高等结构动力学课件 两自由度系统的振动

PAGE两自由度系统的振动前两章介绍了单自由度系统的振动，它是振动理论的基础，并有重要的应用价值。但工程中许多实际问题是不能简化为单自由度系统的振动问题，它们往往需要简化成为多自由度系统。两自由度系统是最简单的多自由度系统，无论是模型的简化、振动微分方程的建立和求解的一般方法，以及系统响应表现出来的振动特性等等。两自由度系统和多自由度系统没有本质上的差别，而主要是量上的差别，因此研究两自由度系统是分析多自由度系统振动特性的基础。所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。4-1无阻尼自由振动1.系统的振动微分方程作为两自由度振系的第一个例子，现在来分析图4-1（a）所示的双弹簧系统，设弹簧的刚度分别为k1、、k2，质量为m1、m2。质量的位移分别用x1、x2表示，并以静平衡位置为坐标原点，以向下为正。现建立系统在静平衡位置的力学条件及振动过程中的运动微分方程。在静平衡位置，设两弹簧的伸长分别为δ1、、δ2，则由系统的受力图4-1（b），得系统的静平衡条件为（a）在振动过程中，设任一瞬时t，m1和m2的位置分别为x1和x2，此时质量上的受力图如图4-1（c）所示。应用牛顿运动定律，得整理后得（b）将方程（b）的右端和方程(a)比较，就可以消去平衡项，于是得(4-1)令则（4-1）式可改写成(4-2)这是联立的二阶常系数线性微分方程组。在第一个方程中包括－bx2项，第二个方程中则包含－cx1项，这类项称为“耦合项”。它表明质量m1除受到弹簧k1的恢复力外，还受到弹簧k2的恢复力的作用。而且弹簧k2的变形是质量m1和m2之间的相对位移。质量m2虽然只受到弹簧k2的恢复力作用，但这一恢复力也受到质量m1位移的影响。象这种位移之间有耦合的情况称为弹簧耦合。有时，在振动微分方程组中还会出现加速度之间的耦合情况，称加速度之间的耦合为惯性耦合。关于耦合的问题后面还要讨论到。固有频率与主振型现求解方程（4-2），从单自由度系统振动理论知，系统的无阻尼自由振动是简谐振动，据此假设方程组（4-2）的解为x1＝A1sin（pt+），x2＝A2sin（pt＋）（4-3）这代表两个简谐振动，其中A1、A2分别为质量m1和质量m2的振幅，p为频率，为初相角。它们均为待求量。将（4-3）式代入（4-2），得消去公因子sin（）后，得（4-4）式（4-4）是A1、、A2的齐次线性代数方程组。当A1=A2=0时，条件（4-4）显然成立，但这只代表振系处于静平衡位置的情况，不代表任何振动情况。要使A1与A2有非零解，则方程（4-4）的系数行列式必须等于零，即即p4－（a＋c）p2＋c（a－b）=0(4-5)这是p2的二次式，称为振系的频率方程，p2的两个根为（4-6）因为（4-6）中的根式永为正值，且a－b亦为正值，故（4-6）式中的根式永远小于，所以及是两正实根。因此，可从中得到两个符号相异的频率p1及p2，因为负频率无实际意义，故只考虑两个正根。由此得两自由度振系有两个频率p1及p2，。又因为这两个频率唯一地决定于振系的参数a、b、c，亦即只取决于系统本身的物理性质（质量与刚度），故称p1及p2为振系的第一、第二固有频率（或称主频率），且p1＜p2。将所求得的及代回（4-4）式得对应于p1的质量m1、m2的振幅，β1为其振幅比；（4-7）式中：、对应于p1的质量m1、m2的振幅，β1为其振幅比；、对应于p2的质量m1、m2的振幅，β2为其振幅比。由此可见，由（4-7）式不能完全确定振幅A1与A2，但可以确定振幅比β1与β2。且当系统按任一固有频率振动时，振幅比只决定于系统本身的物理特性，而与运动的初始条件无关。