第二节类比观点

第二节类比观点2一、什么是类比

类比，是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，从而推出它们在其它方面也可能相似或相同的一种推理方法，也是一种观点。类比的推理是一种“合情推理”，不是证明，它无法保证已知相同的属性与推出的属性之间有必然的联系。但是，它是获得新思路，新发现的一种观点、一种手段。3生活中的类比小品台词：“脑袋大脖子粗，不是大款就是伙夫”鲁班发明木工用的锯子的传说草叶边缘的齿------锯齿4考试中的类比题以前GRE考试的类比题GREENHOUSE:PLANT(A)refrigerator:milk(B)well:water(C)orchard:fruit(D)incubator:infant(E)tank:fuel公务员考试的类比题金刚石∶石墨A.氧气∶氮气B.生石灰∶熟石灰C.红磷∶白磷D.二氧化碳∶干冰南京∶金陵A.昆明∶春城B.广州∶穗C.太原∶晋D.北京∶蓟5物理与数学中的类比物理学家卢瑟福提出原子结构的行星模型平面几何定理与立体几何定理的类比欧拉利用类比来求6行星模型

7二、插值问题中的类比

1．问题：有函数不知其式，在处取值，在处取值，在处取值，问函数（解析式）为何？

2．类比：有物不知其数，三三数之剩，五五数之剩，七七数之剩，问物几何？8

这是我们在前面“韩信点兵与中国剩余定理”一节中已经解决的问题。当时我们有一种成功的方法,叫“单因子构件凑成法”。这种方法是：对每个要素分别做出一个构件，叫单因子构件，再把它们凑在一起，从而解决问题。9

具体说是：先找到用3除余1、用5和7除均能除尽的数——70；再找到用5除余1、用3和7除均能除尽的数——21；找到用7除余1、用3和5除均能除尽的数——15；然后算出[3，5，7]=105。最后令，即为所求。10

3．原问题的解法

通过类比，发现插值问题（有函数不知其式的问题）与“有物不知其数的问题”结构相同，因此可以考虑用“单因子构件凑成法”：先作函数，在处值为1，在处值均为0；再作函数，在处值为1，在处值均为0；再作函数，在处值为1，在处值均为0。11

即，；，；，，那么

就是所求的函数。12原问题：有物不知其数，三三数之剩，五五数之剩，七七数之剩，问物几何？现问题：有函数不知其式，在处取值，在处取值，在处取值，问函数（解析式）为何？原问题的解现问题的解13

下边求。最简单的是用多项式的方法。比如设是一个多项式，则据条件知，它有两个一次因式，可令，再用条件去求。，∴。故。14

同理，可求出，。于是得:

15

经验证，它符合要求，称为插值公式。即该函数在三点，插进去的都是预先指定的值。它简单，明快，可顺利地推广到任意有限多个点插值的情况。这样，就可以用一个连续的函数去拟合离散的测量结果。16

华罗庚由此联想到如何解决具有类似结构的各种问题。正是他把上述解决问题的基本思想称为“单因子构件凑成法”，并概括成如下的“合成原则”：要做出具有平行的、类似的几个性质A，B，C的一个数学结构，而A，B，C分别以某种量刻划，这时，可用“单因子构件凑成法”：先作B，C不发生作用，而A取单位量的构件，再作C，A不发生作用，B取单位量的构件；再作A、B不发生作用，C取单位量的构件。然后用这些构件凑出所求的结构。这个原则在有的书里称为“孙子—华原则”。体现了“化繁为简”的思想。17趣题——找次品：

1）有7个外形相同的乒乓球，其中5个是标准球，另外2个是次品乒乓球，它们重量相同且比标准球轻。请你给出一种方案，用一架不带砝码的天平，最多三次使用该天平，找出上述两个次品乒乓球。

