第四章习题解答

/４-1设单位反馈控制系统的开环传递函数K∗ﻩ G(s)ﻮｓ1试用解析法绘出Ｋ∗从零变到无穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上： （－２+ｊ０,(０+ｊ１，（－3＋ｊ２）解：有一个极点（－1＋ｊ０,没有零点。根轨迹如图中红线所示。(－2+ｊ0)点在根轨迹上,而(０+ｊ１，(－3＋ｊ２）点不在根轨迹上。4-２设单位反馈控制系统的开环传递函数Ｋﻮ３s） G(s)ﻮｓ（2ｓ)试用解析法绘出开环增益K从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。解：系统开环传递函数为G（s)3K

/２(s１／）

Kｇ（ｓ1/）ｓ(ｓ１/２）

ｓ(s1／2)有两个极点（0+ｊ０(-1/２＋j０，有一个零点（-1/3,j０。根轨迹如图中红线所示。４—3已知开环零、极点分布如图4－2８所示,试概略绘出相应的闭环根轨迹图。图４—28 开环零、极点分布图４4设单位反馈控制系统开环传递函数如下,试概略绘出相应的闭环根轨迹图(要求确定分离点坐标d）： （1)ﻮＧ（ｓ)

Kｓ(0.2s)（0.5ｓ)解：系统开环传递函数为G(s）ﻮ10Kﻩ Kgs（s)（ｓ2）

ｓ（s）（s2）有三个极点（０＋ｊ0(－2+ｊ０（－5＋j０)没有零点。分离点坐标计算如下：1 1ﻩｄ d2

１ﻩ0d5ﻮ1d214d100解方程的d1−3．78６3,ｄ２0。88取分离点为ｄ0。８８根轨迹如图中红线所示。(２）ﻮG（s）

K（s）s(2s)解：系统开环传递函数为G(ｓ)ﻮK/2（s）ﻮKg（s）s(ｓ0.)

s（s0．）有两个极点(０+j0(－0。5＋j０，有一个零点(－1＋j０。分离点坐标计算如下:１ﻩ１ﻩd d0.５ﻮ１d11d２2d0。５0解方程的d1−１。7，d20。29取分离点为d1−1．7，d２0。２9根轨迹如图中红线所示。（3）Ｇ（s)

Ｋ＊（s）s（s2)(s）解：系统开环传递函数为Ｇ(s)Ｋ*(s)ｓ(ｓ2)（s）有三个极点（0＋j0（－2+j０(－2＋ｊ0，有一个零点(—5＋ｊ0.分离点坐标计算如下:1ﻩ1ﻩdﻩd2

1 d3ﻮ1ｄ5d310ｄ225d１５０ﻮ解方程的d16。5171，d22.5９64,ｄ30.８865取分离点为dﻮ0。8865根轨迹如图中红线所示。4５已知单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略画出相应的闭环根轨迹图(要求算出起始角pi)：(1）G(ｓ)ﻮＫ∗(s2）（s１j2)（s１−j２)解：系统开环传递函数为G（s）K∗(s2）ﻮＫg(ｓ2）(s１j２)（ｓ1−ｊ２）(s1j2)(s1−j２）有两个极点:1（—1＋ｊ2，p２(-1—ｊ２，有一个零点(－2,ｊ０。起始角：mﻩnﻩpi（2ｋ∑ϕzji−∑iip

k,,，Ｌj1ﻮj１ﻩ（ｊ≠i)ﻩ1

ϕ11ﻮ−p21ﻮ18004５0−9０01350ｐ２

ϕ１ｐ２ﻮ−1p2

１800−4509002２50根轨迹如图中红线所示。(２)ﻮG（ｓ)ﻮK∗(s20）。s(s1010)(s10−10）解：系统开环传递函数为G(s)K∗(s20）ｓ（s1０1０）（ｓ10−１０）有三个极点：1(0,ｐ2(10＋１,p3(—1－ｊ0有一个零点1（-20，j０。起始角:mﻩｎ pi(2k∑ϕzji−∑iip

k,，，Lｊ１ﻮj1 （j≠i） 1ﻮ1800p2ﻮ180０ϕ1ｐ2ﻮ−1ｐ2

−ｐ3p２

１８00450−1350−90000p3

1800ϕﻮ1ｐ3

−1p３

−p2ｐ3ﻮ1800−45０1350９００00根轨迹如图中红线所示。Iｍ-20-10

j１0Rｅ04-6设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，要求：Ｋ∗(） 确定

G(s）ﻮs(s)（s10）ﻮ产生纯虚根的开环增益值。解:系统特征方程为s３1s210sK＊0令ｓﻮ代入特征方程中得:实部方程为：K*−12０虚部方程为：1−3０解上述方程得：210

