第1章 §5 5.1 正弦函数的图像

#§5正弦函数的图像与性质5.1正弦函数的图像学习目标核心素养1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲1.通过学习利用单位圆中的正弦线画正线的方法.（重点）2.掌握“五点法”画正弦曲线的方法弦曲线的方法，体会数学抽象素养.2.通过用“五点法”作出简单的正弦和步骤，能用“五点法”作出简单的正曲线，提升直观想象素养.弦曲线.（难点）自主预习Q探新如预习素养感打匚讀f知初探口1.正弦线如图所示，设任意角«的顶点在原点O,始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O相交于点P（x，y）,过P点作x轴的垂线，垂足为M.我们称MP为角a的正弦线，P叫正弦线的终点.思考1:在正弦线的定义中MP也可以写成PM的形式吗？正弦线是一条线段，这种判断对吗？［提示］MP不能写成PM的形式，因为正弦线是有向线段，既有大小又有方向.在函数y=sinx,x$［0,2n］的图像上，起着关键作用的有五个关键点:(0,0),(0,0),~11,（2n,0）.描出这五个点后，函数y=sinx,xe［0,2n］的图像就基本上确定了.因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线顺次将它们连接起来，就得到这个函数的简图.我们称这种画正弦函数曲线的方法为“五点法”.如图.思考2：描点法作函数的图像有哪几个步骤？［提示］列表、描点、连线.-i越同身手1.对于正弦函数y=sinx的图像，下列说法错误的是（）向左、右无限延展与y=-sinx的图像形状相同，只是位置不同与x轴有无数个交点关于y轴对称D［y=sinx为奇函数，关于原点对称，故D错误•］2.y=sinx的图像的大致形状为（）了」1-4厂・0-12-]D［答案］B用五点法画y=sinx,x^［0,2n］的简图时，所描的五个点的横坐标的和是.

5n［0+£+兀+寸+2兀=5n.］函数y=sinx在［0,2n］上的单调减区间为，最大值为33一33一21［由正弦函数的图像(图略)可知•］合作探究Q释疑难^^.1/“五点法”作图【例1】用五点法作函数y=l—sinx,xe［0,2n］的图像.［解］⑴列表：X0n2n3nT2nsinx010-101-sinx10121(2)描点、连线，图像如图."•规僅t方法n3n1.解答本题的关键是要抓住五个关键点•使函数中X取0,n，n,等,2n,然后相应求出y值，再作出图像.2•五点法作图是画三角函数的简图的常用方法,这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向.跟进训密跟进训密1.(1)作出函数y=2sinx(0WxW2n)的图像；(2)用五点法画出函数y=sin2x(0WxWn)的图像.

［解］(1)列表:Xo兀一2兀33一222XnS1oo-oo2o2-o描点作图:JV3-K肚7-2\2⑵列表:x0n4n23n才n2x0兀一2n3n~22nsin2x010-10描点得y=sin2x(0WxWn)的简图，如图：涉醱2利用正弦函数图像解不等式【例2】利用y=sinx的图像，在［0,2n］内求满足sinx±—£的x的取值范围.［解］列表：X兀一233一222Xnsio-o描点，连线如图，同时作出直线y二-2的图像•由图像可得sinx±-*的取值范围为厂规法—…■…、用三角函数图像解三角不等式的方法⑴作出相应正弦函数在［0,2n］上的图像；写出适合不等式在区间［0,2n］上的解集；根据图像写出不等式的解集.\/⑥跟进训编2.利用正弦函数的图像，求满足sinx±1的x的集合.［解］作出正弦函数y=sinx,x曰0,2n］的图像，如图所示，由图像可以得到满足条件的x的集合为p+2kn,各+2頁，kEZ.6611y尸！iiiti工』E[0,21T]-11：it5wX:Vtry2iraITT3阳-■正弦函数图像的应用［探究问题］1.若已知函数y=f(x)的图像，如何作出函数y二f(x)的图像？［提示］将函数y二fx)的x轴上方的图像保持不变，将x轴下方的图像关于

x轴翻折到x轴上方即可.2.如何利用函数的图像判断该函数对应方程的解的个数？［提示］可以利用函数的图像与x轴的交点的个数判断•也可以将该函数对应的方程拆分成两个简单函数，禾U用这两个函数图像交点的个数判断.【例3】函数fx)=sinx+2lsinxl,x$［0,2n］的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围.［思路探究］在同一坐标系中，作出两个函数图像.3sinx，［3sinx，［解］-sinx，OWxWn，n<xW2n.作出图像分析(如图).•fx)图像与直线y=k有且仅有两个不同交点..•.lvkv3.I［母题探究］(变条件，变结论)将例3变为“求方程lgx=sinx的实数解的个数”应如何求解.［解］作出y=lgx，y=sinx在同一坐标系内的图像，则方程根的个数即为两函数图像交点的个数，由图像知方程有三个实根.2.(变结论)将例3中的函数f(x)不变，求方程“fx)=llog2xl”的解的个数,应如何求解.［解］在同一坐标系内作出f(x)=sinx+2lsinxl和g(x)=llog2xl的图像如图所示，易知f(x)与g(x)的图像有四个交点，故所给方程有四个根.厂•规律(方法•………r、数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的数学式子转化成形象直观的图形•利用正弦函数图像可解决许多问题，例如特殊方程根的问题，通常可转化为函数图像交点个数问题.II课堂小结协提素养双基盲点胆燈匚證备秦养Q“五点法"是我们画y—sinx图像的基本方法，在区间［0，2n］上，其横坐n3n标分别为0，2，兀，㊁，2n的五个点是最高点、最低点以及与x轴的交点，这五个点在确定函数的图像形状时起到关键作用，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，再将曲线向左、向右平行移动(每次移动2n个单位长度)，就得到正弦函数的简图.作图像时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数.匚i学以致用.11.判断(正确的打“丿”，错误的打“X”)TOC\o"1-5"\h\z函数y—sin2x在［0,n］和［n,2n］上的图像形状相同，只是位置不同.()函数y—sinx的图像介于直线y——1和y—1之间.()函数y—sinx的图像关于x轴对称.()用五点法画函数y—sinx在区间［一兀，n］上的简图时，［一2，一"是其中的一个关键点.()［答案］⑴丁⑵V⑶X⑷丁

2.函数y=—sinx,2.函数y=—sinx,x^可的简图是（17.5*n3n2,211JT*［函数y=-sinx与y=sinx的图像关于x轴对称，故选D.］3.在［0,2n］上，满足sinx三乎的x3.3n3n［结合图像（图略）可知为時,乎］］4.在［0,2n］内，用五点法作出函数y=2sinx—1的图像.［解］⑴列表:x0