全国各地中考数学真题分类解析与圆有关的压轴题

数学精品教学资料中考数学类汇编——圆有关的压轴与圆有关的压轴题，考点涉及：垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；相似三角形的判定和性质；勾股定理；特殊四边形性质；等数学思想涉及：数形合；分类讨论；化归；方现选取部分省市的年中考题展示，以飨读者.【题2014年苏南京题）如图，在eq\o\ac(△,Rt)ABC中ACB=90°，=4，，⊙O为ABC的切圆．（1求O的径；（2P从B沿向以1cm/s的度匀速运动P为心长为半径作，设点P运的时间为s，若⊙与O切，求t的值．【分析圆的半径，因为相切，我们通常连接切点和圆心，设出半径，利用圆的性质和直角三角形性质表示其中关系，得到方程，求解即得半径．（2考虑两圆相切，且一圆已固定，一般就有两种情形，外切与内切．所以我们要分别讨论，当外切时，圆心距等于两圆半径的和；当内切时，圆心距等于大圆与小圆半径的差．分别作垂线构造直角三角形，类似）通过表示边长之间的关列方程，易得t值．【解图1设⊙O与AB、、CA的点分别为D、、，接OD、OE、OF则AD=AF，BDBE，=．∵⊙O为内切圆，

∴OF，⊥BC，即∠=∠OEC．∵∠=90°，∴四边形CEOF是形，∵=，∴四边形CEOF是方形．设⊙O的径为，则FC=OE=rcm，在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠ACB，cm，BC=3，∴=．∵AD==﹣FC﹣r，BE=BC=3﹣r，∴4r﹣r，解得r，即⊙O的径为．（2如图，过点作PG⊥BC垂直为．∵∠=C=90°，∴PG．PBG∽△ABC，∴

．∵=t，∴=

，BG=

．若⊙P与O切，则可分为两种情况，P与O外，与⊙O内．①当⊙P与⊙O外时，如图，连接，则OPt，过点P作⊥，垂足为HPHE=HEG=PGE，∴四边形是形，∴HE=，PH，∴=﹣HE=1﹣在eq\o\ac(△,Rt)OPH中

，=﹣EC﹣BG﹣1﹣

=2﹣．由勾股定理，

，解得t=．②当⊙P与⊙O内时，如图，连接，则OPt﹣1，过点O作⊥，垂足为M．∵∠MGE=∠∠OMG=90°，

2222∴四边形OEGM是形∴=OE，OM=EG∴=﹣MG=在eq\o\ac(△,Rt)OPM中由勾股定理，

，EG﹣ECBG=3﹣﹣

﹣，，解得t．综上所述，与O相时，ts或t．【点评题查了圆的性质、两圆相切及通过设边长，表示其他边长关系再利用直角三角形求解等常规考查点，总体题目难度不高，是一道非常值得练习的题目．【题泸题）如图，边形内接于⊙，是的径AC和相交于点E，且CE．（1求证=CD；（2分别延长AB，交点，点A作⊥CD交CD延长线于点F若OBCD=

，求DF的．【考点相三角形的判定与质；勾股定理；圆周角定理．【分析（）求出△∽△CAD，∠CDB=∠DBC出结论．（2连接先∥OC平行线分线段成比例性质定理求得=再由割线定理PCPDPA求半径为，根据勾股定理求得AC=

，，再证明△AFD∽△，

，则可设FD=，AF=

，在eq\o\ac(△,Rt)AFP中，求得DF=【解答（）证明：∵，

．

∴

=

，△∽△，∴∠=，∵四边形内于⊙，∴=CD；（2解：如图，连接，∵=CD，∴∠=CAB，又∵AOCO，∴∠CAB∠ACO∴∠=，∴∥OC∴

=

，∵PB=，CD=

，∴

=∴又∵PD=PBPA∴=4也就是半径OB=4在，=

=

，∵AB是径，∴∠ADB=ACB=90°

∴∠FDA+∠BDC=90°∠CBA∠=90°∵∠=CAB∴∠FDA=∠又∵∠AFD∠ACB∴△∽△∴在eq\o\ac(△,Rt)中设FD=，则

，∴在△APF中有，

，求得DF

．【点评本主要考查相似三形的判定及性质，勾股定理及圆周角的有关知识的综合运用能力，关键是找准对应的角和边求解．【题】（济宁21题阅读材：已知，如图面为ABC中=a=bAB=，内切圆O的径为r．连接OA、、OC△被分为三个小三角形．∵S+=•r+ACr•r（a+b）req\o\ac(△,S)∴=

