高中数学极限

jz*jz*高中数学极限、数学归纳法一、选择题（本大题共6个小题，每题6分，共36分）1・（精选考题•江西高考）limnT8111(1+3+31・（精选考题•江西高考）limnT8111(1+3+32+…+3n)=(5A.33B・2C・2D・不存在解析：limnT81(1+3+32+…+3)=13=2.1—3答案：B2・设函数f2・设函数f(x)=(x+l)2(x—2).那么limx—1f（x）幕等于（A・A・B・C・D・—6f(x)解析：TE(xC・D・—6f(x)解析：TE(x+1)2+2(x+1)(x—2)=3x—3,x+1・・・nm.=—6・x—1x+1答案：D3•函数f(x)=v&+2x—3i—(x>1)x—1在x=1处连续，那么f—1⑶等、ax+1(x<1)于()A・0B・1CC．D・3x2＋2x－3解析：•・•函数f(x)在x=1处连续，.•・f(l)=lim1一=4.又当Xf1X_11111111不等式左边为用+用+…+^+2^+2^,-2＋2-－3x=1时，f(l)=a+l,..a=3.当x>l时，令1——=3,得x=0-12或1,不满足题设.当xV1时，令3x+1=3,得x=,满足题设・•••32答案：D111114•用数学归纳法证明n+y+n+2+—2n>34时，由n=k到n=k+1,不等式左边的变化是()1A•增加一项11B•增加srn和砖两项111C•增加2k+T2k+2两项，同时减少k+T一项D.以上结论均错111解析：n=k时，不等式左边为k+i+k+2+2k，n=k+1时，11故增加2kT1,2kT2两项'1减少歼1一项•通过计算笃,答案：C通过计算笃,TOC\o"1-5"\h\z5•数列｛a｝的前n项和S=n2a(n>2),而a=l,nnn1a,a，猜测a=34n()22Ab(n+1)2n(n+1)22C*2Z^1D*2n^T解析：由S=n2a知S=(n＋1)2a，nnn＋1n＋1S—S=(n+1)2a—n2an＋1nn＋1nn.•.a=(n+1)2a—n2a,「.a=a(n>2)•n+1n+1nn+1n+2n'/当n=2时，S=4a，又S=a+a,22212a121311••a2=3=3,a3=4a2=6,a4=5a3=1O1由看11由看1，a2=3,a=—,36,1a=.410*2猜测a=■*nn(n+1)答案：B6.设a,b满足6.设a,b满足limx—2x2—bx—2x+2bx—a=—1,那么limn—8an+1+abn—1等an—1+2bn于()1A・1b・2C.3D・C.3解析：依题意得a=2,x2－bx－2x＋2blimx—2xx2－bx－2x＋2blimx—2x－a=limx—2(x—b)(x—2)~~i—2=lim(x—b)=2—b=—1，x—2因此b=3.故limn—8an＋1＋abn—1an—1+2bn2n+1+2X3n—1=limn—82n—l+2X3n=lim24X(3)n-1+2i~2=3*(3)n—1+2X3答案：C二、填空题(本大题共3个小题，每题6分，共18分)x3—x7•设a=lim，那么1+a+a2+aa—=.x—1x4_1解析：解析：x3—x.*a=lim1=limx—1X4—1x—1

x(x—1)(x+1)(x—1)(x+1)(&+1)x1&+12,=limx—1/.1+a+a2+a3+…=2.“acos“acosx8•函数f(x)=\x2—1a=(xa=在点x=0处连续，那么(xVO)

解析：由题意得limf(x)=lim(x2—l)=—l,limf(x)=limacosxxfO—xfO—x—0+x—0+=a，由于f(x)在x=0处连续，因此a=—1.bn+bn+anbn—an9・logb>1(0VaV1),那么liman~8解析：logb>1,0VaV1得0VbVa,abn+anb(abn+anb(a)n+1/.limn—8bn—an=limn—8=—1.b答案：—1三、解答题（本大题共3个小题，共46分）（本小题总分值15分）数列｛a｝的前n项和S=（n2+n）・3n.nna(1)求lim扌;…nTOC\o"1-5"\h\zaaa(2)证明：.1+2n>3n.1222n2S—S—Snn—1Sn解：⑴因为limsn=limn—8n~8n=limn—8(1—n—S"n丄)=1—limn—8Sn—1nlimlimn—81S^=]im3S^=]im3n—8nn—11n+1=3,所以所以limn—8a2nS=3.n

