物理下习题电学期末补充例题

Y--O+PxX如图所示，在坐标(l/2，0)处放置一点电荷+q，在坐标(-l/2，0)处放置另一点电-q。P点是轴上的一点，坐标为(x，Y--O+PxXE

4π0E 2π0x3E 4π0x3E

4π0x2如图所示，在坐标(l/2，0)处放置一点电荷+q，在坐标(-l/2，0)-q。PY轴上的一点，坐标为(0，y)y>>l时，该点场强的大小为EE

4πy20q0

EE

2π0y24π0y38π0

-

+ 设有一无限大均匀带正电x轴垂直带的电场强度E随距平面的位置坐标x变化的关EEEE EEEE 一电场强度为E的均匀电场E的方向与X轴正向平行，如图所示。则通过图中一半径为R的半球面的电场强度通量为O O 0DD在点电荷+q的电场中，若取P点处为电势零M点的电势为：

4π

。

。。

4π

8π在点q的电场中，若取P点处为电势零点M点的电势为：

。

。 4π (C)4πa。(D)8πa 如图q的电场中，选q为中心、R为半径的球面上一点P处作电势零点，则与点电荷qrP′点的电势为(A) 11 4π0r 40 R (C) 。(D) 14π0r 40 rB则∞处的电势为： 0(A)4πa2。(B)0 0(C)

4π0a

。 4πC两块面积S的金属平板AB彼此平行放置，板间距d(d远小于板的线度)，设A板带q1，B板带电量q2A、B两板BAq1q2dBA20(B)

q1q2d40

q1q2d20

(D)

q1q2d40 在匀强电场中，将一负电荷从移到B，电场力电场力电场力作电场力作B D在点+q的电场r=aP点处为电为

q8π0a

8π0aA半径为r的均匀带电球面1，带电量q；其外有一同心的半径为R的均匀带电球面2，带电量Q。则此两球面之间的电12为: 11 (C qQ R 4π R0 0 11 (D r 4π00 A圆柱面均匀带电，沿轴线方向单位长度上的带电量分别12，则在内筒面里面、距离轴rP点的A1

2π0r 2π0R12π0r

2π0R2

rDD如图所示，两个“无限长”的、半径分别为R1和R2的共轴圆柱面均匀带电，沿轴线方向单位长度上的带电量分别为1和2，则在两筒面之间、距离轴rP点的电场强度大小E为：A1

2π0r 2π0R12π0r

2π0R2

rDC真空中有一半径为R的半圆细环，均匀带电量为Q，如图所示。设无限远处为电势零点，则O处的电势为：A

2π0R RQ4π0R 8π0RC在带电量为Q的点A的静电场Q中，将另一带电q的点B从(A)a点移到b点。a、b两点距离点电荷A的距离分别为r1和r2，如图所示 则移动过程中电场力做AQ11 qQ11 4π0 r2 4π0 r2CqQ11 4π r 4πrr0 2 baC有一电荷q及导体AA处在静电平衡状。下列说法中正确导体内E0，q在导体E0，q在导体内导体内E≠0，q不在导体内产生电场 一无限大均匀A，电1，将介质板移近BB表面上靠近P点处的2，P点是极B面的一点，如图所示。则P点的场强 A C

22 2 2B D 2 2 有两个带电不等的金属球，直径相等，但一个是空心，一个是实心的。现使它们互相接触，则这两个金属球上的电荷平均分配B空心球电量B实心球电量多各球所带电量不变半径大的球带电量半径大的球带电量B无法确定哪一个导体球带电量B。将带A与平板导体平行放置，如图。已知A、B所带电量分别为QA、QB。则达到静电平衡后，平板导体BS上所带电量为BQB BQA½(QBQA½(QBQAQLQRC QR 020S 20S 20SC一带电大导体平板，平板二个表面的电荷面密度的代和为，置于电场强度为

的均匀外电场中，且使0面垂直于0

的方向。设外电场分布不因带电平板的入而改变，则板的附近左、右两侧的合场强为

E0，E0。 20，E020，E00，E000E0

E0

，E0 0AE0 A0A、B为两导体大平板，面积S，平行放置，如图所A板带+Q1B板带电+Q2B板接AB间电场强度的大小E为

20S

(B)Q1Q220S

Q10

Q1Q2BA20SBAC三块互相平行的导体板，相互之间的距离d1和d2比板面积线度小得多，外面二板用导线连接。中间板上带电，设左右两面上电荷面密度分别21和2，如图所2d1/d2d2/d11