对照（4-7）式与（4-3）式，可见，两个质量m1及m2在任一瞬间的位移比x2/x1是确定的，并且等于振幅比A2/A1，也就是说振幅比决定了整个系统的振动形态。因此，将振幅比称为系统的主振型，或称为系统的固有振型。其中β1为第一主振型，β2为第二主振型。当系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动时，即称为系统的主振动。所以第一主振动为（4-8-1）第二主振动为（4-8-2）为了进一步研究主振动的性质，由（4-7）可得因此，振幅比β1>0，β2<0，即，当振系以频率p1振动时，质量m1与m2的运动总是同向的，二者同时往左或同时往右，如图4-2（a）所示，此为第一主振动，而当振系以p2振动时，则m1与m2的运动总是反向的，在m1往左时，m2往右，而当m1往右时，m2往左，如图4-2（b）所示，此为第二主振动。可以发现，在图4-2（b）中，在联系m1与m2之间的弹簧上出现这样一个点，它在整个第二主振动过程中始终保持不动，这样的点称为节点。3.通解与初始条件前面分析了两自由振动系统的主振动，而这些主振动又都是简谐振动，系统作主振动时各点同时经过平衡位置和最大偏离位置，它们的位移之比永远是一个定值，但是必须指出，并非任何情况下系统都可能作主振动。微分方程组（4-1）的通解是（4-8-1）和（4-8-2）式两种主振动的迭加，即（4－9）(4-9)式表示了不同频率的两个简谐振动的迭加，一般情况下，不仅不再是简谐振动，而且除了p1与p2可以通约的情况外，也不是周期振动。（4-9）式的频率p1、p2及振幅比β1、β2都决定于振系的参数，由（4-6）、（4-7）式确定。振幅、及相角、四个未知数则由振动的四个初始条件来决定。设初始条件t＝0时，x1＝x10，x2＝x20，，，代入（4-9）式，得这是一组未知量为、、和的四元一次代数方程组，解之可得,(4-10)将（4-10）式代入（4-9）式就得到系统在上述初始条件下的响应。在特殊的初始条件下，若，系统便作第一主振动;若，系统便作第二主振动。由（4-10）式不难看出，如果初始位移和初始速度的比值都等于振幅比（或），就可得到（或）。还可以找到其他能使（或）的初始条件。[例4-1]试求如图4-3所示振系的固有频率与主振型。已知m1＝m，m2＝2m，k1＝k2＝k，k3＝2k。又若知初始条件为x10＝1.2，，求系统的响应。若初始条件变为x10＝x20＝1，，则系统的响应有何变化。解：该系统的运动微分方程式为令a＝（k1＋k2）/m1，b＝k2/m1，c＝k2/m2,d=(k2+k3)/m2，则(c)设x1＝A1sin（pt＋）x2＝A2sin（pt＋）代入方程（c），得(d)频率方程为（a－p2）（d－p2）－bc＝0即p4－（a＋d）p2＋ad－bc＝0可解出故，将值代入（d）式，得以横坐标表示系统各点的静平衡位置，纵坐标表示各点振幅比，可作出如图4-4所示的系统主振型图。图中（a）为第一主振型，（b）为第二主振型。可以看出，在第二主振型中，弹簧k2上有一个节点。根据给定的初始条件，代入（4-10）式，得故系统的响应为若给定初始条件变为，则，，则系统的响应为，，系统作第一阶主振动。[例4-2]如图4-5所示的系统，圆轴上在C、D处固定有两圆盘，而其轴两端可自由转动，轴的质量不计，轴的每一部分具有相同的扭转刚度kt，圆盘1的转动惯量为I1，圆盘2的转动惯量为I2＝2I1，略去阻尼。如果整个系统以等角速度旋转，试确定当转轴突然在A与B处卡死时，圆盘1和2所产生的扭转振动。