Ｋ＊1１0ﻮ开环增益按一般定义:KK*/101１() 确定Ｇ(s）ﻮK∗（sz）s2(ｓ1０）(s２0）ﻮ产生纯虚根为±j1的z值和Ｋ∗值.解：系统特征方程为s430s３200ｓ2K＊sＫ＊z0令ｓﻮ１代入特征方程中得：实部方程为：K＊z1−20０0虚部方程为：Ｋ*−300解上述方程得：K*30

ｚ199/3０(３概略绘出确定

Ｇ(s） K的闭环根轨迹图(要∗ｓ（s）（s３。)(s3ｊ2）（ｓ３−j2）∗求确定根轨迹的分离点、起始角和与虚轴的交点。∗解：系统开环传递函数为G（ｓ）ﻩK∗ｓ(s)（s3。）（ｓ3j2)（s3−j2）有五个极点：1(0j，p２(—1ｊ，p3（－3。50,p4(-3j2，p5(－3，—ｊ２，没有零点。分离点坐标计算如下：1 1ﻩd ｄ1

1 d3。5

１ ｄ3。j2

1 0d3。−j２4ｄ４３５d３１11.５d2146d45．５０ﻮ解方程的

d1−3.5ﻮ，d2ﻮ０。44，d32。４1。265

d４2.４−1。265取分离点为dﻮ０。44起始角：ﻩmﻩnﻩpi(2k∑ϕzji−∑ｉipﻮk,，，Lj1ﻮj1 （ｊ≠i) 1

1８00p2

０0ｐ3

１800−ﻮ1ｐ3ﻮ−p２p３

−p4p3ﻮ−p５p3

１８0０−14６。450−1350−９０0−75.７９30ｐ4

180０−ﻮ1p4ﻮ−p2ｐ4

−p３p４ﻮ−p５p3ﻮ１800146。4５0135090075.7930根轨迹如图所示。与虚轴的交点:令ｓﻮj代入特征方程中s510.5s443．５s3７9．5ｓ24５.5sK*０得到:实部方程为：1０。４−7９．2K*0虚部方程为：5−43。３4５．0*解方程得到１６。5136*ﻮ２1。0３56将16．513６代入实部方程得到K

０不＊符合要求,将２１。０356代入实部方程得到K＊

73满足要求。所以取1。0356

即根轨迹与虚轴的交点为1。0356４-7设单位反馈系统的开环传递函数为K∗（ｓ2) G（s）ﻮｓ（s)其根轨迹图见图42。从数学上证明：复数根轨迹部分是以(２,0为圆心，以2为半径的一个圆.解：证明如下:根据辐角条件可知,根轨迹各点应满足(ｓ2）−s−(ｓ)1800ﻮ图４－2 系统根轨迹图在复平面上s,于是得j2)−j)−j）1800亦即ﻩarctanﻮ２ﻮ−aｒｃtanﻮarｃtan

11800利用反正切公式ａrctanX−arctanY可把上式改写为ａrctanＸ−Y１XY对上式的两边取正切，整理后即得圆方程式2）222它的圆心为（—2，j0）半径等于2。这个圆与实轴的交点即为分离点和会合点。证毕。4-８ﻩ已知开环传递函数为K*G(ｓ)H（s）ｓ(ｓ4）(ｓ2ﻮ４ｓ20）试概略画出闭环系统根轨迹图。解：系统开环传递函数为Ｋ*G(s)H（s)ｓ(s4)（s２４ｓ20)有四个极点：１（0j0，p2（－４ｊ,p3(—2j4，ｐ４(-2-j4,没有零点。分离点坐标计算如下:１ 1ﻩｄﻩｄ4

1 ｄ2.j4

1ﻩ0d2.−ｊ41即(２ｄ28d２０)（2d4）0解方程的d1ﻮ−2，ｄ2

2j2．45,d3ﻮ−2−j2.4５取分离点为ｄ１−2,d22j2.45,d3−2−j2．4５起始角：ﻩmﻩｎﻩpｉ(2k∑ϕzｊｉ−∑iip

k,,,Ｌj１ﻮｊ1 （j≠ｉ） 1ﻮ1８00p2

−9０0p ９0p3ｐ4ﻮ00根轨迹如图所示。4—９已知开环传递函数为Ｋ＊（s2）G(s)ﻮ（s24s9）2试概略绘制其闭环系统根轨迹.解系统有四个极点:１ﻮp２(－2j2。,p３

