英才学院数学建模示例09入围

问题的重 问题的分 1、基本模型的建 2、问题I的模型求 3、问题II的模型求 4、问题III的模型求 1、基础模型的检 4、数据灵敏度分 八、附 摘及每个顾客的平均服务时间，并利用little，来模拟顾客平均等待时间以及顾客LINGO进行求解，用完成函数求解以及图像的生成.3、我们得到了在不同时间段的窗口的优化管理方案，以及不同的窗口数对方案的【 排队论灵敏度分析线性回归优化管一、问题的重述与分问题的重是大学生的就餐场所但是就餐时间拥堵的却给师生带来诸多烦恼.，，近正在排队人数的多少，价格，菜品质量的好坏环境等.在考虑提高学校食，，问题的分观察发现，一般同学在买完饭后都能找到座位吃饭，故我们可认为，的容纳学生数是足够的，所以解决拥挤状况，主要是解决排长队与服务窗口的问题.窗口与就餐人员之间是服务机构与顾客的关系,可以用服务系统模型来表示.1由排队服务系统的基本概念可将买饭菜的情况看做为等待制排队模型立，且服从参数为的负指数分布（Poisson，服务台的服务时间也是独立同分布，且服从的负指数分布，而且系统空间无限，允许排队.二、模型假、、2I3、经观察发现，中午期学子最多开放20个窗口.由于观测时间有限，不能对指数分布.学子每个学生的平均被服务时间为10秒且服务员之间的差异忽略不计.，，6、经，多数同学认为午餐时间排队时超过10人时就会产生厌烦情绪，但中午就餐10-20长度分为两类，取中数15作为区分大队和小队的依据，小于等于14人为小队，大于等于15人为大队，且期的大队是我们主要考虑的问题对象.三、符号说明与术语解7.:所开窗口数四、模型的建立与求1、基本模型的建识,tk的概率为: ,k=1,2,……,其中第ntP(Vn≤t)=其中μ＞0. LsL

１Ｌ＝Ｌ＋

11 其中S是服务台或者服务员的个数，load是系统负荷，即RT，R是顾客平均被服务数，TWqPwait

S

其 S

无穷.当loadS时，式（6）无意义，其直观的解释是，当系统负荷超过服务台的个数顾客的平均逗留时间（Ws，队长（Ws，和等待队长（Lq，这三个值可由Little公 WsWqWq

L

LW

基于以上为了使模型便于求解,假定每工作人员的打饭效率相同,每个窗mx1x/m的情况来讨论.又假定服务系统的容量无限,来到就餐的学生不会在未打好饭之前离去.这样,得到一个输入过程为最简单流,服务时间为负指数分布,1个服务台,系统容量无限,顾客源无限的等待制排队模型.2、问题I的模型求学子5月6号（星期五）11:50至12:20之间,每3分钟为1个时段,统计到达11:50—711:53--11:56—19511:59--20412:02--910712:05--12:08--212:11--12:14----12:17---图表注：排队的表面现象指当时队伍中大队和小队的数目，人数≥15为大队，≤14为小 时段多个窗口10名顾客接受服务的时间进行统计，如下表43.52.521.8-20.8-1时间

图表1LINGO（11:50-11:56时间段：单位时间内顾客到达的平均数=42171 2顾客的平均等待时间图表经过期前的人数滞留可认为是0人/队11:56-12:02单位时间内顾客到达的平均数=331356114.5 2顾客的平均等待时间图表：由程序以及所显示的图像（见附件2）可知时段的人数滞留在下一时10：12:02-12:081337935.33/ 2顾客的平均等待时间图表012:08-12:14402510.87/ 2顾客的平均等待时间图表12:14-12：2020135.5/ 23、问题II的模型求为，极少数会只一个素菜然后离开，那么了素菜之后大多数同学会什么呢？在清水河畔的一个投票给出了答案.图表这说明，大部分素菜的同学会第二次排队荤菜或卤肉9（区域与窗口数不等同：窗口（区43.52.521.8-210.8-1人数（人图表由表格可知：在时段素菜区的等待人数跟3～4元区的等待人数比起来，可将素菜区的窗口看做小队.再加上在时段一元区队伍比较短，可几乎认为没有交通和打饭菜的压力.然而3～4元区的等待人数过多，每队超过20人.但是荤菜与桌椅间的通道，以及拐角处的通道的横向长度最多允许约18人排队，如图表10中箭头所示.同学买完饭后还需离开卖饭窗口及排队人群，寻找座椅.这时内人流方向，堵得泄不通，交通状况极其恶劣，阿姨打饭菜的压力很大，顾客对的满意度大幅降低图表由此可看出，3～40.8～13～42为什么不将素菜搬至卤肉区呢？这与的建筑结构有关.素菜与荤菜均属于炒菜，在的左侧销售，从烹饪到搬运，便于炒菜的搬运.卤肉区距离较远，搬运不便.LINGO（3）得到：顾客的平均等待时间4、问题III模型求解由于为了解决排队人数过长，价格问题和菜品质量问题，我们提出可增加一个特色菜区，以此来平衡的经济效益LINGO（4）得到：顾客的平均等待时间五、1、基础模型的检在基础模型的基础上计算出的期大队平均排队人数为：19.86人，与学子2、趋势线分析（回归分析图表趋势线的数据系列有多种，其中，多项式趋势线适用于数据波动较大的情况.多项R01.R1比较，当多项式阶次为6时，R=0.974，多项式方程为即得R=0.987.说明该趋势线经观察，11:50时内等待买饭菜的人数只有几十人，平均每个窗口3-5人，可11:50g：每分钟进入人数买完饭的人数 3、窗口服务状况及相应的管理分11:50-11:5611:56-12:0212:02-12:0812:08-12:144、数据灵敏度分对于期的窗口数量和平均等待时间的分析如下窗口数量（个平均排队时间（秒灵敏度分 如下

