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文档简介
2023年中考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知一组数据1、2、3、x、5,它们的平均数是3,则这一组数据的方差为()A.1 B.2 C.3 D.42.下列运算正确的是()A.2a﹣a=1B.2a+b=2abC.(a4)3=a7D.(﹣a)2•(﹣a)3=﹣a53.把直线l:y=kx+b绕着原点旋转180°,再向左平移1个单位长度后,经过点A(-2,0)和点B(0,4),则直线l的表达式是()A.y=2x+2 B.y=2x-2 C.y=-2x+2 D.y=-2x-24.如图,PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点,若∠C=65°,则∠P的度数为()A.65° B.130° C.50° D.100°5.下列命题正确的是()A.内错角相等B.-1是无理数C.1的立方根是±1D.两角及一边对应相等的两个三角形全等6.如图:在中,平分,平分,且交于,若,则等于()A.75 B.100 C.120 D.1257.下面的图形是轴对称图形,又是中心对称图形的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.某运动器材的形状如图所示,以箭头所指的方向为左视方向,则它的主视图可以是()A.B.C.D.9.将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置,如果∠CDE=40°,那么∠BAF的大小为()A.10° B.15° C.20° D.25°10.在平面直角坐标系内,点P(a,a+3)的位置一定不在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.如图,已知△ABC中,∠A=75°,则∠1+∠2=()A.335°° B.255° C.155° D.150°12.如图,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是BC边的中点,分别以B、C为圆心,大于线段BC长度一半的长为半径圆弧,两弧在直线BC上方的交点为P,直线PD交AC于点E,连接BE,则下列结论:①ED⊥BC;②∠A=∠EBA;③EB平分∠AED;④ED=AB中,一定正确的是()A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,它的最小边的长是2cm,则它的最大边的长是_____cm.14.2017年12月31日晚,郑东新区如意湖文化广场举行了“文化跨年夜、出彩郑州人”的跨年庆祝活动,大学生小明和小刚都各自前往观看了演出,而且他们两人前往时选择了以下三种交通工具中的一种:共享单车、公交、地铁,则他们两人选择同一种交通工具前往观看演出的概率为_____.15.分解因式:2a2﹣2=_____.16.唐老师为了了解学生的期末数学成绩,在班级随机抽查了10名学生的成绩,其统计数据如下表:分数(单位:分)10090807060人数14212则这10名学生的数学成绩的中位数是_____分.17.如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均在格点上.(Ⅰ)AC的长等于_____;(Ⅱ)在线段AC上有一点D,满足AB2=AD•AC,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出点D,并简要说明点D的位置是如何找到的(不要求证明)_____.18.如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心在x轴上,且经过点A(m,﹣3)和点B(﹣1,n),点C是第一象限圆上的任意一点,且∠ACB=45°,则⊙P的圆心的坐标是_____.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(6分)计算:(﹣2018)0﹣4sin45°+﹣2﹣1.20.(6分)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.画出△AOB平移后的三角形,其平移后的方向为射线AD的方向,平移的距离为AD的长.观察平移后的图形,除了矩形ABCD外,还有一种特殊的平行四边形?请证明你的结论.21.(6分)如图,以△ABC的边AB为直径的⊙O与边AC相交于点D,BC是⊙O的切线,E为BC的中点,连接AE、DE.求证:DE是⊙O的切线;设△CDE的面积为S1,四边形ABED的面积为S1.若S1=5S1,求tan∠BAC的值;在(1)的条件下,若AE=3,求⊙O的半径长.22.(8分)为了奖励优秀班集体,学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍,购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元,购买3幅乒乓球拍和2幅羽毛球拍共需204元.每副乒乓球拍和羽毛球拍的单价各是多少元?若学校购买5副乒乓球拍和3副羽毛球拍,一共应支出多少元?23.(8分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线与双曲线(x>0)交于点.