工程力学(天津大学)第13章答案

1/1工程力学(天津大学)第13章答案习题解答

13?1木制构件中的单元体应力状态如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂线的夹角。试求：

（l）平行于木纹方向的切应力；（2）垂直于木纹方向的正应力。解：由图a可知

MPa

0MPa,

6.1,MPa2.0=-=-=xyxτσσ

（1）平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力

MPa

1.0)]15(2sin[2

6.12MPa9

7.1)]15(2cos[26

.1226.1215

15=-?+-=-=-?+-+--=

--

τσ（2）垂直于木纹方向的正应力

MPa

1.0)752sin(2

6.12MPa52

7.1]752cos[26

.1226.127575-=?+-=-=?+-+--=

τσ由图b可知

MPa25.1,0,0-===xyxτσσ

（1）平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力

MPa

08.1)]15(2cos[25.12cosMPa

625.0)15(2sin25.12sin1515-=-??-==-=-?=-=--

αττατσxx

（2）垂直于木纹方向的正应力

MPa

08.1)752cos(25.12cosMPa

625.0)752sin(25.12sin7575=??-===??=-=

αττατσxx

13?2已知应力状态如图一所示（应力单位为MPa），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力

解：（a）已知MPa20MPa,10,

0MPa3-===xyxτσσ

则由公式可直接得到该斜截面上的应力

MPa习题13?1图

(a)

(b)

MPa

10)4

2cos(20)42sin(210302cos2sin2MPa

40)4

2sin(20)42cos(21030210302sin2cos22=??-??-=+-==??+??-++=--++=

ππατασστππατασσσσσααxyxxy

xyx

（b）已知MPa

20MPa,10,0MPa3===xyxτσσ

则：

MPa

21.21)5.222cos(20)5.222sin(2

10302cos2sin2MPa

93.12)5.222sin(20)5.222cos(21030210302sin2cos22=??+??-=+-==??-??-++=--++=

ατασστατασσσσσααxyxxy

xyx（c）已知

60MPa

15MPa,20,

MPa10-====ατσσxyx

则：

60(2cos[15)]60(2sin[2

20102cos2sin2MPa

49.30)]60(2sin[15)]60(2cos[22010220102sin2cos22-??+-??-=+-==-??--??-++=--++=

α

τασστατασσσσσααxy

xxy

xy

x

13?3已知应力状态如图所示（应力单位为

MPa），试用图解法（应力圆）计算图中指定截面的正应力与切应力。

13?4已知应力状态如习题13?2图所示（应力单位为MPa），计算图示应力状态中的主应力及方位。

习题13?2图

(c)

(b)

(a)(d)

习题13?3图

(a)

(b)

xyx则由公式可直接得到该单元体的主应力

主应力为：

因为

，主应力

对应的方位角为

。

13?5试确定图示应力状态中的主应力及方位、最大切应力（按三向应力状态考虑）。图中应力的单位为MPa。解：

（a）已知MPa20MPa,20,0MPa4===xyxτσσ

则由公式可直接得到该单元体的主应力

主应力为：

因为

，主应力

对应的方位角为

。

(a)

习题13?5图

(b)(c)

xyx则由公式可直接得到该单元体的主应力

主应力为：

因为

，主应力

对应的方位角为

。

（c）已知MPa20MPa,03,20MPa==-=xyxτσσ

则由公式可直接得到该单元体的主应力

主应力为：

因为

，主应力

对应的方位角为

。

13?6已知应力状态如图所示（应力单位为MPa），试画三向应力圆，求最大切应力。

解：图a为单向应力状态，图b为纯剪切应力状态，图c为平面应力状态，其应力圆

(a)

习题13?6图

τ

(b)(c)

如图。

最大切应力分别为：

13?7已知应力状态如图所示，试画三向应力圆，并求主应力、最大切应力（应力单位为MPa）。

解：图a为三向主应力状

态

，

，应力圆如图（a）。

图b一方向为主应力，另两方向为纯剪切应力状态，则根据公式可直接得出另两主应力。于是有

其应力圆如图（b）。13

?8图示悬臂梁，承受荷载F=10KN作用，试求固定端截面上A、B、C三点最大

切应力值及作用面的方位。

解：固定端截面的弯矩

,剪

力

。

截面a点的应力：

习题13?7图

(a)

(b)