qS(n,W)Wq/q

Wq/0105、窗口数的优化设5.1219922481748窗口会给带来一定的成本压力.至于小于20个，从表中可以看到，排队时间会大口设置为22个或21个,可有效缓解期的压力.5.22对于学生来说，当然是排队等待时间越短越好，即22个窗口更佳.但对于来一般来说，每增加一个窗口，需要多配备1.5名服务人员以及一些配套的设施， 每分钟可收益a 服务，每等待1分钟，就损失a元.所以我们得到等待损失等于 得知校服务人员工资为1000元，即每周平均250元.配套设施 ，估算为每周100元.由此可知，每增加一个窗口，的成本每周会增加363元.在消费时，学生选的菜不同，菜的利润也不同.经，学子餐厅周一至周五中午需要米饭22箱，每箱50斤.在就餐的同学85%为男生，每人食用3两.而极数同学是食用面试等的，不消费米饭，但15%的一般食用1-2两米饭，将这部分314235因此，平均从每个学生身上获得利润1.3元.平均每个同学的被服务时间为10101.3记M=学生因等待而使发生的损失/分钟，M=期到达人数/分钟系统空闲率排队时间1.3元/10秒60秒/计算得，窗口从21增加至22时，即每分钟多赢利418.5元.期持续6分钟，故一个中午共可多赢利2511.5元，远大于增开窗口的成本.由此可知，在期最佳窗22，可获得的利润.综上，在期最佳窗口数为22个六、模型的评价与改优点在于对原始数据进行多种修正,采用多种方法进行,使之愈来愈完善,具有很高信息并且,所得结论与客观事实很好地吻合,从而进一步说明模型是合理的。其次，七、参考文[1]谢金星，。优化建模与LINDO/LINGO软件，[2]。排队论在学校服务中的应用，《和田师范专科学校学报》经过实 我们发现，对于现有的现象我们有如下结论 (4)：环境不同，比如学子的采光率要好，明亮，家园餐厅环境优雅1、对于学子以及思源餐厅，建议撤去靠近队伍的桌椅（4分析：对于此处，由前面数据可知，期，队伍长度有X人，队伍长度为Ｙ米,近似等于买饭窗口到桌椅距离，仅有很小的通道来保证交通，且由桌椅分布图（思源餐厅）知（见图1），热菜区域（买饭主要区域），仅有两个出。其中要出（连接主干道的出）处， 期排队人员、进入排队系统的人员、打好饭离开排队系统的人员造成了拥堵，交通效率低，导致排队等候时间增加，顾客的满意度下降。经实地观察和对的意见，我们建议去掉图中的黄色阴影部分桌椅后，将为热菜区增加两个2、对于各个餐厅，建议提供菜品栏（可以位于窗口上方，并且及时更新分析：工作人员的打饭效率为10s/人，而其中，至少有两秒以上的时间是顾客选取想要的菜种，经常发生排了队但是发现没有想要的菜品的现象发生。对于以上现象我们决定提供菜品栏，让在后面排队的人员不接近窗口也能知道菜品的信息，使师生更快速的选择队伍，并且减少因来回观察而导致的交通混论状况。并且，也加快工作人员的工作效率，提高了利润。33-43-4分析：素菜区在最时期的排队人数大约为10-12人，为其他窗口的一半，且由图学生食物搭配的投票统计可知：由于排队时间以及交通拥挤问题，导致素菜虽然是大家想要的，但是很少有人去买（因为这样会增加师生的排队时间）。将素菜与其他热菜相搭配（每个窗口一个，则一次排队可以选择附近一共三种素菜，基本满足要求），可使其他窗口营业额不变，素菜营业额上涨，并且可为其它菜区提供窗口。由之前的敏感性分析可知，增加的窗口数，将极大的缓解顾客群的平均服务时间。综上，建议撤去素菜专区，将素菜分配到各个热菜窗3-44、建议改进的通气系统饮食环境，以此来增加就餐人数，从而提高经济效益。52-3 八、附附件Feasiblesolutionfound. i11:56-12:02

0 E- Feasiblesolutionfound. E- 12:02-12:08

NSW_q=Pwait*T/(S-RE-TFeasible 012:08-12:14

NSW_q=Pwait*T/(S-RE-TFeasiblesolution i0附件计