解：两圆盘在某瞬时其转角以θ1和θ2表示，以逆时针向为正，相应的角加速度为和，圆盘1和圆盘的自由振动微分方程为即因为I2＝2I1,所以上式可写为（e）令θ1＝A1sin(pt+)θ2＝A2sin(pt+)代入微分方程组（e），得（2kt－I1p2）A1－ktA2＝0－ktA1＋（2kt－2Itp2）A2＝0频率方程为（2kt－I1p2）（2kt－2I1p2）－＝0或解得圆频率为振幅比第一阶主振型和第二阶主振型分别表示如图4-6（a）、（b）所示。由图可见，一阶主振型的两圆盘振幅为同相，二阶主振型的两圆盘振幅为反相，轴上有一节点。根据题意，轴两端A、B点突然卡死，取此瞬时t＝0，初始位移θ01＝θ02＝0，而初始速度(即为卡死前轴的旋转角速度)。应用方程（4-10），得故系统的响应为由上式可见，在给定条件下，角位移的数值主要是由第一阶固有频率的振动引起的，而第二阶固有频率的振动对位移的影响很小。[例4-3]两个相同的单摆用弹簧k相连，如图4-7所示。当摆在铅垂位置时弹簧不受力。试求振系在同一铅垂平面内进行微幅振动时的固有频率。解：取偏角θ1与θ2为坐标，以反时针方向为正，假定偏角很小，可令cosθ，sinθθ，当左摆有偏角θ1，右摆有偏角θ2时，弹簧k有伸长a（θ2－θ1），弹簧力F=F‘＝ka（θ2－θ1）。分别对悬点o1与o2取矩，可得微分方程组令θ1＝A1sin（pt+），θ2＝A2sin（pt+）,代入上边方程组，得(mgL+ka2－mL2p2）A1－ka2A2ka2A1－(mgL+ka2－mL2p2)A2频率方程为解得所以，振幅比为第一阶主振型为第二阶主振型为第一、第二主振型分别如图4-8（a）（b）所示。在第一主振型中，两摆振幅是相同的且同相，这时弹簧内不受力，所以振动的频率和单摆相同；在第二主振型中，两摆反相，弹簧中间一点不动（节点），这时可以把双摆看作两个彼此独立的单摆，在距悬挂点a处连接一刚度为2k的弹簧，如图4-8（c）所示。[例4-4]图4-9为一车辆振动的力学模型。车辆是一个相当复杂的多自由度问题，这里只考虑车体作上下振动与俯仰运动，因而只需用车体质心c的铅垂向坐标x与围绕横向水平质心轴的转角θ就可以完全确定车体的位置。这样就把车辆简化为两自由度的振动系统，即简化为一刚体（车体）支承在弹簧（是挂弹簧和轮胎）上在平面内的振动问题。在图4-9（b）中所示的x与θ为正方向。设刚体质量为m，两端弹簧刚度为k1和k2，刚体质心c与弹簧k1、k2的距离为L1及L2，刚体绕质心轴的转动惯量为Ic，求解系统的固有频率与主振型。解：坐标原点仍取静平衡位置，从而使刚体重w＝mg和与之相平衡的弹簧压力都不出现在振动微分方程式中。在任一瞬时刚体发生微小位移x与θ，两端便受到弹簧恢复力k1（x1+L1θ）和k2（x－L2θ）的作用。根据牛顿运动定律和转动方程式可写出振动微分方程式或（f）令a＝（k1+k2）/m，b=(k2L2-k1L1)/m，c=(k2L2-k1L1)/Ic，d=(k1+k2则得到与例4-1中同样形式的微分方程：（g）设x＝A1sin（pt+）＝A2sin（pt+）代入以上微分方程，用同样的方法得到频率方程，最后求出系统的固有频率及振幅比为现分析k.2L2>k1L1的情况。因b>0，c>0，由上式可知，β1>0，β2<0，即第一主振动时x与θ现给出某汽车的有关数据如下：前后轮轴之间的距离L＝2.83米，前轮悬挂重量（单轮）：3650牛顿（空车），4100牛顿（满载），后轮悬挂重量（单轮）：3050牛顿（空车），4450牛顿（满载），前轮悬挂刚度（单轮）：205牛顿/厘米，后轮悬挂刚度（单轮）：225牛顿/厘米。绕质心的回转半径0.95L1L2.现考虑满载时的情况。可求得前轮悬挂重量2×4100＝8200牛顿，后轮悬挂重量2×4450＝8900牛顿，因此，汽车总重量＝8200+8900＝17100牛顿。质心c至前轮轮轴的水平距离L1=8900L/17100＝0.52L=147厘米。质心c至后轮轮轴的水平距离L2＝288-147＝136厘米。