p4(—2－j2。4有一个零点1（—2,ｊ0。分离点坐标计算如下：2d2ﻮj2。24

2ﻩd2−j2.2４

１d21即d２１2d70解方程的d1

−3。２9，d２ﻮ−0．71，取分离点为起始角：

d１−3。２9ﻩmﻩn pｉ（２k∑ϕｚji−∑iipﻮk，,，Lj1

ｊ1 (j≠i）ﻩ1ﻮ(2ｋ1800ϕｚｊiﻮ−iiﻮk,,，Ｌ(2k1800900−900−９0０(2k１8０0−900所以:ｐ1ｐ

4５0，2250同理p2p

135０，４5０系统根轨迹如下图:４-10ﻩ设单位反馈控制系统的开环传递函数 Ｇ（s）ﻮＫｓ(0．0s)(0。０2ｓ)要求:（１)画出准确根轨迹（至少校验三点）；（2)确定系统的临界稳定开环增益Kｃ;（３)确定与系统临界阻尼比相应的开环增益K.解：系统开环传递函数为G（s） Kﻮ＊ﻩ5000K K＊s(0.0ｓ）（０。02s）ﻮｓ(s100)（s50)

s（s１00）(ｓ５0）有三个极点：1（０,j０，p２（—5０，j0，ｐ3（－100，j０，没有零点。分离点坐标计算如下:１ 1ﻩd ｄ50ﻮ１ 0ｄ1０01即解方程d230０d５00０0得d1ﻮ−7８.9,d2ﻮ−21.1,取分离点为d−21。1，起始角:mn mnﻩpｉ(2ｋ∑ϕzji−∑ｉipﻮk,,，Lj1

ｊ1ﻩ（j≠i） １ﻮ1８0０

p2ﻮ00

p３

1８00根轨迹如图所示。（2）令sﻮ代入系统特征方程中s3１50s25000sK＊0得到实部方程为：K＊−15２0虚部方程为:5０0−30解方程得：７0。７ﻮK＊75００00ﻮ所以Kｃﻮ1５0（3)令s−２1。1代入系统特征方程中s3150ｓ２5000sＫ＊0得到K*481１2

系统临界阻尼比相应的开环增益K9.624—１1一单位反馈系统，其开环传递函数2G（s)6.9(ｓ2ﻮ6s2)s（s２8s２）试用根轨迹法计算闭环系统根的位置。解:系统特征方程为：ｓ(ｓ２8s2）．９(s26s２）０即：ｓ314.9s2６6。4s１72.5０—9.９7８0－2.4610+3。３513ｉ-2．4６10-3。3513i解方程得：19。978ﻮs２2.46１j3．351３s32．4６1−j3.３5１3所以:闭环系统根的位置为s22．461j3.３5１3ﻮｓ3２。46１−j３。351３根轨迹如图所示：4—12ﻩ设反馈控制系统中K*G（s)

,s２(s2)(s)ﻮH（ｓ)１要求:（１）概略绘出系统根轨迹图，并判断闭环系统的稳定性;（2）如果改变反馈通路传递函数使H(ｓ）12s试判断Ｈ(s)改变后的系统稳定性,研究由于H（s）改变所产生的效应。解(１统有四个极点１（,j0），ｐ2(,ｊ0）,p３（，j），ｐ4（−，j０）有零点.系统根轨迹如下图:所以闭环系统不稳定。(2）如果H（s）12s，这时系统的开环传递函数为:Ｇ（s)Ｈ(ｓ）

K*(2s）ﻮＫｇ(s0.） 其中Kﻮ２Ｋ＊s２(s2）（ｓ）

s2（s２）(s）ﻩg系统根轨迹如下图：这时系统的特征方程为：gｇs2（s２）（s)Kgｇﻮ（ｓ0.）s4７ｓ310s２Ｋﻮs０．5Kｇ0令sﻮj代入特征方程中,得到：g实部方程为:4−1２０。5Ｋﻩ0gg虚部方程为：Kgﻮ−3０解上述方程得到:Kg

45.5这是系统的临界稳定的放大倍数.即0K*

2２.7５闭环系统稳定。4－13试绘出下列多项式方程的根轨迹(１)

ｓ32s23sKs2K０（２）s３3s2（K2）s１0Ｋ0K（ｓ2）（1）解:设等效单位反馈传递函数为G（s）s32s2３ｓ则系统的特征方程为:s３２s２３sKｓ２K0系统有三个极点：1（０ｊ0,ｐ2（－1ｊ１。1，p3（－1-j14有一个零点1（-2，j0。系统根轨迹如下图：(2）解:设等效单位反馈传递函数为G（s）

Ｋ（s10）s3３s22s则系统的特征方程为：s33s2(K2）s10K0系统有三个极点：1（,0，p2(－,0,p3（-ｊ0，有个零点1（—10，j０。分离点坐标计算如下：1 １ﻩd d1

