第二节 二重积分的计算

/第二节二重积分的计算教学目的:掌握二重积分的计算方法,能正确计算二重积分教学重点:二重积分计算教学难点：利用极坐标计算二重积分、应用教学时数:6教学内容：一般情况下，直接利用二重积分的定义计算二重积分是非常困难的，二重积分的计算可以归结为求二次定积分（即二次积分）。现在我们由二重积分的几何意义导出二重积分的计算方法。一、利用直角坐标系计算二重积分若二重积分存在,和式极限值与区域D的分法无关，故在直角坐标系下我们用与坐标轴平行的两组直线把D划分成各边平行于坐标轴的一些小矩形(如图所示)，于是小矩形的面积,因此在直角坐标系下，面积元素为：于是二重积分可写成现在,我们根据二重积分的几何意义，结合积分区域的几种形状,推导二重积分的计算方法。1.积分区域D为:，其中函数,在上连续(如图所示）.不妨设，由二重积分的几何意义知，表示以D为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积（如图所示）．我们可以应用第五章中计算“平行截面面积为巳知的立体的体积”的方法，来计算这个曲顶柱体的体积．先计算截面面积。在区间中任意取定一点，过作平行于面的平面，这个平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形（图中阴影部分）,其面积为一般地，过区间上任意一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为于是,由计算平行截面面积为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体的体积为即上式右端是一个先对y、再对x的二次积分.就是说,先把x看作常数，把只看作y的函数,并对ｙ计算从到的定积分，然后把所得的结果（是x的函数)再对x计算从a到b的定积分．这个先对y、再对x的二次积分也常记作从而把二重积分化为先对y,再对x的二次积分的公式写作在上述讨论中，我们假定.但实际上公式的成立并不受此条件限制。２.积分区域D为：，其中函数,在区间上连续(如图所示）。仿照第一种类型的计算方法,有这就是把二重积分化为先对ｘ、再对ｙ的二次积分的公式.３．如果积分区域D不能表示成上面两种形式中的任何一种，那么，可将D分割,使其各部分符合第一种类型或第二种类型(如图所示）.例1:计算积分,其中D为矩形区域：，。解法一：矩形区域既属于第一种类型，也属于第二种类型,所以，可以先对x积分，也可以先对y积分。先选择先对y积分。解法二:再选择先对积分例2：计算积分，其中D为矩形区域：,。解：积分区域虽然是矩形区域,但先对ｘ进行积分，需要用分步积分法，比较麻烦。如果先对ｙ积分,则比较简单。所以此题选择先对ｙ积分.例3：计算,其中Ｄ是直线与抛物线围成的区域.解：积分区域D如图所示。直线与抛物线的交点是与。（１)若先对y后对x积分,则积分区域D表示为:,故 (２)若先对x后对y积分,则积分区域D表示为:,故 例4:计算二重积分，其中D是抛物线,直线所围成。解：画出积分区域的图形（如图所示)，解方程组得抛物线和直线的两个交点，.选择先对x积分,后对y积分，则积分区域D表示为：,当然，这个积分也可以选择另一种积分次序,即先对ｙ后对ｘ积分，如图所示。但必须把积分区域划分成两个区域和，分别表示为：:,:,例5：计算二重积分，其中D是由直线,及双曲线所围成的区域（如图所示)。解:直线与双曲线在第一象限的交点为,选择先对y后对ｘ积分,则积分区域Ｄ可表示为：,于是当然，这个积分也可以选择另一种积分次序，即先对x后对ｙ积分。但必须把积分区域划分成两个区域,分别表示为:，,从例4、例5两例可以看出，积分次序的选择直接影响着二重积分计算的繁简程度.显然，积分次序的选择与积分区域有关。例6：计算,其中D是由直线，,围成的（如图所示)。解：选选对x后对ｙ积分，则积分区域Ｄ表示为：，如果改变积分次序，即先对y积分,后对x积分，则得由于的原函数不能用初等函数表示,所以无法计算出二重积分的结果．从例6知道，选择积分次序也要考虑到被积函数的特点。从我们所作的这些例题看到，计算二重积分关键是如何化为二次积分,而在化二重积分为二次积分的过程中又要注意积分次序的选择。由于二重积分化为二次积分时，有两种积分顺序，所以通过二重积分可以将已给的二次积分进行更换积分顺序，这种积分顺序的更换,有时可以简化问题的计算.二、利用极坐标计算二重积分对于某些被积函数和某些积分区域，利用直角坐标系计算二重积分往往是很困难的,而在极坐标系下计算则比较简单。下面介绍在极坐标系下，二重积分的计算方法。在极坐标系下计算二重积分，只要将积分区域和被积函数都化为极坐标表示即可。为此,分割积分区域，用r取一系列的常数(得到一族中心在极点的同心圆)和取一系列的常数（得到一族过极点的射线)的两组曲线将D分成小区域。如图所示。设是半径为和的两个圆弧及极角和的两条射线所围成的小区域,其面积可近似地表示为因此在极坐标系下的面积元素为再分别用，代替被积函数中的x,ｙ。于是得到二重积分在极坐标系下的表达式下面分三种情况，给出在极坐标系下如何把二重积分化成二次积分1.极点Ｏ在区域D之外,Ｄ是由，,和围成（如图所示)，这时有公式2．极点O在区域D的边界上，D是由,，围成(如图所示）,这时有公式3.极点O在区域D之内，区域是由所围成（如图所示）,这时有公式例7:计算二重积分，其中D：。解：积分区域D(如图所示）,D的边界曲线的极坐标方程为.属于第二种情况,于是 例8：计算二重积分，其中D为二圆和之间的环形区域。解：积分区域Ｄ（如图所示)，属于第一种情况.在极坐标下D可表示为:，于是ﻩ例９：计算球体被圆柱面所截得的(含在圆柱面内的部分）立体的体积（如图所示）。解：由对称性其中Ｄ为半圆周及x轴所围成的区域，在极坐标系中,Ｄ可表示为:,于是一般说来，当被积函数为的形式，而积分区域为圆形,扇形，圆环形时，在直角坐标系下计算往往很困难,通常都是在极坐标系下来计算。三、无界域上的反常二重积分和一元函数一样,可以引进无界域上的反常二重积分。它是在概率统计中有广泛应用的一种积分形式，一般可先在有