12d1d 2d1

1d12B B在点电荷q的电场中，若取图中P点处为电势零M点的电势为：a。。。。

4π0a。。4π

8π0a。 。8π0aP电荷密度为+-的两块“无限大”均匀带电的平行平板，放在与平面相垂直的X轴上的+aa位置上如图所示。设坐标原点O处电势为a<x<+a区域的电势

-

布曲线

X

X两同心薄金属球壳，半径分R1R2(R2>R1)，若分别带上电q1q2的电荷，则两者的电势分别为1和2(选无穷远处为电势零点)。现用导线将两球壳211＋(D)(1＋BB如图所示，两个同心球壳．内球壳半径为R1，均匀带有电量Q；外球壳半径为R2，壳的厚度忽略，原先不面，距离球心rP点的场强大小及电势分别为：

QrOQrO2 1211

4πR CE

4π0r

DE

4π0r

B4π0R1B如图所示，两个同心球壳．内球壳半径为R1，均匀带有电量Q；外球壳半径为R2，壳的厚度忽略，原先不带电，但与地相连接。设地为电势零点，则在两球之间，距离球心rP点的场强大小及电势分别为：AE

4π0rQ

QOrQOrPr0 1r01BE1

4π0r

4πR CE

4πr

14π R0

0 2CQC4π0R2不带电的导A，半径为R。在与球心rP有一+q的点电荷。则导体A内各点的电势：不RAr相等不RAr相等且为不确 BB不带电的导A，半径为R。在与球心rP有一电量+q的点电荷。则导体球A表面上有电荷吗?有且净电荷为有且净电荷有且净电荷不确没

A C不带电的导体球A，半径为R。在与球心相rP有有且净电荷为有且净电荷有且净电荷不确没

A A在一个带有负电荷的带电球外，放置一电偶极子 其电矩的方向如图所沿顺时针线方向向着球面移动 关 定理，下列说法中哪一个是正确的面内不包围自由电菏，则面上各点电位移矢量为零面上为零，则面内必不存在自由电 面D的通量仅与面内自由电荷有关以上说法都不正确 在一静电场中，作一闭合S，若(式中为电位移矢量)，则S面内必既无自由电荷，也无束缚电有自由电

DdSS自由电荷和束缚电荷的代数和为自由电荷的代数和为零 关于静电场中的电位移线，下列说法中，哪一种起自正电荷，止于负电荷，不形成闭合线，不任何两。一孤立带电导体球，其表面场强的方向垂直于表面；当场强的方 仍垂直于表 移近一块已带有正Q的金A，平行放置。设两板的面积都是S，板间距离是d，忽略边缘效应。当B板不接地时，两板间电势差UABQd/(20S)B板接时，UABQd/(0S)ROdq半径为R的金属球与地连接，在与Od2R处有一电量q的点电荷，设地的电势为零，则球上的感应电量ROdq(A)0(C(A)0(Cq/2(D)q

++++++ ++++++一正电荷M，靠近一不带电N，N的左端感应出负电--+(B)N上--+(B)N上的正电荷入地N上的电荷不动N上的所有电荷都入A、B为两导体大平板，面积均为S，平行放置，如图所示A板带电荷板带电荷+Q2B板接地AB间电场强度的E

20S

Q1Q220S0SQ10S

AB 20S图示为一具有球对称性分布的静E~r关系曲线。请半径为R的均匀带电球面 半径为R的均匀带电球半径为R、电荷体=R、电荷体=

E1/r2(A为常数)的非均匀带电球体 一球形导体，带电量q，置于一任意形状的空腔导体增加减少 无法确定如图所示，一半径为a的“无限长”圆柱面上均匀带电，其电荷线密度为。在它外面同轴地套一半径为b的薄金属圆筒，面面、距离轴线为rP点的场强大小和电势分别为： (A)E0，

2π

E

，

lnbE

，

lnb (B)E0，lnba平行板电容器两极板(看作很大(B)E0，lnba(AF∝UBF∝1/UCF∝1/U2(DF∝U2第二部 填空将一个试验电荷q0(正电荷)放在带有负电荷的大导体附近点处，测得它所受的力为F；若考虑到电量q0不是足够，则F/q0P点处原先的场强数值P说明：试验电荷的电量必须足够小，否则将影荷的分布，实际测得的是电荷重新分布后的场一均匀带电细圆环，半径为R，总电量为 q，环上有一极小的缺口，缺口长度为d(d<<R)，如图。细圆环在圆心处产生 场强大小E ，方向为由圆心指向4π0R22πRd如图所示，真空中一半径为

