第9章随机信号通过线性系统

第9章随机信号通过线性系统9.0引言

由于系统输入是随机信号，所以输出也是随机信号，一般不能用显式表示。随机信号一般用统计特性描述，因此，随机信号通过线性系统的分析问题通常是分析输入与输出的一、二阶统计特征(或数字特征)之间的关系。对于连续时间系统，分析任务是给定输入x(t)的一、二阶统计特性（均值、均方值、方差、相关函数和功率密度谱函数）和系统的特性(冲激响应h(t)、传递函数H(s)和频率特性H(jω)),求输出的一、二阶统计特征和输入与输出之间的统计特征（互相关函数和互谱密度）。

对于离散时间系统，情况也类似，只是h(t)、H(s)、H(jω)分别用

h(k)、H(z)、H(ejω)代替。由于输入随机信号又可区分为平稳随机信号和非平稳随机信号，因此，相应有两种情况的分析。本章只讨论平稳随机信号分析，此时输入是平稳的，系统特性是确定的和稳定的，经过一段过渡时期后，输出最终也是平稳的。分析任务是求输出进入平稳状态后的均值my，方差Dy，自相关函数Ryy(τ),功率密度谱Sy（jω），以及输入和输出间的互相关函数Rxy(τ)，互谱密度Sxy（jω）等。9.1随机信号的概念9.1.1随机过程和随机信号的概念

在概率论中介绍过随机变量的概念，设X是一个随机变量，则X的取值是随机的，通常用概率密度函数f(x)描述。如果使上述随机变量X随时间t改变，即表示为X(t)，这时称X(t)是一个随机过程。这就是随机过程概念的简单描述。随机信号也是随机过程。设X(t)是一个随机信号，当t=t0时，X(t0)为一个随机变量。

设有一个随机信号产生器，若有甲、乙两个同学分别去做实验并观察实验结果，甲观察到的实验输出波形为x1(t)，乙观察得到的实验输出波形为x2(t)，x1(t)≠x2(t)，如图9.1所示。同理，设有N个同学分别去做实验，得到实验结果就分别为x1(t)，x2(t)，…,xN(t)。也就是说，随机信号产生器产生的随机信号X(t)，在同一时刻t(例如t=t0)可能输出不同的值，若实验观察，事先是不知道X的取值，即时间t给定时X(t)是一个随机变量。图9.1-1随机信号X(t)

显然，随机信号X(t)有如下两个特点：（1）在定义的观察区间内，X(t)是以时间t为参变量的随机函数；（2）给定t，它是一个随机变量，即X(t)在t时刻的取值是随机变化的。现实生活中随机信号的例子很多，如噪声电压信号，某区域海浪高度的变化，某一区域风向的变化，某一河流的流量变化，交易市场指数的变化，等等，它们都是随机信号。9.1.2随机信号的分布函数和概率密度

定义9.1-1随机信号X(t)的分布函数定义为随机变量X在t时刻的取值小于x的概率，即定义9.1-2随机信号X(t)的概率密度函数定义为

为了描述随机信号在不同时刻t1,t2,…,tn的内在联系，同理,可以分别定义如下所示的n维联合分布函数和n维联合概率密度函数：9.2连续随机信号的统计特征9.2.1均值均值或称数学期望，是随机信号X(t)在同一时刻所有样本取值的统计平均值。它可以定义如下。定义9.2-1当随机信号X(t)为（严格）平稳随机过程时，满足如下条件：定义9.2-2随机信号X(t)的均方值或二阶原点矩定义为

这种随机信号X(t)称为平稳随机信号。而不满足上式条件的随机信号就称为非平稳随机信号。显然，对平稳随机信号X(t)有:f(x,t)=f(x)，mx(t)=mx。即平稳随机信号的均值是一个常数。

同理，平稳随机信号X(t)的均方值E［X2(t)］也是一个与时间t无关的常数。9.2.2方差定义9.2-3随机信号X(t)的方差定义为对平稳随机信号X(t)而言，方差是一个与时间t无关的常数：

方差又称为二阶中心矩。方差的数值越大，表示X(t)的各样本偏离均值的程度越大，各样本取值的分散程度也越大。方差的算术平方根σx称为标准差。下面给出方差与均值和均方值三者之间的关系。对于平稳随机信号X(t)而言，有

即方差等于随机信号平方的均值E［X2(t)］减去随机信号的均值mx的平方。如果用X(t)表示1欧姆电阻上的噪声电流或电压，则均方值表示消耗在单位电阻上的瞬时功率（由交流和直流两部分组成）的统计平均值，均值平方表示消耗在单位电阻上的等效直流功率；方差就表示消耗在单位电阻上的瞬时交流功率的统计平均值。9.2.3自相关函数和自协方差函数1．自相关函数自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2