前轮悬挂刚度k1＝2×205＝410牛顿/厘米后轮悬挂刚度k2＝2×225＝450牛顿/厘米质量m＝1700/980＝17.45牛顿·秒2/厘米回转半径＝0.95×147×13618992＝18992厘米2代入以上关系式，得a＝（k1+k2）/m=(410+450)/17.45=49.8b=(k2L2-k1L1)/m=(450×136－410c=(k2L2-k1L1)/m=(450×136-410×147)/(17.45×18992)＝2.806×10d=()/m=[410×1472+450×1362]/(17.45×18992)＝51.85，p1＝7.021/s即1.12HZ，p2＝7.21/s即1.15HZ所以，,作出第一及第二主振型如图4-10（a）、（b）所示。图4-10（a）、（b）表明，第一主振动的质心位移远大于第二主振动的质心位移，也就是第一主振动以刚体上下垂直振动为主，第二主振动以刚体绕质心轴的俯仰振动为主。前者可以看作刚体绕刚体外一点摆动，而后者是以刚体绕其质心附加一节点作摆动。4.拍的现象下面以双摆为例来继续说明以初始条件表示自由振动以及当两自由度系统的两个固有频率很接近时的自由振动也同样会出现拍的现象（此现象已在第二章中提到过）。将例4-3求得的两种主振动迭加，得到自由振动的通解，即若给定初始条件，，由（4-10）式可以求得，，系统的响应为系统按第一阶固有频率作主振动。若给定初始条件，，由（4-10）式可以求得，，系统的响应为系统按第二阶固有频率作主振动。在任意初始条件下，系统的响应为两个主振动的迭加，不再是简谐振动。例如当初始条件为，，则可求得，，故，或写成，，当弹簧刚度很小时，2ka2/mL2比之g/L较小时，p2便接近于p1，令△p＝p2－p1，pa＝（p1+p2）/2，则上式成为，上式表明两个摆的运动可以看作频率为pa＝（p1+p2）/2的简谐运动，振幅不是常数，而是缓慢改变的函数与。如图4-11所示，此时两个摆发生了拍的现象。在t＝0时，左摆的振幅为A，而右摆静止不动；此后左摆振幅逐渐减小，右摆振幅逐渐增大，直到时，左摆静止不动，而右摆振幅等于A；随后左摆振幅逐渐加大，到时两摆的振幅又回到t＝0的情形。以后每隔2π/△p重复一次，同时能量也从一个摆传到另一个摆，交替转换，使两个摆持续交替振动。拍的周期T=2π/△p=2π/(P2-P1).拍是一种比较普遍的现象，凡是由两个频率相近的简谐振动合成的振动都可能产生拍的现象。5.耦合与主坐标的概念一般情况下，两自由度系统振动微分方程组中每个方程往往都有耦合项，如方程（4-2）以及本节中几个例子所建立的运动微分方程都是如此，方程中出现坐标之间的耦合，称为静力耦合或弹性耦合。现仍通过例4-4来说明，在此例中是以刚体质心垂直位移x和绕质心轴的转角θ为坐标，得到的方程组中具有静力耦合项，但坐标是可以任意选择的，即也可以以弹簧支承处的位移x1与x2为独立坐标来建立振动微分方程，由图4-9可见，x1与x2和x与θ之间有如下关系：x1＝x+L1θ，x2＝x-L2θ转换后得x＝（L2x1＋L1x2）/（L1+L2）θ＝（x1-x2）/（L1+L2）将上式代入例4-4中的关系式中，整理后得上列方程中不仅坐标x1和x2有静力耦合，而且包含加速度和的耦合，这种加速度之间有耦合的情况称为动力耦合或惯性耦合。显然振动微分方程中的耦合情况，取决于位移坐标的选择，如当选择另一组特殊的独立坐标时，微分方程组中可能只有动力耦合，如果选取的坐标恰好可使微分方程中的耦合项全等于零，既无静力耦合又无动力耦合，这相当两个单自由度系统，这时的坐标就称为主坐标。显然如果一开始就用主坐标建立微分方程，对于计算系统的固有频率是比较方便的，因为坐标的变换并不影响固有频率的计算值。