小学数学-鸽巢问题例1教学设计学情分析教材分析课后反思

《鸽巢问题》教学设计【教学内容】人教课标版小学数学六年级下册第五单元数学广角P68-69例1、例2。【教学目标】1.通过操作、观察、比较、分析、推理、概括等数学活动，引导学生经历数学建模和初步的数学证明的过程，理解抽屉原理的基本形式，并能初步运用抽屉原理解决相关的实际问题或解释相关的现象。2.在探究鸽巢问题的过程中，渗透逻辑推理、模型、数形结合和反证法等数学思想方法，进一步培养学生的抽象、推理和应用能力。3.使学生感受数学的魅力，体会数学与外部世界的紧密联系。【教学重点】经历抽屉原理的探究过程，初步了解抽屉原理，会用抽屉原理解释生活中的简单问题，培养学生的模型思想。【教学难点】理解抽屉原理，并对一些简单的实际问题加以模型化，培养学生的模型思想。【教学过程】一、激趣引入，揭示课题。1.扑克牌魔术。教师出示一副扑克牌，取出大小王，让学生随意抽取五张，教师总能猜出：不管怎么抽，至少有两张牌是同一花色的。先让学生说说这句话的意思，特别是对“至少”的理解，然后出示抽到的扑克牌，验证结论的正确性。2.揭示课题。教师：神奇吗？其实这个魔术里面蕴含着一个非常重要的数学原理—抽屉原理。板书：抽屉原理。【设计意图：对于“总有、至少”这两个关键词的理解是鸽巢问题教学的难点和关键点。为分散和突破这个难点，我利用扑克牌魔术引入课题，目的是借助学生感兴趣的情境，调动学生学习的积极性，初步理解“至少”。】二、经历过程，构建模型。（一）研究“4个小球任意放进3个抽屉”存在的现象。1.出示结论：4个小球放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里面至少放2个小球。让学生说说对这句话中“总有”和“至少”的理解。2.验证结论的正确性。引导学生用长方形代替抽屉，用圆代替小球画一画，看有几种不同的放法。3.全班交流。汇报后，让学生观察每种放法，看“4个小球放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里面至少放2个小球”这句话对不对。同时根据学生的回答，通过横向、纵向比较，引导学生找到每种放法中放得最多的抽屉，然后从最多数里找最少数，发现不管哪种放法，都能从里面找到这样的一个抽屉，里面至少有2个小球，从而理解并证明了“不管怎么放，总有一个抽屉里至少放2个小球”这个结论是正确的。（二）研究“5个小球任意放进4个抽屉”存在的现象，找到求至少数的简便方法。1.猜测。根据刚才的研究经验猜一猜：把5个小球放进4个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉至少放几个小球？2.验证。以同桌为单位共同研究：先画出不同的放法，然后观察分析每种放法，看哪种猜测是正确的。3.全班交流。小组汇报研究结果。教师追问：通过验证，我们发现5个小球放进4个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉至少放2个小球。那“总有一个抽屉至少放3个小球”和“总有一个抽屉至少放1个小球”为什么不对？引导学生观察各种放法说明原因，也可结合反证法进行解释。教师小结：刚才我们在研究“4个小球放3个抽屉，5个小球放4个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放几个小球”时，都采用了一一列举的方法，列举法是研究问题的一种基本方法。4.寻找求至少数的简便方法。提出问题：有100个小球要放进30个抽屉里，如果再用列举法，你觉得怎么样？使学生感受到列举法的局限性。追问：有没有更简便的方法，不用把所有的放法都列举出来，就能很快的找到至少数？引导学生观察4个小球放3个抽屉、5个小球放4个抽屉的所有放法，看哪种放法最能说明不管怎么放，总有一个抽屉里至少有2个小球。同时观察这种放法同其他放法相比有什么特点，引出平均分。结合学生回答，课件演示：把4个小球放进3个抽屉里，假设每个抽屉平均放一个，还余下一个，这一个任意放进一个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放2个小球。这种方法叫假设法，它蕴含了平均分的思想。