取值之间的相关程度。定义9.2-4实随机信号X(t)的自相关函数定义为

由于平稳随机信号的统计特性与时间的起点无关，设t2=t1+τ,则有f2(x1,x2;t1,t2)=f2(x1,x2;τ)。所以，平稳随机信号的自相关函数是时间间隔τ的函数，记为Rxx(τ)。2．自协方差函数自协方差函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2取值之间的二阶混合中心矩，它用来描述X(t)在两个时刻取值的起伏变化（相对于均值）的相关程度，也称为中心化的自相关函数。定义9.2-5实随机信号X(t)的自协方差函数定义为

当mx(t1)=mx(t2)=0时，有Cxx(t1,t2)=Rxx(t1,t2)。显然，自协方差函数和自相关函数描述的特性基本相同。对于平稳随机信号，自协方差函数是时间间隔τ的函数，记为Cxx(τ),且有

当均值mx=0时，有Cxx(τ)=Rxx(τ)。

当随机过程X(t)的均值为常数时，相关函数只与时间间隔τ=t2-t1有关，且均方值为有限值时，则称X(t)为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。它是由一、二维数字特征定义的。一般所说的平稳过程都是指这种宽平稳随机过程。3．平稳随机信号自相关函数的性质

设X(t)为平稳随机过程，其自相关函数为Rxx(τ)，自协方差函数Cxx(τ)，则它们有如下性质：（1）τ=0时的自相关函数等于均方差，自协方差函数等于方差，即（2）当平稳随机信号是实函数时，其相关函数是偶函数，即：（3）τ=0时的自相关函数、自协方差函数取最大值，即（4）若X(t)=X(t+T)，则其自相关函数也是周期为T的周期函数，即（5）若均值mx=0，当τ→∞时，X(t)与X(t+τ)相互独立，有即对于零均值的平稳随机信号，当时间间隔τ很大时，X(t)与X(t+τ)相互独立，互不相关。9.2.4互相关函数和互协方差函数定义9.2-6随机信号X(t)、Y(t)的互相关函数定义为定义9.2-7随机信号X(t)、Y(t)的互协方差函数定义为

如果Cxy(t1,t2)=0，则称随机信号X(t)与Y(t)之间互不相关。对于两个平稳随机信号而言，其互相关函数和互协方差函数只与时间间隔τ=t2-t1有关，分别表示如下:

平稳随机信号X(t)、Y(t)的互相关函数为平稳随机信号X(t)、Y(t)的互协方差函数为9.2.5功率密度谱Sx(jω)和互谱密度Sxy(jω)1.功率密度谱Sx(jω)

设X(t)为平稳的连续随机信号，它的任一个样本函数x(t)是一个功率信号，其平均功率可以定义为

依据帕塞瓦尔定理，设XT(jω)表示xT(t)=x(t)·G2T(t)的傅里叶变换，则上式可表示为式中，p(jω)称为样本功率密度或样本功率谱。

由于随机信号的每一个样本实现都是不能预知的，所以，必须用所有样本功率密度的统计平均值来描述平稳的连续随机信号X(t)的频域特征，即随机信号在频域的数字特征可定义如下。定义9.2-8平稳的连续随机信号X(t)的功率密度谱定义为样本功率密度的统计平均，即

维纳-欣钦(Wiener-Khinchine)定理:

若X(t)为平稳随机信号，当自相关函数绝对可积时，自相关函数Rxx(τ)和功率密度谱Sx(jω)为一傅里叶变换对:Rxx(τ)←→Sx(jω)。其中：2.互谱密度Sxy(jω)

同理，在频域描述两个随机信号X(t)和Y(t)相互关联程度的数字特征时，可以定义互谱功率密度,简称互谱密度Sxy(jω)。而且，互相关函数与互谱密度是一傅里叶变换对:Rxy(τ)←→Sxy(jω)。其中：

例9.2-1已知随机信号X(t)=Asin(ω0t+θ)，其中A和ω0为常数，为随机变量，在区间［0,2π］上服从均匀分布，求随机信号X(t)的功率密度谱和平均功率。解按定义分别求出随机信号X(t)的均值和相关函数：

由于均值为常数，自相关函数只与时间间隔τ有关，所以X(t)为宽平稳随机信号。利用维纳-欣钦定理可求得X(t)的功率密度谱为

X(t)的平均功率为9.3离散随机信号的统计特征

当对连续随机信号X(t)进行时间采样后，即只在离散时刻取值，就形成离散随机信号。离散随机信号表示为：X(t1),X(t2),…,X(tk)，…；它是由一串离散随机变量构成的序列，所以常称为随机序列，可简单地用X(k)或{X(1),X(2),…,X(k)，…}表示。随机序列X(k)的统计特性描述（分布函数和概率密度函数）类似于X(t)，只不过时间变量k取值限定为整数。9.3.1均值、均方值和方差随机序列X(k)的均值为随机序列X(k)的均方值为随机序列X(k)的方差为

三者的相互关系为9.3.2相关函数和协方差函数1.自相关函数自相关函数是描述随机信号X(k)在任意两个不同时刻k1、k2的取值X(k1)和X(k2)之间的相关程度。