a(2)证明：当n=1时，^=S=6>3;当n>1时，aaaSS－S当n>1时，茁尹…+n2=1+詈+…+七严1S1S+—・s>」n2nn2=(亟_22)°Si+(22_32)°S2+…+[(n^1)2_n2]Sn—in2+n■*3n>3n.n2aaa综上知，当n》1时，i^+hnn>3n.(本小题总分值15分)｛a/是由非负整数组成的数列，满足兔=0,a2=s,s—石成等比数列.nn2,a3=2,an+1an=(an-1+2)(an-2+2)，*=3,4s,s—石成等比数列.nn2试用数学归纳法证明：a=a+2,n=3,4,5,…；nn－2证明：①当n=3时，a=2=a+2,所以等式成立；31②假设当n=k>3时等式成立，即a=a+2.kk－2而由题设有aa=(a+2)(a+2).k+1kk－1k－2由a是非负整数，得a=a+2H0,k－2kk－2•.a—a+2,k+1k－1即当n=k+1时，等式也成立.综合①②得：对任意正整数n>3,都有a=a+2.nn－2(本小题总分值16分)在数列｛a｝中，a=1,当nA2时，a,n1n⑴求a,a,a并推出a的表达式，234n(2)用数学归纳法证明所得的结论．1解:Ta,S,S—石成等比数列，nnn21・・.S2=a(S—_)(n>2)®nnn22⑴由a=1,S=a+a=1+a代入①得a=—可，121222312由兔=1,a2=—3,S3=3+a3代入①得駕=-祐2同理可得a4=—35，由此可推出(n=1)a=2n[—(2n-3)(2n-1)(n>2)⑵证明：①当n=l、2、3、4时，由⑴知猜测成立,②假设n=k(kA2,k€N*)时，2ak=—(2k—3)(2k—1)成立.21故Sk=_(2k—3)(2k—1).必—詁，・(2k—3)(2k—1)S2+2S—1=0，kk11•••Sk=2k—TSk=—2k—3舍)•

1由Sk+1=ak+1•(Sk+1_2)#1(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk_2)，1(2k1(2k—1)2+^k+1+2k—12ak+1=ak+1+2k_1Fk+1?a1k+^_a_2•ak+1[2(k+1)—3]_2•ak+1[2(k+1)—3]・[2(k+1)—1]'即n=k+1时，命题也成立.(n=1)由①②知a=nI(2n_3)(2n_1)(n>2)对一切n€N*成立.备选题库1.lim兀1.lim兀t1xx_3J+x2_）等于（）A.B.2C.A.B.2C.D.4x+乂—3x+乂—3x(x+1)+x_3解析:Vx_1-x2_1X2_1&+2x_3(x_1)(x+3)x+3x2_1(x+1)(x_1)x+T?x+31+3^2xnTTTx+31+3^2xnTTT…】im!+x_T)=limXTlXTl答案：B

2.函数f(x)=(x—a2.函数f(x)=在点x=1和x=2处的极限值都是0,x—c而在点x=—2处不连续，那么不等式f(x)>0的解集为()A.(—2,1)B.(_8,—2)U(2,+8)C・(—2,l)U(2,+8)D.(—8,—2)U(12)(x—1)(x—2)解析：由得：f(x)=-—，那么f(x)>0的解集为(—2,1)U(2,+8).答案：CTOC\o"1-5"\h\z133•设常数a>0,(ax2+〒)4的展开式中x3的系数为歹，那么limx2n—8解析：••二+严：—5r2,(a+22+03+…+an解析：••二+严：—5r2,5r令8—"2=3,得r=2,•^•x3的系数1为C2a2=6a2=,那么a=,42212/.lim(a+a2+a3an)==1.n—8丄1—2答案：14・(精选考题•上海高考)将直线1:x+y—1=0,l:nx+y—n12=0,1:x+ny—n=0(n€N*,n>2)围成的三角形面积记为S,那么3nlimS=nn

解析：如下图，解析：如下图，n'nx+y_n=O,由]'nx+y_n=O,由]x+ny_n=OnJ=n+r，nn那么直线卜I3交于点A(n+i，n+)・1Sn=2X1Xnn+11Sn=2X1Xnn+11+2X1Xnn+11n2X1X1=n+112,TOC\o"1-5"\h\zn11111limSn=lim(H+1_2)=lim1_2=1_2=2.nT8nT8ns]n1答案：23x5•对于数列｛xj,满足齐=3，乂屮=1+豈；函数fx)在(_22)n1上有意义，f(_2)=2,且满足x,y,z€(_22)时，有f(x)+f(y)+f(z)x＋y＋z=f(T+yz)成立.4(1)求f(3)的值;⑵求证：｛f(x)｝是等比数列;n3n_2(3)设｛f(x)｝的前n项和为S,求lim.nnn—8Sn解：(1)由x=y=z=O3f(0)=f(0),「・f(0)=0,

令z=0,得f（x）+f（y）=f（x+y）,再令y=—x,得f（x）+f（—x）=f（o）=o,那么f（－x）=－f（x）．41111所以f（3）=f（2）+f（2）+f（2）=3f（2）1=—6・4⑵证明：由x=结合可得1