．（1类比推理：若面积为四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆2各边长分别为AB=，=，=，AD=d求四边形的内切圆半径r（2理应用如（腰形ABCD中∥DC=21AD⊙O

1与⊙O分为ABD与△的切圆，设它们的半径分别为r和r求212

的值．

【考点】：圆综合题．【分析】）已知已给出示例，我们仿照例子，连接OAOBOC，四边形分为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似．仿照证明过程r易．（2）已告诉我们内切圆半径的求法，如是我们再相比即得结果．但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据等腰梯形性质，过点作垂，一步易得BD长，则r、r、12

易得．【解答】）如图2，连接OAOB、．∵S+++=AOBCODeq\o\ac(△,S)．∴r=

++=

，（2如图，点D作DE⊥于，∵梯形ABCD为腰梯形，∴AE∴EB=﹣=21﹣．在eq\o\ac(△,Rt)AED，∵，AE，∴，∴=∵ABD=

．==

=126，=66∴

===

．

【点评】：本考查了学生的学习、理解、创新新知识的能力，同时考查了解直角三角形及等腰梯形等相关知识．这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，是一道值得练习的基础题，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力的培养．【题4】2014.福州20如图，在，∠=45°∠=60°为BA延线上的一点，且D∠ACBO为的外接.（1求BC的；（2求O的径【解析】

AB

，点D∴

（2由（）得，在eq\o\ac(△,Rt)ACE中∵=30°，EC

3

，∴=

2

∵∠∠ACB∠B∠，∴BAC∽△BCD.

ABAC2，.CBCD

∴O的径为【考点】：1.锐三角函数定2.特殊角的三角函数值；3.似三角形的判定和性质圆周角定理5.圆内接四边形的性质6.30度直角三角形的性质勾定理.【题】（2014.广州题如图梯

中，，

，

，，

为线段

上一动点（不与点

重合），

关于

的轴对称图形为

，连接，设

，

的面积为，

的面积为

．（1当点

落在梯形

的中位线上时，求的；（2试用表，写出的值范围（3当

的外接圆与

相切时，求

的值．【答案

为梯形

的中位线

作于点，有：

在在

中，有中，又解得：（2如图，

交

于点，

与

关于

对称，则有：又

，又

与

关于

对称，（3如图，当的外接圆与的圆心落在的中点，设为则有，点作

相切时，则

为切点

，连接，则又解得：（去）

①②③【题】（2014湖州题）已知平面直角坐标系xOy中O是标原点，以（11）为圆心的⊙P与x轴y轴别相切于点M和点，F从M发，沿x正方向以每秒个单位长度的速度运动，连接，点PE交轴于点E，点F运动的时间是t秒（＞0（1若点E在轴负半轴上（如图所示：PE=PF；（2在点F运过程中，设OE=a=b试用含代数式表示；（3作点F关点M的对称点，过M、和F三的抛物线的对称轴交轴点，连接．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点QO为顶点的三角形与以点PM为点的三角形相似？若存在，请直接写出t的若不存在，请说明理由．【分析接，运用≌△PNE证明，（2分两种情况①当＞1时点在y轴负轴上，0＜≤1时，点E在轴正半轴或原点上，再根据）求解，（3分两种情况，当1t＜，当t＞时三角形相似时还各有两种情况，根据比例式求出时间t．【解答证明）图，连接PM，∵⊙P与x轴轴别相切于点M和点N，∴⊥MF，⊥ON且PM=，=PNE=90°且∠=90°∵PE⊥PF∠NPE∠MPF﹣∠MPE，

在△和△PNE，，PMF≌△PNE（∴，（2解：①当t，点在y的负半轴上，如图，由（）得△≌△，∴=MF=t，PMPN，∴b=OM+MF=1+t，a﹣ONt﹣1∴bat﹣t1），∴，②0t≤1时如图2，点在y轴正半轴或原点上，同理可证△≌△PNE∴b=OM+MF=1+t，aON﹣﹣t∴b=1+﹣=2，∴b=2﹣，（3如图）当1＜t＜2时∵（1+t和F关于点M对，∴（1t，）∵经过M、和三的抛物线的对称轴交轴点Q，∴Q﹣t，0∴OQ﹣t由（）得△≌△PNE∴NE=MFt，∴OEt当△∽△∴