定义9.3-1若离散随机信号X(k)的均值为一常数，自相关函数只与取样时间差n=k2-k1有关，即可表示为Rxx(n)，且它的均方值为有限值，即满足则称随机序列X(k)为（广义）平稳离散时间随机信号。2.自协方差函数同理，自协方差函数描述随机信号X(k)在任意两个不同时刻k1，k2的取值起伏变化之间的相关程度。

对于平稳离散时间随机信号，自协方差函数只与取样时间间隔n=k2-k1有关，即可表示为3.互相关函数类似于连续随机信号的情况，两个随机序列X(k)、Y(k)之间的相关程度由互相关函数和互协方差函数描述。两个随机序列的互相关函数为

对于平稳离散随机信号，互相关函数只与取样时间间隔n=k2-k1有关，即可表示为Rxy(n)。4.互协方差函数同理，两个随机序列X(k),Y(k)之间的互协方差函数为

对于两个平稳离散随机信号，互协方差函数只与取样时间间隔n=k2-k1有关，即可表示为9.3.3功率密度谱和互谱密度1.功率密度谱根据维纳-欣钦定理，零均值平稳离散时间随机信号的自相关函数与其功率密度谱是一离散傅里叶变换对。设X(k)是一个零均值的平稳离散时间随机信号，其自相关函数为

当Rxx(n)满足绝对可和时，即，则定义功率密度谱Sx(jω)为序列Rxx(n)的离散时间傅里叶变换（DFT），即式中，T为采样间隔。这时序列的功率密度谱Sx(jΩ)在频域是以ωs=2π/T或Ωs=2π为周期的周期性连续函数。其离散傅里叶反变换（IDFT）为若令n=0，则有Z的反变换为2.互谱密度Sxy(jΩ)

同理，两个零均值平稳离散时间随机信号的互相关函数与其互谱密度也是一对离散傅里叶变换对:Rxy(n)←→Sxy(jΩ),其中：9.4线性连续系统分析9.4.1时域分析

设h(t)为一线性时不变连续系统的冲击响应，系统的输入为平稳随机信号X(t)，则系统输出零状态响应Y(t)为1.Y(t)的均值当输入X(t)为平稳随机信号时，其均值为常数，即mx(t)=mx；故输出随机信号的均值为2.Y(t)的自相关函数和方差输出随机信号Y(t)的方差为

若X(t)为平稳随机信号，则Rxx(t-u,t+τ-v)=Rxx(τ+u-v)，故上式可写为显然，输出Y(t)的自相关函数与时间起点无关，因此，当线性时不变系统输入宽平稳随机信号时，其输出也是宽平稳随机信号。3.输入与输出的互相关函数

当X(t)为平稳随机信号时，则Rxx(t,t+τ)=Rxx(τ)，故上式可写为同理可求得

例9.4-1已知线性时不变系统的冲击响应为h(t)=e-atε(t),a＞0；系统输入为零均值平稳随机信号，其自相关函数为Rxx(τ)=bδ(τ),b＞0。试求：（1）输出随机信号Y(t)的自相关函数；（2）输出平均功率；（3）输入与输出的互相关函数。解（1）由(9.4-5)式，得（2）平均功率（3）9.4.2频域分析1.系统在频域的传输函数H(jω)因为,输出的均值为2.系统输出的自功率密度谱Sx(jω)

对平稳随机信号有对上式两边取傅里叶变换，得即系统输出的自功率密度谱等于输入的自功率密度谱乘以系统传输函数模的平方。3.系统输入、输出的互功率密度谱Sxy(jω)对上式两边取傅里叶变换，得利用上式还可以求解系统的传输函数H(jω)：9.5线性离散系统分析9.5.1时域分析

设h(k)是线性时不变离散系统的单位脉冲响应，X(k)是输入随机序列，则输出随机序列为h(k)与X(k)的卷积和，即输出Y(k)的均值按均值的定义，有

当X(k)为平稳随机序列时，均值为常数，即mx=mx(k)=mx(k-i)，因此2.输出Y(k)的自相关函数按自相关函数的定义，有当X(k)为平稳随机序列时，有

即输出Y(k)也为平稳随机序列。当n=0时,由(9.3-4)式，可得输出随机序列的平均功率为3.输入与输出之间的互相关函数依互相关函数的定义，有当X(k)为平稳随机序列时，输出也为平稳随机序列，有同理可求得Ryx(n)为9.5.2Z域分析和频域分析

由于离散系统的Z域分析比较简便，所以，随机序列通过离散系统的变换域分析，可先进行Z变换域分析。如果Z域分析结果的收敛域在Z平面的单位圆之内，只要将z=ejωT=ejΩ代入Z域分析结果，就得到频域的分析结果。设线性时不变离散系统的Z域传输函数为

当输入为平稳随机序列X(k)，其均值为mx时，则输出随机序列Y(k)的均值为

根据维纳-欣钦定理，平稳离散随机序列的相关函数与Z域的功率密