1ﻩd2

1d101即2ｄ3３d260d2００解方程的d1ﻮ−０.4344,d2１.5９，ﻩd3−14.5取分离点为

d1−0．４34４系统根轨迹如下图：４—14设系统开环传递函数如下,试画出b从零变到无穷时的根轨迹图。20（1)G（s）（s4)（ｓｂ）（２)G（s)

３０(ｓb)s(s10)解(1）系统的特征方程为：（s4)（sb）2０s24s20b(ｓ４）0b（s４）系统的等效单位反馈传递函数为：Ｇｅq（s）ﻮs２4s2０系统有两个极点1（−,j４),p2（−，−ｊ４)，有一个零点1(，ｊ０）系 统 根 轨 迹 图ﻩ如 下 ：（2）系统的特征方程为:s(ｓ10）3０(ｓb)s２40s３ｂ0系统的等效单位反馈传递函数为：Geq（ｓ)ﻮ3bｓ２4０sﻮb*s２40s系统有两个极点１(，j0),p2（−4,j0），没有零点。系统根轨迹图如下：4—15设控制系统结构图如图４-２9所示,试概略绘制其根轨迹图。R（s） K*(ｓ+1)２（s+2）2ﻮＣ(ｓ）—解:系统开环传递函数为K＊（s）2Ｇ(ｓ）（ｓ2）２系统有两个极点，1p2(,ｊ0）,有两个零点1z2(，j0）系统根轨迹如下图：4—16ﻩ设单位反馈控制系统的开环传递函数K∗１−s） G(s）ﻮs(ｓ2)试绘制其根轨迹图，并求出使系统产生重实根和纯虚根的Ｋ∗值。解：系统开环传递函数为G（s)−

K∗(s−）s（ｓ）系统有两个极点，１(,j0)，p2(−，j0）,有一个零点1,ｊ0）这是一个零度根轨迹。系统根轨迹如下图：分离点坐标计算如下：1ﻩ1 d d2

1d−11即ｄ2−２d−20解方程的d1ﻮ0．7３2，ｄ2ﻮ2.７3２取分离点为ﻮｄ10．7３2，d22.7３2系统的特征方程为：s（s2）−K∗（ｓ−）s22ｓ−K∗（ｓ−)０将ｓ−０。７32代入特征方程中得到：K＊０.56７4将s2。7３２代入特征方程中得到：Ｋ＊7.464以上两个K＊值是产生重实根的K＊值。令sﻮj代入特征方程中，得到:实部方程为：K＊−20虚部方程为:−K0解上述方程得到:K＊２, ２所以产生虚根的K＊值为K＊24-１7 设控系统如图4-０所示试概略绘出Ktﻮ0,0Kｔﻮ1，Ktﻮ1时的根轨迹和单位阶跃响应曲线若取Kｔ

0。5试求出K１0时的闭环零极点估算系统的动态性能。R（s)ﻩＫC(s)- s（s+1)1＋Kts解（１)Ktﻮ０时系统的开环传递函数为G(s）

Ks(s）系统的根轨迹如下图:(2)0Ｋtﻮ１时系统的开环传递函数为G(s）H（ｓ）K1Kts）ﻮ此时G（s）H(s）K

*(sz)，ｚ1设Ｋﻮ０。5则z2s（s)ﻮs（s）ﻩt系统的根轨迹如下图:（3)Ktﻮ1时系统的开环传递函数为Ｇ(ｓ)H（s)K１Kts）

此时G(s）H（s)Kﻮ*(sｚ)，z１设Ｋ２则ｚ0。５ｓ（s）

s(ｓ） t系统的根轨迹如下图:(４）取Ｋt

0.５,试求出K10时的闭环零、极点，并估算系统的动态性能.１系统的特征方程为：ｓ26s100解方程的s１ﻮ3j，s2

３−j此时闭环系统没有零点、有一对共轭极点分别为13j,s２3−j系统呈现二阶系统特性:阻尼比为０.948，超调量近似为１％。自然振荡角频率为３.１6。４-1９ 设控制系统开环传递函数为G(s)K∗（s）ｓ2（s2）(ｓ4)试分别画出正反馈系统和负反馈系统的根轨迹图,并指出它们的稳定情况有何不同?解(１)负反馈情况系统有四个极点1p2（,ｊ0）,p３(−，j0），p4(−，ｊ0）有一个零点１，j0)系统根轨迹如下图所示：系统的特征方程为：ｓ46s3８s2K∗(ｓ）０令sj代入特征方程中，得到:实部方程为:4−2K*0虚部方程为：K−3０解上述方程得到:Ｋ*1２,ﻩ2所以当０Ｋ＊1２是系统稳定。