但实际问题往往并不容易找到主坐标，只有在特殊情况下由于结构的安排才可能找到主坐标，如例4-4在设计中满足了L2k2＝L1k1这个条件，此时振动微分方程中无耦合项，那么x与θ就是主坐标。或者如果满足了＝L1L2这个条件，则这时弹簧支承处的x1、x2也就是主坐标。只要将上式中第一式乘以分别与第二式乘以L1相加以及与第二式乘以L2相减可得在的条件下，上式中将无耦合项。所以x1与x2即为主坐标。这里只是简略地提到了主坐标的概念，至于如何进一部找到主坐标，使方程组解耦，将在以后进一步讨论。4-2无阻尼强迫振动图4-12（a）为二自由度无阻尼强迫振动系统的力学模型，在质量m1与m2上分别持续作用着简谐激扰力F1(t)＝F1sinωt及F2(t)＝F2sinωt，根据图4-12（b），可写出该系统的振动微分方程为（4-11）令则方程（4-11）可写成(4-12)这是一个二阶常系数非齐次微分方程组，它的通解由对应于齐次方程的解（自由振动部分）与非齐次方程的特解（强迫振动部分）迭加而成。当系统存在阻尼时自由振动部分经过一段时间以后就逐渐衰减掉，由激扰力引起的强迫振动部分即系统的稳态振动。现只研究稳态振动。设方程特解有以下的形式（其频率等于激扰力频率ω，振幅分别为B1及B2的简谐振动）：(4-13)将上式对时间求导，并把结果代入（4-12）式，得（4-14）解此代数方程组得(4-15)将（4-15）式代回(4-13)式，即为系统在激扰力作用下的响应。此结果表明，系统作与激扰力同频率的简谐振动，其振幅与激扰力的振幅、频率以及系统本身的物理性质有关。由（4-15）式可见，当（a－ω2）（c－ω2）－bc=0时，系统的振幅B1、B2趋于无穷大，即出现共振现象，而此时的激扰频率ω正好等于系统的固有频率p1或p2；这是因为当ω＝p时，（4-15）式的分母等于0，变为（a－p2）（c－p2）－bc=0，这正是自由振动中的频率方程即（4-5）式。这就是说在两自由度系统中，如果激扰力的频率和系统的任何一阶固有频率相近时，系统的振幅急剧增大。两自由度振动系统的强迫振动有两个共振频率。必须指出，即使引起共振的力只作用在一个质量上，两个质量也都会发生共振。这从方程（4-15）式可知，产生这种现象是由于运动是耦合的。同时由（4-15）式可知，两个质量的振幅比为(4-16)这说明在一定的激扰力幅值和频率下，振幅比同样是确定值，也就是说有一定振型。当激扰频率ω等于第一固有频率p1时，振幅比为若将（4-7）式中（a－p2）/b的分子分母均乘以f2，c/（c－）的分子分母均乘以f1，然后按比例相加法则可得（4-17-1）同理（4-17-2）这表明系统在任何一个共振频率下的振型就是相应的主振型。在实践中经常使用共振法测定系统的固有频率，并可以根据测定的振型来判定固有频率的阶次，就是利用了上述这个规律。[例4-5]在图4-12所示系统中，若m1＝m2＝m，k1＝3k，k2＝2k，F2＝0，求该系统的稳态响应，并作出振幅频率响应曲线。解：其振动微分方程为设稳态振动解为,代入上面方程是得即频率方程为可求得，即，稳态振幅为代回到及即可求得系统的稳态响应。将B1、、、B2式右端分子分母同除以、，则上两式可改写成根据上式，以振幅B1、B2为纵坐标，以频率比ω/p1为横坐标，可作出系统的幅频响应曲线，如图4-13所示。由图4-13可见，和单自由度系统一样，两自由度系统的两个质量块的振幅比有类似的复杂关系。一般，两自由度系统有两次共振，每次共振时，两个质量块的振幅同时达到最大值。可以看到，在激扰频率时，m1的振幅为零，这种现象称为反共振，而m2的振幅为B2＝－F1/2k＝－F1/k2。当，两个质量块的运动方向是相同的，而在时，两个质量块的运动方向是相反的；当>>p时，两个质量块的振幅非常小而趋于零。