让学生用算式表示上面平均分的过程：4÷3=1……11+1=2；5÷4=1……11+1=2师生共同回顾以上研究过程:教师：我们先把所有的放法都列举出来，发现总有一个抽屉里至少放的小球数。列举法虽然很直观，但当数据比较大的时候，就有些繁琐，因此我们又从所有的放法中找到最简便的方法，也就是利用假设法来思考问题，假设每个抽屉放一个，余下的任意放进一个抽屉里，这样就能很快的找到至少数。最后我们用算式简明的表示出了平均分的过程。（三）概括规律，构建模型。引导学生完成下面表格：重点解决7个小球放进5个抽屉里，总有一个抽屉里至少放的小球数，使学生在思辨中明晰：先把小球平均分，然后把余下的小球再平均分，从而找到至少数，这是解决此类问题的关键。解决完表格中的问题后，继续引导学生进行联想：一直到什么时候至少数都是3？什么时候变成4？什么时候变成5？追问：这里面是不是有什么规律？认真观察这些算式，想一想，至少数都是怎么求出来的？师生共同总结：把小球放进抽屉，如果平均分后有剩余，那么总有一个抽屉里至少放“商加1”个；如果正好分完，那么至少数就等于商。让学生用这种方法求出100个小球放进30个抽屉里,总有一个抽屉里至少放的小球数。逐步抽象出抽屉原理的一般形式：把物体放进抽屉里，如果平均分后有剩余，那么总有一个抽屉里至少放“商+1”个物体；如果正好分完，至少数就等于商。同时说明：抽屉原理由19世纪德国数学家狄里克雷最早提出的，因此又叫做狄里克雷原理。【设计意图：为突破教学的重难点，我先出示结论，给学生一个思维定向，然后借助画草图的直观方式，通过观察、分析，找出最多中的最少，使学生从本质上理解了“不管怎么放，总有一个抽屉里至少有2个小球”这句话。但当数据较大时，再用列举法就显得麻烦。因此我提出问题：哪种放法最能说明不管怎么放，总有一个抽屉里至少有2个小球？接着对各种放法进行对比，慢慢的把学生的思维引到平均分上，很自然的引出假设法：先平均分总数，再平均分余数。为后面构建抽屉原理模型作好铺垫。接着通过把6--11个小球分别放进5个抽屉里的系列练习，引导学生进行观察、思考、辨析，发现“把小球放进抽屉，如果平均分后有剩余，那么总有一个抽屉里至少放“商加1”个；如果正好分完，那么至少数就等于商。”最后总结出抽屉原理，构建出数学模型。】三、运用模型，解释应用。1.鸽巢问题。出示鸽巢问题，让学生解释，并说说这里的鸽子和鸽巢各相当于什么。教师说明：抽屉原理也被人们形象的称为鸽巢原理。2.找身边的抽屉原理。例如文具盒原理、口袋原理等。教师指出：抽屉原理在生活中随处可见，它不仅仅局限于把物体放进抽屉、把铅笔放进文具盒里，它还可以研究把一些数放进集合中，由于人们常常借助鸽子和鸽巢来研究，所以，此类问题统称为鸽巢问题。因此说，抽屉原理其实就是解决该类问题的一种方法，一个模型。在解决问题时关键是要看清什么是抽屉，什么是待分的物体。3.解释应用。（1）用抽屉原理解释扑克牌魔术。引导思考：把什么看作抽屉，把什么看作待分的物体？（2）用抽屉原理解释：在坐的28位同学中至少有3人在同一个月里出生。为什么？4.用抽屉原理批驳算命。5.出示我国古代对抽屉原理的记载。通过史料，使学生感受到：研究问题时不仅要善于发现，还要善于总结。【设计意图:模型思想的培养不仅要重视模型构建的过程，更要重视如何应用模型来解决问题。在学生理解了抽屉原理后，我引导学生运用抽屉原理来解释鸽笼原理、文具盒原理、口袋原理、扑克牌魔术、出生月份问题等，进一步渗透了模型思想，培养了学生分析问题、解决问题的能力。】

四、课堂小结，余味课外。通过小结，拓宽学生视野，感受到抽屉原理更广泛而深刻的应用。《鸽巢问题》学情分析《鸽巢问题》是一类较为抽象和艰涩的数学问题，从六年级学生已有的知识经验和认知特点来分析，应该说抽屉原理具有一定的难度。抽屉原理之所以难，一是难在模型的建立上，比如，思维能力较弱的学生不能灵活、准确的使用特定的术语（总有、至少）来表述结论；二是难在它的具体应用上，如何找到一些实际问题与抽屉原理模型之间的联系，如何来思考一些变式的情况，有时学生常常会感到无从下手。因此，根据学生的实际情况，在教学时，教师一方面要选择学生感兴趣的材料作为学习素材，缓解学习难度带来的压力，调动学习的积极性；一方面要引导学生借助学具或画草图的方式进行“说理”；另一方面要发挥学生的主体性，引导学生经历将具体问题“数学化”的过程，渗透推理和模型等思想，发展抽象、推理和应用能力。