=

∴

=

，解得，==

，当△OEQ∽△MFP时∴，，解得，=

=

，（Ⅱ）如图，当t＞时∵（1+t和F关于点M对，∴（1t，）∵经过M、和三的抛物线的对称轴交轴点Q，

∴Q﹣t，0∴OQ=﹣1由（）得△≌△PNE=MF=，∴=﹣1当△∽△MPF

=

∴

=

，无解，当△∽△时∴

=

，

=

，解得，=2±

，所以当t=

，=

，=2±

时，使得以点QO、E为顶点的三角形与以点P、、为顶点的三角形相似．【点评题要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角形相结合找出线段关系．【题】2014宁木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心、O分在CD、AB，半径分别是O、OA，两个外切的半圆拼成1一个圆；方案三：沿对角线AC矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案四：锯一块小矩形BCEF拼矩形AFED下，利用拼成木板锯一个尽可能大的圆．（1写出方案一中圆的半径；（2通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3在方案四中，设（＜x＜），圆的半径为y．①求y关的数解析式；②当x取值时圆的半径最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．

【考点】：【分析】：【解答】：

圆的综合题（1观察图易知，截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为，2那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为．（2方案二方案三中圆的半径是常规的利用勾股定理或三角形相似中对应边长成比例等性质解直角三角形求边长的题目．一般都先设出所求边长后用关系代入表示他相关边长案中可利用eq\o\ac(△,O)eq\o\ac(△,)1为直角三角形足股定理理方程三利eq\o\ac(△,用)AOM△后对应边成比例整理方程，进而可求r的．（3①类似（1）截圆的直径需不超长方形长、宽中最短的边，虽然方案四中新拼的图象不一定为矩形，但直径也不得超过横纵向方向跨度．则选择最小跨度，取其，为半径．由EC为，则新拼图形水平方向跨度为﹣x，竖直方向跨度为2+，则需要先判断大小，而后分别讨论结论．②已有关系表达式直接根据等式性质易得方案四中的最大半径与前三方案比较，即得最终结论．解：（）方案一中的最大半径为．分析如下：因为长方形的长宽分别为32那么直接取圆直径最大为2则半径最大为．

222222（2如图，方案二中连接，O，过O作OE⊥于E111方案三中，过点分作，BF的线，交于M，此时，N恰为⊙O与AB，切点．方案二：设半径为r，在eq\o\ac(△,Rt)E，1∵OO=2r，OE=BC，O=AB﹣AO﹣﹣2r，112∴（2r）=2（﹣2r），解得r

．方案三：设半径为r，在△和△OFN中，∴△AOM∽△，∴

，∴

，解得r．比较知，方案三半径较大．（3方案四：①∵EC，∴新拼图形水平方向跨度为﹣x，直方向跨度为2+．类似（），所截出圆的直径最大为3﹣x或2+x较小的．

【点评】：

．当3＜2+x时即当＞时，r=（﹣x）；．当3x，即当=时r（﹣）=；．当3＞2+x时即当＜时，r=（2+）．②当x＞时r=（3﹣x）＜（3）；当x时r（﹣）；当x＜时r=（）＜（），∴方案四，当x=时r最为．∵1＜＜，∴方案四时可取的圆桌面积最大．本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质讨论等内容，题目虽看似新颖不易找到思路，但仔细观察每一小问都是常规的基础考点，所以总体来说是一道质量很高的题目，值得认真练习．【题8（2苏28如图，已知l⊥l，⊙O与l，l都相切，O的径为，矩122形边AD、AB分与l，l重，AB=4，AD，若⊙O与矩形ABCD沿1l同向右移动，的动速度为，矩形的动速度为4/s，设移动时间为1t（）（1如图①，连接OA，则∠OAC的度数为105°；（2如图②，两个图形移动一段时间后到⊙O的置矩形ABCD到达ABD111的位置，此时点，，C恰在同一直线上，求圆心移动的距离（即的111（3在移动过程中，圆心O矩形对角线所直线的距离在不断变化，设该离为d（cmd＜2时，求t的值范围（解答时可以利用备用画出相关示意图

【考点圆综合题．【分析（用线的性质以及锐角三角函关系分别求出OAD，进而得出答案；（2首先得出，∠AD，利用=﹣OO﹣2=﹣2，求出t的值，111进而得出OO=3得答案即可；1（3①当直线AC与O第次相切时，设移动时间为t，②当直线AC与1第二次相切时，设移动时间为t，分别求出即可．2【解答解）l⊥l，与l，都相切，12∴∠，∵AB=4cm，，∴=4，∴tan∠==