的均匀带电球面，总电量为(Q<0)。今在球面上挖去一块非常小的面积S(连 则挖去S后球心处电场强度 大小E

QS 其方向为由S指向O点如图所示曲线，表示某种球对称性静电 rRr 该电场是由哪一种带电体产生的：Rr均匀带电球面在空间有一非均匀电场，其电力线分布如图示。现在电场中取一半R的闭合球面。已知通过球面上S的通量为，则通过球面其余部分的电通量为–。-在点电荷+q-q的静电个闭合面S1、S2、-

1= 2= 3=-q/0

一点q位于一半径为R的球心，则通过此球八之一球面的电通q/(80)有两个点电荷电量都是＋q，相距为2a。今以左边的点电荷处为球心，以a为半径作一球 面，通过整个球面的电场度通量s＝q/0。若在球面上 两块相等的小面积S1和S2，其位置 12的大小关1＜2。

一电场强

E的均匀电场的方 O与X轴正向平行，如图所示．则通过图中一半径为 的半球面的电场O度通量为0 E若匀强电场的场强为，其方向平行 半径为半球面的轴，如图所示．则 过此半球面的电通量e

R2E半径为r的均匀带电1q；其外有一同心的半径为R的均匀带电球面2，带电量Q。则此两球面之间的电势qq11 R4π1–2 两个半径分别为R2R的同心均匀带电球面，内球荷电；外球荷电Q，选无穷远为电势零点，则内球面电势为 8π0

2qQ；欲使内球电势为零，则外球面上的Q2q在电量为q的点电荷的静电场中，若选取与点电荷距离为的一点为电势零点，则与点电荷距离为r处的电势 1 4π0 半径为r的均匀带电1q；其外有一同心的半径为R的均匀带电球面2，带电量Q。则此两球面之间的电势qq11 R4π1-2 Q，选无穷远为电势零点，则内球面电j 8π0

2qQ；欲使内球电势为零，则外球面上的Q2q一点为电势零点，则与点电r处的 1 4π0 图示A，B两点相距2RA点有点电QB点有点电探电荷+q0O点沿OCDP移到无穷远处，并设无穷远处为电势零+q0在D点的电WD

6π0

- 电场力做的功AO=

AOD

6π0

AD

6π0静电场 定理的数学表示式是_SEdS明静电场是有源场。静电场的环路定理的数学表示LEdr0；表明静电场是保守

0A、B为真空中两块“无限大”的均匀带电 行平面，已知两平面间的电场强E0，两平面外侧电场强度大小都为E0/2向如图所示，则A、B两平面上电荷面密分别为A=30E0/2，B=-

如图所示，两块“无限大”的均匀带电平行平面，其电荷面别为-(>0)及3。试写出各区域的电场强度E- E

，方 ，方 ，方

ⅠⅡ如图所示，3块“无限大”的均匀带电平行其电荷面密度都是+。则A、B、C、D四个

++A 域的电场强度分别为EA

- EB=/(20)，EC=/(20)，ED=(垂直平板向右为场强的正“无限大”均匀带电平板附近，有一点电荷q，沿电线方向移动距离d时，电场力做的功为A，则平QR的电荷面密度QR

=空中有一半径为R的半圆细环，均匀带Q，如图所示。设无穷远处为电势零点，则O点处的U0

，若将 带电量为q的点电荷从无穷远处点，则电场力做功

一偶极矩为p的电偶极子放在场强为E的均匀外电与E的夹角为角。在此电偶极子绕垂直于(pE)平面角增加的方向转过180o的过程中，电场力做功=2pEcos电量Q，将一个点电荷q(q<<Q)从球内此过程中电场力做功A=

A R Qq 10 0 处处为零；若电势随空间坐标作线性变化，则该区域的场强分不为零的恒量(或均匀分布)。一均匀静电场，电场强 ，E，E点A(3，2)和点B(1，0)之间的电势差UAB=2 (x、ymd一均匀带电直线长为d，电荷线密度为d面，如图所示，则通过该球面的电场强

；带电直线的延长线与球面交点处的电场强度的大小为π04R2d2，方向沿矢径OP气球的过程中，半径由r1r2。若选取无穷远处为电势零点，则半径为R(r1<R<r2) 面上任一点的场强大小由q/(40R2)变为 ；电势U由q/(40R)q/(40r)R1，均匀带有Q；外球壳半径为间、距离球心为rP点处电场强度的大小与电势分别为：E

1

14π0r

R2一孤立带电导体球，其表面场强的方向垂直于表面；当场强的方 仍垂直于表面 大平板，面积均为SA+Q1B+Q2B板接地AB间电场的大小

Q1/(0S)