《鸽巢问题》效果分析在本节课的学习中，学生通过操作、观察、比较、分析、推理、概括等数学活动，经历了初步的数学证明和模型构建的过程，较好的理解了抽屉原理的基本形式，并能初步运用抽屉原理解决了相关的实际问题。从课上进行的三个练习（=1\*GB3①5只鸽子飞进了3个鸽巢，总有一个鸽巢至少飞进了2鸽子。为什么？=2\*GB3②一副扑克牌，取出大小王后，从剩下的牌里任意抽取5张，至少有两张是同一花色的。为什么？=3\*GB3③在28位同学中，为什么至少有3人在同一个月里出生？）和课下进行的两个评测（=1\*GB3①把19条金鱼放到4个鱼缸里，总有一个鱼缸里至少放进5条金鱼。为什么？=2\*GB3②某小学共有380名同学，其中至少有2名同学在同一天过生日。为什么？）来看，学生在头脑中都建立起了抽屉原理这一数学模型，在解决以上五个问题的过程中，都能将具体问题和抽屉原理的一般化模型联系起来，找出什么是“待分的物体”，什么是“抽屉”。可以说，通过本节课的学习，学生的数学思维能力得到了很好地提升。《鸽巢问题》教材分析在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题。例如，任意13人中，至少有两人的出生月份相同；任意367名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日。这类问题就是鸽巢问题，它的依据理论就是抽屉原理。抽屉原理最先是由19世纪德国数学家狄里克雷（Dirichlet）最早提出的，所以又称“狄里克雷原理”，也称为“鸽巢原理”。抽屉原理的理论本身并不复杂，例如，把三个苹果放进两个抽屉，要么在一个抽屉里放两个苹果，另一个抽屉里放一个苹果；要么在一个抽屉里放三个苹果，另一个抽屉里不放。不管哪种放法，我们都可以得到这样的结论：总有一个抽屉里至少有两个苹果。如果把上述问题中的苹果换成铅笔、书本、小动物或者数，同时将抽屉相应的换成笔筒、学生、鸽舍或数的集合，仍然可以得到这样的结论。如果我们把一切可以与苹果互换的事物称为元素，把一切与抽屉互换的事物叫做集合，那么上面的结论就可以这样表述：把多于kn（k是正整数）个元素放进n个集合，那么总有一个集合中，至少含有（k+1）个元素。抽屉原理是数学的重要原理之一，在数论、集合论和组合论中的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。由此可见，抽屉原理实际上是一种解决某种特定结构的数学或生活问题的模型，是一种数学的思想方法。本节课的教学内容通过两个直观的例子，向学生介绍了抽屉原理的两种形式。例1是通过4支铅笔放进3个笔筒中的操作情境，借助实际操作或画草图，使学生感知此类问题的基本结构，掌握列举法和假设法，理解关键词“总有”和“至少”的含义，形成对抽屉原理的初步认识。例2提供了让学生把7本书放进3个抽屉的情境，介绍了抽屉原理更为一般的形式：把多于kn（k是正整数）个元素放进n个集合，那么总有一个集合中，至少含有（k+1）个元素。例2的教学目的是使学生认识抽屉原理的一般形式，进一步熟悉用假设法来分析问题的思路，理解假设法最核心的思路是把书尽量多地平均分到各个抽屉，提升对抽屉原理的理解水平。另外，模型思想的培养不仅要重视模型构建的过程，更要重视如何应用模型来解决问题。因此，在学生理解抽屉原理这一数学模型的基础上，“做一做”和练习十三中安排了许多抽屉原理的应用练习，使学生会对一些简单的实际问题加以模型化。根据课标分析、教材分析和学情分析，本节课的教学目标为：1.通过操作、观察、比较、分析、推理、概括等数学活动，引导学生经历数学建模和初步的数学证明的过程，理解抽屉原理的基本形式，并能初步运用抽屉原理解决相关的实际问题或解释相关的现象。2.在探究鸽巢问题的过程中，渗透逻辑推理、模型和数形结合等思想，进一步培养学生的抽象、推理和应用能力。3.使学生感受数学的魅力，体会数学与外部世界的紧密联系。教学重点是经历抽屉原理的探究过程，初步了解抽屉原理，会用抽屉原理解释生活中的简单问题，培养学生的模型思想。教学难点是理解抽屉原理，并对一些简单的实际问题加以模型化，培养学生的模型思想。例1、例2可作为一课时进行教学。