4-3无阻尼动力减震器在讨论单自由度系统的共振时已经提到，系统的固有频率可通过变更质量或弹簧刚度得以实现。当不能使用这一方法时，便可采用附加弹簧和质量使原系统变为两自由度系统得以实现。如例4-5中图4-13所示，当激扰频率（即）时，质量m1的振幅B1＝0，这就意味着可适当选择参数（k2和m2）使两自由度系统的强迫振动只反应在一部分物体上，另一部分物体可维持不动。无阻尼动力减震器就是根据这个原理设计的。设图4-14（a）所示的单自由度系统，受到激扰力F1sinωt而引起强迫振动，当ω接近时，系统将产生共振。为了消除共振，再在该系统上附加一质量m2、刚度为k2的质量弹簧系统，这样就成为两自由振动系统。通常把受有简谐激扰力作用的m1－k1系统称为主系统，把附加的m2－k2系统称为副系统，下面具体分析减震原理。根据上节的讨论，可直接写出图4-14（b）所示系统的振动微分方程(4-18)其强迫振动振幅为，式中：△（ω2）＝（a-ω2）(c-ω2)-bc，而当ω2＝k2/m2时，得B1=0,B2=－f1/b=-F1/k2，可见，选择副系统的固有频率时主系统即保持不动，而减震器则以频率ω作的强迫振动，因而弹簧k2作用于物体m1的力为k2x2＝－F1sinωt刚好与扰力F1sinωt相抵消，因此使主系统的振动转移到减震器上来。这样只需附加一个弹簧k2与质量m2，使，就可使原来的k1－m1系统（主系统）在扰力作用下进行的强迫振动完全消失，附加的k2－m2系统就是动力减震器。但是必须注意到，加上减震器，固然使物体m1在＝时完全没有振动，但却使原来的单自由度振系改变为两自由度振系，因而有两个固有频率，每当扰频与其中任一固有频率相等时系统都要发生共振。固有频率（即等于共振频率ωr）值由△（p2）＝（a－p2）（c－p2）－bc＝0来求出。现假定k2－m2系统已调整至k2/m2=k1/m1,或者k2/k1=m2/m1。引用符号μ＝m2/m1，并代入已引进的符号a、b、c的表示式，则频率方程△（p2）可改写成因此两个固有频率为（4-19）由（4-19）式作出与的关系曲线如图4-15所示。由图可以看出，对于一定的μ值有两个对应的λ1和λ2，它们表示了两个固有频率p1和p2的相隔范围。如μ＝0.2，固有频率为0.8与1.25。当μ很小时，两个固有频率将很接近，动力减震器的使用频率将很窄，因此必须要求有一定的质量比μ，即减震器质量不能过小这样才不致发生新的共振，除了满足以上条件外，还应根据中振幅B2=F1/k2进行强度校核。图4-16中作出了主系统的振幅频率曲线（μ＝0.2，k1/m1=k2/m2的条件下，纵坐标为B1k1/F1,横坐标为）。由图可见时，主系统质量m1完全没有振动，只要ω稍微偏离，振幅B1就很快增大，这当然只是在无阻尼的情况下才会发生。由以上分析可见，使用无阻尼动力减震器要特别慎重，应用不当会带来新的共振，所以这种减震器主要用于激扰频率基本固定（变化不大）的情况。4-4具有粘性阻尼的自由振动现在来分析图4-17所示的具有粘性阻尼的系统的自由振动。选定静平衡位置为坐标原点，坐标x1、x2为正，根据牛顿运动定律建立振动微分方程或（4-20）引用下列符号m11=m1,m22=m2,c11=c1+c2,c12=c21=-c2,c22=c2,k11=k1+k2,k22=k2,k12=k21=-k2则方程（4-20）可改写成（4-21）现求解方程(4-21)，因为方程中出现速度项，所以设该齐次方程解为如下复数形式，将x1、、、x2以及它们的导数代入方程（4-21），得如下代数方程组(4-22)为使A1、A2不为零，上式中的系数行列式必等于零，由此可得以下特征方程或（4-23）当阻尼很小时，上述方程有以下形式的共扼复根，，，，（4-24）上式中n1和n2为衰减系数，而pd1和pd2为有阻尼自由振动的固有频率，可由式（4-23）求出。