Y=X-4的分布函数

FY(y)：设随机变量X

具有概率密度：试求

Y=X-4

的概率密度.例2M.T.M.T.

整理得Y=X-4

的概率密度为：本例用到变限的定积分的求导公式：注意：若只求Y的密度函数并不需要把Y的分布函数具体求出。总结一般规律，回节首M.T.例3已知