函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数y＝f（x）中的自变量x的范围。求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。（3）对数中的真数部分大于0。（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y＝tanx中x≠kπ＋π/2；y＝cotx中x≠kπ等等。（6）中x二、值域是函数y＝f（x）中y的取值范围。常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法（4）配方法（5）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法（8）判别式法（9）复合函数法（10）不等式法（11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。三、典例解析1．定义域问题例1求下列函数的定义域：①；②；③解：①∵x－2＝0，即x＝2时，分式无意义，而时，分式有意义，∴这个函数的定义域是.②∵3x＋2＜0，即x＜－时，根式无意义，而，即时，根式才有意义，∴这个函数的定义域是{|}.③∵当，即且时，根式和分式同时有意义，∴这个函数的定义域是{|且}另解：要使函数有意义，必须：例2求下列函数的定义域：①②③④⑤解：①要使函数有意义，必须：即：∴函数的定义域为：[]②要使函数有意义，必须：∴定义域为：{x|}③要使函数有意义，必须：∴函数的定义域为：④要使函数有意义，必须：∴定义域为：⑤要使函数有意义，必须：即x＜或x＞∴定义域为：例3若函数的定义域是R，求实数a的取值范围解：∵定义域是R,∴∴例4若函数的定义域为[1，1]，求函数的定义域解：要使函数有意义，必须：∴函数的定义域为：例5已知f（x）的定义域为[－1，1]，求f（2x－1）的定义域。分析：法则f要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x－1上必也要求2x－1在[－1，1]内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f（2x－1）中2x－1与f（x）中的x位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。（注意：f（x）中的x与f（2x－1）中的x不是同一个x，即它们意义不同。）解：∵f（x）的定义域为[－1，1]，∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1，∴f（2x－1）的定义域为[0，1]。例6已知f（x）的定义域为[－1，1]，求f（x2）的定义域。答案：－1≤x2≤1x2≤1－1≤x≤1练习：设的定义域是[3，]，求函数的定义域解：要使函数有意义，必须：得：∵≥0∴∴函数的定域义为：例7已知f（2x－1）的定义域为[0，1]，求f（x）的定义域因为2x－1是R上的单调递增函数，因此由2x－1，x∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f（x）的定义域。已知f（3x－1）的定义域为[－1，2），求f（2x＋1）的定义域。）（提示：定义域是自变量x的取值范围）练习：已知f（x2）的定义域为[－1，1]，求f（x）的定义域若的定义域是，则函数的定义域是 （）A． B C． D．已知函数的定义域为A，函数的定义域为B，则 （）A． B．B C． D．2．求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y＝ax＋b（a0）的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；二次函数的定义域为R，当a＞0时，值域为{}；当a＜0时，值域为{}.例1求下列函数的值域①y＝3x＋2（－1x1）②③（记住图像）解：①∵－1x1，∴－33x3，∴－13x＋25，即－1y5，∴值域是[－1，5]②略③当x＞0，∴＝，当x＜0时，＝－∴值域是[2，＋）.（此法也称为配方法）函数的图像为：二次函数在区间上的值域（最值）：例2求下列函数的最大值、最小值与值域：①；②；③；④；解：∵，∴顶点为（2,－3），顶点横坐标为2.①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，∴x＝2时，ymin＝－3,无最大值；函数的值域是{y|y－3}.②∵顶点横坐标2[3,4]，当x＝3时，y＝－2；x＝4时，y＝1；∴在[3,4]上，＝－2，＝1；值域为[－2，1].③∵顶点横坐标2[0,1]，当x＝0时，y＝1；x＝1时，y＝－2,∴在[0,1]上，＝－2，＝1；值域为[－2，1].④∵顶点横坐标2[0,5]，当x＝0时，y＝1；x＝2时，y＝－3,x＝5时，y＝6,∴在[0,1]上，＝－3，＝6；值域为[－3，6].注：对于二次函数,⑴若定义域为R时，①当a＞0时，则当时，其最小值；②当a＜0时，则当时，其最大值.⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若[a,b],则是函数的最小值（a＞0）时或最大值（a＜0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：1.求函数y＝3＋√（2－3x）的值域解：由算术平方根的性质，知√（2－3x）≥0，故3＋√（2－3x）≥3。∴函数的值域为.2、求函数的值域解：对称轴例3求函数y＝4x－√1－3x（x≤1/3）的值域。解：法一：（单调性法）设f（x）＝4x,g（x）＝－√1－3x,（x≤1/3）,易知它们在定义域内为增函数，从而y＝f（x）＋g（x）＝4x－√1－3x在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f（1/3）＋g（1/3）＝4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数y＝3＋√4－x的值域。（答案：｛y|y≥3｝）法二：换元法（下题讲）例4求函数的值域解：（换元法）设，则点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y＝√x－1–x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝例5（选）求函数的值域解：（平方法）函数定义域为：例6（选不要求）求函数的值域解：（三角换元法）设小结：（1）若题目中含有，则可设（2）若题目中含有则可设，其中（3）若题目中含有，则可设，其中（4）若题目中含有，则可设，其中（5）若题目中含有，则可设其中例7求的值域解法一：（图象法）可化为如图，观察得值域-1-10134-4xy-103解法二：（零点法）画数轴利用-103解法三：（选）（不等式法）同样可得值域练习：的值域呢？（）（三种方法均可）例8求函数的值域解：（换元法）设，则原函数可化为10xy10xy例9求函数的值域解：（换元法）令，则由指数函数的单调性知，原函数的值域为例10求函数的值域解：（图象法）如图，值域为例11求函数的值域解法一：（逆求法）解法二：（分离常数法）由，可得值域小结：已知分式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。例12求函数的值域0011解法一：（逆求法）小结：如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围，可采用逆求法。解法二：（换元法）设，则001练习：y＝；（y∈（－1，1））.例13函数的值域解法一：（逆求法）2解法二：（换元法）设，则2解法三：（判别式法）原函数可化为时不成立时，综合1）、2）值域解法四：（三角换元法）设，则原函数的值域为110例14求函数的值域5解法一：（判别式法）化为51）时，不成立2）时，得综合1）、2）值域解法二：（复合函数法）令，则所以，值域例15函数的值域解法一：（判别式法）原式可化为解法二：（不等式法）1）当时，时，综合1）2）知，原函数值域为例16（选）求函数的值域解法一：（判别式法）原式可化为解法二：（不等式法）原函数可化为当且仅当时取等号，故值域为例17（选）求函数的值域解：（换元法）令，则原函数可化为。。。小结：已知分式函数，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为（选）的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数的单调性去解。练习：1、；解：∵x0，，∴y11.另外，此题利用基本不等式解更简捷：（或利用对勾函数图像法）2、0＜y5.3、求函数的值域①；②解：①令0,则,原式可化为,∵u0，∴y，∴函数的值域是（－，].②解：令t＝4x0得0x4在此区间内（4x）＝4，（4x）＝0∴函数的值域是{y|0y2}4.求函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域.解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}.解法2：∵函数y＝|x＋1|＋|x－2|表示数轴上的动点x到两定点－1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，＋].如图5、求函数的值域解：设则t0x＝1代入得∵t0∴y46、（选）求函数的值域方法一：去分母得（y1）＋（