18三、分割问题中的类比

1．问题：

5个平面最多把空间分为几个部分？平面互相尽可能多地相交，才能分割最多。如果5个平面全都平行，那末空间分成的是6部分，就较少。但5个平面如何相交最多以致分割最多，一时也想不清楚，我们想起从“抓三堆”趣味问题中学到的数学思想，先把问题一般化，再把问题特殊化，逐渐找规律。192．问题一般化：

n个平面最多把空间分为几个部分？

记分为个部分;再令把问题特殊化。20

3．问题特殊化：从简单的情况做起，以便“类比”

4个平面的情况不易想清楚了。但想到要使平面相交最多，才能把空间分割最多。平面相交最多，有两个含义，一是每个平面都与其它所有平面相交，且任意三个平面都只交于一点；二是每个平面都不过它以外任意三个平面的交点。21

由此我们想到了空间的四面体，这似乎是四个平面相交最多（从而分割最多）的情况，把四面体的四个面延展成四个平面，是否就能把空间分为最多的部分呢？到底现在把空间分成了几个部分呢？暂难想象。由此我们想到去类比“直线分割平面”的情形。224．类比3条直线分割平面的情形这也可以看成是把三角形的三条边均延长为直线，看这3条直线把平面分为几部分。数一数，是7部分。这对我们有什么启示？23

②①③④⑤⑥⑦24

我们分析一下这7个部分的特点：

一个是有限的部分，在三角形内部，即①；其余六个是无限的部分，其中②，③，④与三角形有公共顶点，⑤，⑥，⑦与三角形有公共边。把它们加起来，于是1+3+3=7。所以3条直线分割平面，最多分为7个部分。25

5．类比考虑四面体的四个面延展成4个平面，把空间分为几个部分：有限部分（四面体内部）数为1；无限部分与原四面体或有一个公共顶点（有4个部分），或有一条公共棱（有6个部分），或有一个公共面（有4个部分），于是所分空间总的部分数为1+4+6+4=15。以下仍要考虑这就是一开始提出的问题：5个平面最多把空间分为几个部分？26

这一问题在平面上的类似问题是什么？是5条还是4条直线分割平面？又如何类比？想不清楚了。对我们来说，不如在“一般情形”下考虑问题：个平面分割空间和条直线分割平面。条直线“处于一般位置”的要求也可以说是：任何两条直线都相交；任何三条直线都不共点。个平面“处于一般位置”的要求是：任两平面都相交，且任意三个平面都只交于一点；每个平面都不过它以外任意三个平面的交点。27

进而，我们再类比直线上的问题：个一般位置的点分割直线的问题。这一问题的结论比较清楚：个点最多把直线分为个部分。这对我们会有启发。如果我们把极端情况——有零个分割元素的情况——也考虑在内，那么被“分割”成的部分数是1。下图综合列出点分直线、直线分平面、平面分空间的已取得的结果。28

6．类比一般化

（解释记号，然后看图）

分割元素个数

被分成的部分数

点分直线直线分平面

平面分空间

011

1

12

2

2

23

4

4

347

845

155

6

29

于是，我们得到了一系列待解决的问题。孤立的问题有时难于理解，而解决系列问题有时比解决弧立问题好入手。现在，原问题“”已处在系列问题之中，比之原来的情形，求解已有进展。30

7．（用类比的观点）猜想观察上表中已得到的结果，看看表中的数字间有什么联系？其中有什么规律性？从最右一列，先以为有“2的方幂”的规律，但8后边的表明这个猜想不对。反复求索的结果，我们可能忽然看到表中有