将这些值代入方程（4-22）中可得相应的振幅比（j＝1，2，3，4）（4-25）上式的振幅比β1、β2、β3、β4都是复共扼的。对于有阻尼的自由振动系统，方程解是各个特解的迭加（4-26）（4-27）将（4-24）式代入（4-26）式，并利用欧拉公式，则方程的解可改写成（4-28）可以证明上式中正弦项和余弦项的系数都是实数，所以该式所表示的位移是按指数衰减的自由振动。此解中的四个常数、、、仍取决于初始条件。如果阻尼非常大，那么特征方程的所有根都是负实根，则方程的解不是周期性的，经过一定时间就衰减为零。4-5具有粘性阻尼、简谐激扰的强迫振动图4-18所示为有阻尼两自由度系统强迫振动的力学模型。在质量m1上受到力F1sinωt作用。其振动微分方程有以下形式（4-29）仍采用符号m11=m1,m22=m2,c11=c1+c2,c12=c21=-c2,c22=c2,k11=k1+k2,k22=k2,k12=k21=-k2则方程可改写为（4-30）上述非齐次振动微分方程的解应包含两部分，即齐次解（自由振动部分）与特解（强迫振动部分），当阻尼很小时齐次方程的解即（4-28）式，现在只考虑方程组的特解。为了简便，现采用复数法求解。以F1eiωε（即等于F1cosωt＋iF1sinωt）来代替F1sinωt，用复位移和来代替x1和x2，用复速度和来代替实速度和，用复加速度和来代替实加速度和。则（4-30）式可改写成（4-31）设方程的稳态复数解为,(4-32)式中B1、B2为振幅的复数值。而，，，。代入方程（4-31），消去eiωε，得（4-33）和可由方程（4-33）求出，即上式中a、b、c、d、e、f各值为因而振幅B1、B2的实际值为，（4-34）而激扰力超前于位移的相位角为，(4-35)将上面的和代入方程（4-32），得（4-36-1）（4-36-2）这时，上式的虚部即为方程的实数解（4-37）4-6粘性阻尼减振器在4-3节中已讨论过无阻尼减振器，这种减振器的设计是用来消除某一频率的振动，因此这种减振器的应用仅限于在某一不变速率下运转的设备。但有些机械的运转速率是可变的，因而产生不同频率的振动，对于这类机械就可以采用图4-19所示的粘性阻尼减振器来降低其振动程度。这种粘性阻尼减振器是在4-3中的无阻尼动力减振器之间加上一个阻尼器而成，称为有阻尼动力减振器。设粘性阻尼系数为c，阻尼力与两个质量的相对速度成正比。系统的振动微分方程为（4-38）按4-5节类似的解法，主系统的振幅可按（4-34）式求出为其中所以(4-39)引入符号(4-39)式可改写成无量纲形式（4-40）由上式可看出B1是四个参数α、λ、μ和的函数。μ和α是已知的，因此，B1/δs即为和λ的函数，这和单自由度系统的强迫振动情况类似。图4-20为对应与μ＝0.2，α＝1的振幅频率曲线，图中＝0的曲线即相当于无阻尼两自由度系统强迫振动情况，＝∞的曲线即相当于m1和m2刚性连接而成为质量m1＋m2和刚度k1构成的单自由度系统强迫振动的情况。由图可见，不同的所有曲线都经过P点和Q点，因此这两点的位置与阻尼无关。而且B1/δs的最高点都不会低于P、Q两点的纵坐标。为了使减振器获得较好的减振效果就应该设法降低P、Q两点，并使P、Q两点的纵坐标相等而且成为各自曲线上的最高点，从而使主系统的振幅限制在P、Q两点所对应的振幅以下（见图4-21）。可以证明，为了使P、Q两点等高，就要适当选择α值，为了使B1/δs的最大值在P、Q两点上，就要适当选择值。所选择的α和值，分别称为最佳频率比αb和最佳阻尼比b，其值可由下使确定：，（4-41）最佳参数情况下振幅比B1/δs与频率比λ的关系曲线见图4-21。P、Q两点