，∴∠，∴∠的度数为：∠OAD∠=105°故答案为：105（2如图位置二，当O，，恰好在同一直线上时，设O与l的点为111

E，连接，可得O，OE⊥l，1在eq\o\ac(△,Rt)ADC中，AD=4，D111

，∴tan∠AD11

，∴∠D，111在eq\o\ac(△,Rt)AE中O=CAD=60°，1111∴==1

，∵AA﹣OO2=﹣，11∴﹣2=∴=

，+2，∴OO=31

；（3①当直线O一次相切时，设移动时间为t，1如图，此时⊙O移到O的置，矩形移到AD的位置，222设⊙O与线l，A分相切于点F，连接OF，O，OA，222∴OF⊥lO，2122由（）得，∠CAD=60°，∴∠F=120°，22∴∠OAF，22在eq\o\ac(△,Rt)A中，O，∴A=2

，∵OO=3，AF=+F=4+221

，∴4t+1∴﹣1

﹣3t，1，②当直线AC与⊙O第次相切时，设移动时间为，2记第一次相切时为位置一，点，，C共线时位置二，第二次相切时为位置1三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，∴

﹣（2

）t﹣2

+2解得：2

，

222222综上所述，当d＜时t的值范围是2﹣＜＜2+2

．【点评此主要考查了切线性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论以及数形结合t的是题关键．【题泰题如图平直角坐标系xOy一函数y﹣+（常数，＞）的图象与x轴、轴别交于点、，径为4的与轴正半轴相于点，与y轴交于点DE，点D在点E上方．（1若直线AB与①求∠的数；

有两个交点F、G．②用含代数式表示FG

，并直接写出b的值围；（2设b，线段上是存在点，CPE？若存在，请求出P点标；若不存在，请说明理由．【考点圆综合题【分析（）连接CD，，利用同一条弦所对圆周角相等求行CFE，（2作OM⊥点，接OF利用两条直线垂直相交求出交点的坐标，利用勾股定理求出FM，求出，根据式子写出b的围，（3当时直线与圆相切，存在点，∠CPE=45°，再利用两条直线垂直相交求出交点P坐标，【解答解）接CD，，

22222222222222222222222222∵直径，∴∠，∵CO⊥DE，且=，∴∠OEC=45°∴∠CFE=∠=45°（2①如图，作OM⊥点M连接OF∵OMAB，直线的函数为=﹣x+，∴所的直线函数式为y，∴交点M（∴（∵，

b）（

）），∴﹣OM=4﹣（∵=FG，∴FM=4×[4﹣

b﹣）﹣（

），b]=64﹣

=64×（﹣

∵直线与

有两个交点F、．

∴5，（3如图，当b=5时直线与圆相切，∵直径，∴∠，∵CO⊥DE，且=，∴∠OEC=45°∴∠CFE=∠=45°∴存在点，∠CPE=45°，连接OP，∵是点，∴OP⊥AB∴OP所的直线为=，又∵AB在的直线为：=﹣x+5，∴（，【点评本主要考查了圆与次函数的知识，解题的关键是作出辅助线，明确两条直线垂直时K的系．【题10(2014年苏徐州如图，矩形ABCD的=4cm点从点出发，沿射线AD移，为径作圆O，F为O与线的共点，连接EFCF，过点作EG⊥，与O相于点G连接．（1试说明四边形EFCG是形；（2当圆O与线BD相时，点停止移动，在点E移的过程中，

①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这最大值或最小值；若不存在，说明理由；②求点G移路线的长．【考点

圆的综合题；垂线段最短；直角三角形斜边上的中线；矩形的判定与性质周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．【分析（）只要证到三个内角等于90°可．（2易证点D在上，根据圆周角定理可得∠FDE，从而证到△CFE△，根据相似三角形的性质可得到=2=ABCDCFE

后只需求出CF的围就可求出ABCD

的范围．根据圆周角定理和矩形的性质可证到=FDE定，从而得到点的移动的路线是线段，只需找到点的点与终点，求出该线段的长度即可．【解答

解）明如图，∵为的径，∴∠CFE∠CGE．∵⊥EF，∴∠FEG．∴∠CFE∠CGE==90°．∴四边形EFCG是形．（2①存在．连接OD，图2①，∵四边形ABCD是形，∴∠