习题13?8图

图a

图b

图c

图a

图b

,其应力状态为单向应力状态，即

,最大切应力作用面的方位

为

。

截面b点的应力：

,其应力状态为平面应力状态，即

主应力：

。

求最大切应力作用面的方位先求主应力的方位，即

截面c点的应力：

,其应力状态为纯剪切应力状态，则

,

最大切应力作用面的方位为

13?9空心圆杆受力如图所示。已知

F=20kN，D=120mm，d=80mm，在圆轴

表面A点处测得与轴线成30°方向的线应

变ε30°=1.022×10－5，弹性模量E=210GPa,

试求泊松比ν。

解：1、A点对应的横截面上只有正应力，即

2、取A点的单元体

3、由斜截面应力计算公式有

3、根据广义胡克定律有

习题13?9图

则

13?10在其本身平面内承受荷载的铝平

扳，巳知在板平面内的主应变为ε1=3.5×10-4

，ε3=-5.4×10-4其方向如图13?10所示。铝的E＝70GPa，ν＝0.33，试求应力分量σx、σy及τx。

解：由题意可知该应力状态为平面应力状态，

根据广义胡克定律有

代入

得

利用斜截面应力公式

及

得

13?11已知各向同性材料的一主应力单元体的σ1=30MPa，σ2=15MPa，σ3=-5MPa，材料的弹性模量E=200GPa，泊松比250.ν=。试求该点得主应变。

解：直接应用广义胡克定律即可求出。

5-35-24-31108.125-104.375101.375）（（1

?=?=?=+=εεε；；）σσ-νσE

21

13?12图示矩形板，承受正应力σx与σy作用，试求板厚的改变量Δδ与板件的体积改变ΔV。已知板件厚度δ=10mm，宽度b=800mm，高度h=600mm，正应力σx=80MPa，

σy=-40MPa，材料为铝，弹性模量E＝70GPa，泊松比ν＝0.33。

解：由广义胡克定律即可求出

3

y886.1)

4080(33.010

701-)]([1?=-??=+=σσ-νσExzzε则mmz34

10886.11010886.1--?=??==?δεδ

体应变

4

3

10943.1)4080(107033.021)(2-1-?=-??-=+=

yxEσσνθ

板件的体积改变量

习题13?12图

h

σx

σy

习题13?10图

3457.9321060080010943.1mmVV=????==?-θ

13?13如图所示，边长为20cm均质材料的立方体，放入刚性凹座内。顶部受轴向力F=400kN作用。已知材料的E=2.6×104MPa，ν=0.18。试求下列两种情况下立方体中产生的应力。（1）凹座的宽度正好是20cm；（2）凹座的宽度均为20.001cm。

解：（1）根据题意立方体两水平方向的变形为零，即0==yxεε为变形条件，由广义

胡克定律得

)]([1

0)]([1

xy=+==+=

σσ-νσE

σσ-νσE

zyyzxxεε

上式解出

zyxσν

ν

σσ-=

=1。

式中MPaAF

z100.2

0.2104003=??==σ。代入数据，得MPayx195.2100.18

10.18

=?-==σσ

（2）根据题意立方体两水平方向的变形为0.001cm，应变

5-105.020

0.001

?==

=yxεε，由广义胡克定律得5

-x5-y105.0)]([1

105.0)]([1

?=+=?=+=

σσ-νσE

σσ-νσE

zyyzxxεε

式中MPaAF

z100.20.2104003=??==σ。上式解出Ezyxσν

νσσ-??==-1100.55。代入数据，得

MPa

yx854.2106.2100.18

10.18

100.545=???-?

?==-σσ

13?14已知如图所示受力圆轴的直径d=20mm，若测得圆轴表面A点处与轴线45°方向的线应变ε45°=5.20×10-4，材料的弹性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3。试求外力偶矩Me。

解：A点应力状态为纯剪切状态，故45°方向为主应力

习题13?13图

20cm20.001cm

方向，且有-0321τσστσ===，，

。由43111020.5)1(1

)(1-?=+=-=

τννσσεE

E得MPa80=τ。对于扭转是A点的切应力P

e

MW=

τ，则

mkNDMe?=?