《鸽巢问题》评测练习1.5只鸽子飞进了3个鸽巢，总有一个鸽巢至少飞进了2鸽子。为什么？2.一副扑克牌，取出大小王后，从剩下的牌里任意抽取5张，至少有两张是同一花色的。为什么？3.在28位同学中，为什么至少有3人在同一个月里出生？4.把19条金鱼放到4个鱼缸里，总有一个鱼缸里至少放进5条金鱼。为什么？5.某小学共有380名同学，其中至少有2名同学在同一天过生日。为什么？《鸽巢问题》课后反思本节课我紧紧围绕教学目标，通过操作、观察、比较、分析、推理、概括等数学活动，引导学生经历了初步的数学证明和模型构建的过程，理解了抽屉原理（鸽巢原理）的基本形式，并初步运用抽屉原理解决了相关的实际问题。同时，在探究鸽巢问题的过程中，我注意渗透逻辑推理、模型和数形结合等思想，进一步培养了学生的抽象、推理和应用能力。1.借助直观操作，将接受学习与探究学习有机结合，引导学生初步经历数学证明的过程。抽屉原理是一类和存在性有关的问题，它非常抽象，如果让学生自己发现并总结出抽屉原理，有些勉为其难。因此我顺应学生的认知特点，将接受学习与探究学习有机的结合起来。首先从结论入手，让学生通过画草图，找到所有放法，然后进行分析，使学生直观的发现4个小球放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有2个小球，从而证明结论的正确性。实际上，这个过程就是一种数学证明的雏形，通过这样的方式，不仅有助于提高学生的逻辑思维能力，还为初中学习较严密的数学证明做准备。接着，在此基础上，提出探究性的问题“5个小球放进4个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放几个小球”，引导学生进行猜测与验证，然后通过观察、对比、分析，从列举法中找到求至少数的简便方法假设法，接着用有余数的除法算式表示出平均分的过程，最后引导学生逐步抽象出抽屉原理。在以上接受学习和探究学习有机结合的过程中，不仅促进了学生对知识的建构，培养了学生的推理和抽象思维能力，还帮助学生积累了一定的数学活动经验，实现了真正意义上的有效学习。2.有意识地进行数学思想方法的渗透。数学思想方法是数学学习的灵魂和精髓，本节课主要渗透了以下思想方法：（1）模型思想的渗透。模型思想是十大核心理念之一，课标中明确提出：数学模型是运用数学的语言和工具，建立模型是数学应用和解决问题的核心。在本节课中，我非常重视学生模型思想的培养，从抽屉原理，到鸽巢原理，再演绎到文具盒原理、口袋原理以及解决26位同学出生时间的问题等，我都有意识的引导学生将具体问题和抽屉原理的一般化模型联系起来，找出什么是“待分的物体”，什么是“抽屉”，这个过程实际上是学生经历将具体问题数学化的过程，是一个建模的过程，是培养学生数学思维能力的过程。（2）逻辑推理、数形结合、列举法、假设法、反证法、化繁为简等数学思想方法也在本节课中进行渗透。在教学中，从借助数形结合，一一列举出所有放法，感受到列举法的局限性，到用假设法进行推理，再到用算式表示出平均分的过程，在逐步抽象的基础上，渗透一定的数学思想方法。3.创造性的使用了教材。首先，我对教材中的例1、例2进行了有机整合。例1是通过4支铅笔放进3个笔筒中的操作情境，介绍了抽屉原理的最基本形式。例2提供了让学生把7本书放进3个抽屉的情境，介绍了另一种形式的抽屉问题：只要物体数比抽屉数多，总有一个抽屉里至少放进（商+1）个物体。为了便于学生理解，我创造性的使用了教材，以小球和抽屉为原型，在4个小球放进3抽屉、5个小球放进4个抽屉的研究基础上，出示表格，分别把6到11个小球放进5个抽屉里，让学生去找至少数。在这个一气呵成的过程中，使学生深刻的意识到，先把小球平均分，然后把余下的小球再平均分，才能很快的找到至少数，也就是至少数等于商加1，从而为模型的构建打下基础。其次从学生身边熟悉的事物入手，调动学生已有的知识经验，如文具盒原理、口袋原理、生日问题等，不仅激发了学习的兴趣，促进了对知识的理解，也使学生感受到抽屉原理在生活中的应用。三是补充有关资料。如批驳算命以及抽屉原理的古代记载等等，不仅拓宽了学生的视野，更重要的是引导学生学会辩证的来看待问题。《鸽巢问题》课标分析《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“基本理