=如图所示，把一块原来不带电的金属板，移近一块已带有正电荷Q的金属板，平行放置。设两板的面积都是S，板间距离是d，忽略边缘效应。当B板不接

+++++++++++ 地时，两板间电势差U

=Qd/(20S)B板接地时，UAB Qd/(0S)一“无限大”空气平板电AB的面积两极板间距为d。联接电AA=VB板电B=0。现将一带电量为q，面积也为S而厚度导体片C，平行的插在两极板中间位置(如图所示)，则C片的电势C= 解设导体片C两面带Q1、，则AC、CB间场强分别d d B地VE1

0S

E2

0SVQ1dQ20S 0Sq=Q1+联立解出Q1、Q2

CQ2d1V 0S 2 20S 分布为q1+q2。在金属球外远处放一点电荷q(r>>R)，则q1受力F1=0 ；q2受力F2=0

ROrq一空气平行板C，两极板间的距离为d。充电后若两极板间的作用力大小为F，则两极间电压为，极板上电量为。 Q2F20SF20SFUQC

20S22Fd一均匀带电长直导线，电荷线密度为，则 ， 场强度通量

如图所示，在边长为a的正方形平面的中垂线上、距中心O点a/2处，有一电量为+q的 n通过该平面的电场强度e=q/(60)位移通量为D= A、B为两块无限大均匀带电平行

O

板间和两板的左右两侧充满相对介电常数为

E

E的各向同性均匀电介质。已知两板间的场强 小为E0，两板外的场强均为E0/3，方向如所示，则A、B两板所带电荷面密度分A -20rE0/3B 40rE0/3常数为r的均匀介质，设两筒上单位长度的带电量分别为–。则介质中的电位移矢量D=/(2r)，电场=0)Q，球外套一内外半径R1R2的同心球壳Br1、r2、r3、r4分别代表图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ区域内任一点至球心O的距离，若球壳为导体时，各点电位移矢量的大小分别为D1= QQD2 2；D3= ；D4

Q4πr若球壳为介质壳，相对介电常各点电场强度的大小分

Q E

；E=Q4πr 0 E=Q4πr E=Q4πr Ⅲ r3；

04。 此时以无 则A球的电U

4π0

r r

R2一无限长均匀带电直线，电荷线密度为>0。在它的电vq用下，一质量为m，电量为q0的质点以该直线为轴线vq偶极

E+-的电偶极子在场E+-均匀电场中受的合力为F=一 偶极子所受的合力矩M=p (为已知第三部 计算[例]己知：均匀带电圆环R，线电荷密1，其轴线上放一长为L，线电荷密度为2的均匀带电直线AOa，见图，求：直线段AB受的电场R解：思路——直线段AB处在 R均匀电场中 所受的电场力 FdFQ

2dq 0(1)0dq所在处场强

ˆ ＿dq所受力dF

R2 dFEdq

FQdF

aL

3 20x2R22R 2

R2 方向

R R 解左棒在x处的电

1

O dx x0E 4π0

lxdx所受电场力为dFE(x)dqE(xdxFdF

2l

4π

xlx

2l

ln2ll

ln4π0ln

ll

4π

[例真空中有一无限b的薄平板，均匀带电，面电荷密度(>0)。求：(1)与平板共面且到平板中分线的距离为d1(d1b/2)P1点的场强。(2)过中分线的垂线上到平板距离为d2P2点的场强。把平板分成许多平行于中分线 窄条，每个窄条都视为匀带电直线。建立如图所示坐 系，考虑其中一个窄条，其坐 为x，宽为dx，线电荷密度

dE1

2π0d1

dE1x方向沿x轴正 b

2E1dE1

db2π0d1 x x 2π

ln2d12d1

方向x轴

dE1向dE2

方向如 2πd2x2 荷元产生的场强方向不同，所以需要分dE2xdE2 12πd2x2 1 2πd2x2 dE2

22πd2x22

x2xy2dxy2d2x2212d2Obxx 2πd2x2 b

也可由电E2

dE2

2π2 b

x2

2E2ydE2y

2 b2

2πd

b

0 2

2b

xOx dE1讨论(1)对P2bd2时，即无限大均匀带

2d2 E2E2

20

2d2

y即：无限大均匀带电平面两侧是匀强电场 E垂直带电平 指向远离平面的方向 0, E垂直带电平面

xO OdE1讨 (2)对P1点，当d1>>b ln2d1b ln1bx

2d1 1b0 0

bln(11

2d1

2d1x

1 b 1 b2 2π0 22d1 22d1 此时，无限长均匀带电平板可视为无限长带电直[例]R=0cos，dq=dlO

dE

0cos

x4π0R2 4π0R2

所以O点y方向Ey= E4Rx方向dEx

dEcos0dcos2 4π0RExdEx 2πcos2d 4π0R 40R例求无限d的带正电厚壁的电场分布。已建立坐标系如图所示，体电kx(k为常数)。解：(1场强叠加法=很多无限大薄板。xx/处dx/厚的薄板的面电荷密x(x)