?==6.12516

1080W36Pπ

τ

13?15一直径为25mm的实心钢球承受静水压力，压强为14MPa。设钢球的

E=210GPa，ν=0.3。试问其体积减少多少？

解：根据题意有

MPa-14321===σσσ

体应变

5

3

321100.-8143100213.021-)(2-1-?=????-=++=

σσσνθE体积改变量

3350.654176

100.8VmmdV=?

?==?-π

θ

13?16试对图示三个单元体写出第一、二、三、四强度理论的相当应力值，设ν=0.3。

解：(a)由题图可知

MPaMPaMPa30,10,20321-===σσσ

则

MPaMPaMPaMPa83.45])()()[(2

1

;503020;26)3010(3.020)(;

20213232221r431r3321r21r1=-+-+-=

=+=-==--=+-===σσσσσσσσσσσσνσσσσ

(b)已知MPa

01τ0MPa,

2σ,

30MPaσxyx=-==

习题13?16图

(a)

(b)

(c)

MPa

MPaMPa93.21,0,93.31321-===σσσ

则

MPaMPaMPaMPa91.46])()()[(2

1

;86.5393.2193.31;

51.38)93.210(3.093.31)(;

93.31213232221r431r3321r21r1=-+-+-=

=+=-==--=+-===σσσσσσσσσσσσνσσσσ（c）由题图可知

MPaMPaMPax20,0,51xyyz-====τσσσ

则

MPaMPaMPa20,51,20321-===σσσ

MPaMPaMPaMPa75.37])()()[(2

1

;402020;5.21)2015(3.020)(;

20213232221r431r3321r21r1=-+-+-=

=+=-==--=+-===σσσσσσσσσσσσνσσσσ

则由公式可直接得到该单元体的主应力

13?17有一铸铁制成的零件。已知危险点处的应力状态如图所示。设材料的许用拉

应力[σt]=30MPa，许用压应力[σc]=90MPa，泊松比ν=0.25。试用第一和第二强度理论校核其强度。

13?18一工字钢制成的简支梁，受力如图a所示。其截面尺寸见图b。材料的

[σ]=170MPa，[τ]=100MPa，试校核梁内的最大正应力和最大切应力，并按第四强度理论校核危险截面上A点的强度。

习题13?17图

习题13?18图

单位：MPa（b）

解：（1）横截面的几何性质

43434231004.21080012

1

)4102024020240121(2mmmmmIz-?=??+??+???=

3

333max,1077.22001040041020240mmmmmSz-*?=??+??=

（2）作简支梁的剪力图和弯矩图。

mkNMkNFs?==870,710maxmax,

（3）梁内跨中截面上下边缘有最大正应力为

][17910

04.242.0108703

3maxmaxmaxσσ≈=???==-MPaIyMz（4）梁内支座处截面的中性轴上有最大切应力为

][4.9610101004.21077.2107103

33

3max

,max,maxττ<=??????==

*MPab

ISFzzs（5）梁内集中力作用处左侧截面上的剪力和弯矩为

mkNMkNFcsc?==690,670左

该截面上A点的应力为

MPaIyMzCCA13510

04.24.0106903

3=???==-σMPabISFzzSCA6.6410101004.21041020240106703

39

3=????????==*左τ

A点的主应力为

9.251616.642135213522

2

31=???-=+?????±=???σσσMPaMPa

由第四强度理论

[]

MPar175)9.25161()9.25(1612

1

2224=+-+=

σ因此，梁是安全的。

13?19图所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变εt=350×10-6，。若已知容器平均直径D＝500mm，壁厚d＝10mm，容器材料的E＝210GPa，ν＝0.25。试：

（1）导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；（2）计算容器所受的内压力。

答案

13?1σα=-1.773MPa，τα=０.1MP13?2（a）σα=40.3MPa，τα=14MPa。（b）σα=-38.2MPa，τα=0。（c）σα=0.49MPa，τα=-20.5MPa。（d）σα=35.8MPa，τα=-8.66MPa。13?3（a）σα=10MPa，τα=15MPa。

（b）σα=47.3MPa，τα=-7.3MPa。

13?5(a）σ1=52.4MPa，σ2=7.64MPa，σ3=0，α1=-31.8°

（b）σ1=11.23MPa，σ2=0，σ3=-71.2MPa，α1=52.2°（c）σ1=37MPa，σ2=0，σ3=-27MPa0，α1=70.5°13?7(a）σ1=60MPa，σ2=50MPa，σ3=-70MPa，τmax=65MPa