34；78715，以及联想到3+4=7，7+8=15。这是一个独特的联系：表中已出现的每个数都可由它“头上”的数与“左肩”上的数相加而得到。31

表中已出现的每个数都可由它“头上”的数与“左肩”上的数相加而得到。

分割元素个数

被分成的部分数

点分直线直线分平面

平面分空间

011

1

12

2

2

23

4

4

347

845

155

6

32

这是我们解决原问题的钥匙吗？我们猜想它确是规律。那我们把表按此规律，顺沿到，原问题的解就是？

33

分割元素个数

被分成的部分数

点分直线直线分平面

平面分空间

011

1

12

2

2

23

4

4

347

845

（11）

155

6

（16）

（26）

34类比不是证明

但这种类比不是证明，只是合理的猜测，是合情推理；还需要用逻辑推理分析这一猜测，去认定这一猜测，或者否定这一猜测。这才是用类比、归纳的方法去研究问题的决定性步骤。35

8．分析、推理我们的分析从“时直线分平面”入手，我们已经通过“顺沿上表”猜想：4条直线最多把平面划分为11个部分。它是正确的吗？我们在3条直线分平面为7个部分的基础上，再添加一条直线（用红色），这条直线与原来的每条直线都相交，但又不过任意两条直线的交点。如右图。我们数一下，现在确实把平面分成了11个部分。所以这猜测是对的，但它为什么是对的呢？我们再作分析，增加一些理性认识，也许还能从中找到理解一般情形的线索。3637

3条直线分平面为7个部分；4条直线就分平面为11个部分了，即增加了4部分；从3条直线添一条直线，为什么分割平面正好多出4部分？分析一下：新添的直线与原来3条直线每条都相交，而且交在与原交点不同的点，这就交出了3个新交点，这3点把新添的直线分为4段，每一段把它穿过的（由前3条直线分成的）那个区域一分为二，因此“平面分割”增加了4个部分，这就是“4”的来历，而且这个分析表明，这个“4”也正是3点把直线分为4部分的“4”，也就是“11”左肩上的“4”。11=4+7原来是这样产生的。这种分析已经是逻辑推理了，令人信服，极大地增强了我们对所发现的规律的信心。38

分割元素个数

被分成的部分数

点分直线直线分平面

平面分空间

011

1

12

2

2

23

4

4

347

845

（11）

155

6

（16）

（26）

39

9．再类比得一般情形的公式

及

我们再类比分析时平面分空间的情况。这时我们不容易在平面的黑板上作立体图了，只能借助于刚才四面体延展的那个图来想像。但是我们可以从思维上、语言上类比刚才的情形。40

我们在3个平面分空间为8个部分的基础上，再添加一个平面，这个平面与原来的3个平面都相交，并且又不过原来3平面的交点，从而不过原来任两平面的交线，这就交出了3条新直线，这3条直线把新添加的平面分为7个部分（就是上面“类比一般化”的大表格中的“7”），每一部分把它穿过的（由前3个平面分成的）区域一分为二，因此“空间分割”增加了7个部分，而原有8个部分，这就是15=7+8的来历。41

分割元素个数

被分成的部分数

点分直线直线分平面

平面分空间

011

1

12

2

2

23

4

4

347

845

（11）

155

6

（16）

（26）

42

这里的到的过渡，并没有任何特殊的地方，我们可以完全类似地分析由向过渡时发生的情况，得到一般的表达式。与段落“8”类似地可以得到公式：

与段落“9”类似地可以得到公式：

这两个公式都是递推公式。这种递推公式与斐波那契数列的递推公式有区别，但思想精神是相通的。43

我们只再叙述一遍较为复杂的公式

得到的过程。它实际上只要在上面的叙述中，把“3个平面”换为“个平面”，把“8个部分”换为“个部分”，把“3条新直线”换为“条新直线”，把“7个部分”换为“个部分”，把“15”换为“”就完成了。简单说，是在“往前数三屏”的叙述中，做下边的代换：，，，。44

个平面把空间最多分为个部分，求，不厌其繁地详细说一遍，就是：我们在个平面分空间为个部分的基础上，再添加一个平面，这个平面与原来的个平面都相交，并且又不过原来任3个平面的交点，从而不过原来任两平面的交线，这就交出了条新直线，这条直线把新添的平面分为个部分，每一部分把它穿过的（由前个平面分成的）区域一分为