dx(x)dxO d

x2x2 d(x)dx

EdE

20

xdx

40同理x<0，场强也为此值，方向向其右侧的薄板在该点的场强向左，所以总场强E(x)

x

(

x

d

0

x (2) 定理。厚壁两侧的场强大小相等，方向相反Sx<0，x>d，取柱 面(上)。 S2ESdSxdx

Skd

Ekd2

SS0xd范围内的E1时，取一个底面在板的柱 面(下)0ESE1S x0

0

所以待求厚板的场强分布 kd240，x E(x)k2x2d240，0x kd

40， x

-

抛物 kd24，x E(x)kx2d2

40，0x

-00

4 x

抛物板外仍板内电场为非均匀电场，电场强度由-E0变至中间有一处场强为零，由场强分布知该x 2(rR0r>RA为一常数。试求球体内外的场强分解：在球内取球壳电荷元dqdV4πr2drdqAr4πr2drr1的球内q11q1VdqV1r10r10

Ar4πr

drAπrE内在球内作半径为r1 面1应 定理1

＿e1SE1dSe1

4πr

11E14πr2110

Aπr4E内E内 ＿Ar01 E在球外作半径为r2 面应 定理2E24πr2

AπR4 内2内2r0E外AR440rr

4r 例：一段a的细圆弧，对圆心的张0，表示出圆心O处的电+ + YqE

02π0a 解：取点电荷元 dq dl adqd dqO处产生的

ˆdE

4π0a2

ˆ 建立坐标XOY，圆弧与Y轴对称解dEExdE dEydE 由对称性E= E

q

x

y y0

4π0a2 00

24π

cos

2L。求：距圆柱面一a的轴线上PEP=RaPRaP E a2R2a2R2L知：均匀带QR。求：距圆柱a的轴线上PEP= E

a2

R2La2 qEx

q ˆ4π02P 2 4π02P具体求解选取环状电荷元建立坐OP处写出dqPR

dqL

dEx

00Rx2232总场强Ex

Q

0R2232La

QxdxExQdEx

La

Qx44L0222Q1Ex

a2R2R2La2R2R2LEEExˆ例：半径为R的球内挖一半径R的球形空腔，线中P的场强aR。这个带电体不具有球 上，其电荷密度也是，这个半径为R的均匀带电球P点场强可 定理求得

PO E 4π0R3

q43E 方向 再设空腔，即视为电荷体密度为的均匀带电球定律可得，它在P点产生场强的

RPO E'E'

4π0a230a2

q'43方向R电荷体密的均匀带电球和半R R'3EPE

a30

a2

方向例：设电荷体X轴方向按余弦0cosx分布在整个空间，0为其幅值，试求空间的场强分布。解：由题意知，电荷沿化，可判断场强E方向必沿 轴方向E相对YOZ轴平

YOZ平 - 在x处作与X轴垂直两个相同的平面S，用与X轴平行的侧面将 面，如图所示

SEdS(VdV)0SEdSVdVS0xcosxdx2S0sin2SE2S0sinx0方向E值正、负确定E0sinx0

E0X轴正向E0X轴负径为R的无限长圆柱形带电体，电荷体密度为Ar(rR)，r为距轴线距离，A为常数。选距轴线距L(L>R为电势零点。计算圆柱 r为l的同轴圆柱面 面r2πrlEqint0 0qint0

rAr2πrldr

2πAlr3E

Ar (r rl的同轴圆柱面 面r2πrlEqint0 0qint0

RAr

2πAlR3E

(r

1 内部电势LEdr Ar2dr 0 0

R AR3r3AR3ln LAR3 外部电势rEdr

rdr ln [例 己知：电荷线密度为，长为L的均匀带电棒，其中线上一点q。现将qD点沿1/4圆弧移到B点，且OD=a，a>L/2。求：电q做的功。解：按定义——ADB=q(D- D求出D= B=dq=dx Ld2L

x2

0L2 0

L2

1

2a2π0