求a,k的值;已知直线过点且平行于直线,点P(m,n)(m>3)是直线上一动点,过点P分别作轴、轴的平行线,交双曲线(x>0)于点、,双曲线在点M、N之间的部分与线段PM、PN所围成的区域(不含边界)记为.横、纵坐标都是整数的点叫做整点.①当时,直接写出区域内的整点个数;②若区域内的整点个数不超过8个,结合图象,求m的取值范围.24.(10分)如图,AB是半圆O的直径,D为弦BC的中点,延长OD交弧BC于点E,点F为OD的延长线上一点且满足∠OBC=∠OFC,求证:CF为⊙O的切线;若四边形ACFD是平行四边形,求sin∠BAD的值.25.(10分)某商店经营儿童益智玩具,已知成批购进时的单价是20元.调查发现:销售单价是30元时,月销售量是230件,而销售单价每上涨1元,月销售量就减少10件,但每件玩具售价不能高于40元.设每件玩具的销售单价上涨了x元时(x为正整数),月销售利润为y元.求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围.每件玩具的售价定为多少元时,月销售利润恰为2520元?每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大?最大的月利润是多少?26.(12分)由于雾霾天气频发,市场上防护口罩出现热销,某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只,且所有产品当月全部售出,原料成本、销售单价及工人生产提成如表:若该公司五月份的销售收入为300万元,求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只?公司实行计件工资制,即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成,如果公司六月份投入总成本(原料总成本+生产提成总额)不超过239万元,应怎样安排甲、乙两种型号的产量,可使该月公司所获利润最大?并求出最大利润(利润=销售收入﹣投入总成本)27.(12分)已知函数的图象与函数的图象交于点.(1)若,求的值和点P的坐标;(2)当时,结合函数图象,直接写出实数的取值范围.
参考答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1、B【解析】
先由平均数是3可得x的值,再结合方差公式计算.【详解】∵数据1、2、3、x、5的平均数是3,∴=3,解得:x=4,则数据为1、2、3、4、5,∴方差为×[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2,故选B.【点睛】本题主要考查算术平均数和方差,解题的关键是熟练掌握平均数和方差的定义.2、D【解析】【分析】根据合并同类项,幂的乘方,同底数幂的乘法的计算法则解答.【详解】A、2a﹣a=a,故本选项错误;B、2a与b不是同类项,不能合并,故本选项错误;C、(a4)3=a12,故本选项错误;D、(﹣a)2•(﹣a)3=﹣a5,故本选项正确,故选D.【点睛】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法,熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.3、B【解析】
先利用待定系数法求出直线AB的解析式,再求出将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式,然后将所得解析式绕着原点旋转180°即可得到直线l.【详解】解:设直线AB的解析式为y=mx+n.∵A(−2,0),B(0,1),∴-2m+n=0n=4解得m=2n=4∴直线AB的解析式为y=2x+1.将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式为y=2(x−1)+1,即y=2x+2,再将y=2x+2绕着原点旋转180°后得到的解析式为−y=−2x+2,即y=2x−2,所以直线l的表达式是y=2x−2.故选:B.【点睛】本题考查了一次函数图象平移问题,掌握解析式“左加右减”的规律以及关于原点对称的规律是解题的关键.4、C【解析】试题分析:∵PA、PB是⊙O的切线,∴OA⊥AP,OB⊥BP,∴∠OAP=∠OBP=90°,又∵∠AOB=2∠C=130°,则∠P=360°﹣(90°+90°+130°)=50°.故选C.考点:切线的性质.5、D【解析】解:A.两直线平行,内错角相等,故A错误;B.-1是有理数,故B错误;C.1的立方根是1,故C错误;D.两角及一边对应相等的两个三角形全等,正确.故选D.6、B【解析】
根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形,然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2,进而可求出CE2+CF2的值.【详解】解:∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,∴∠ACE=∠ACB,∠ACF=∠ACD,即∠ECF=(∠ACB+∠ACD)=90°,∴△EFC为直角三角形,
又∵EF∥BC,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,
∴∠ECB=∠MEC=∠ECM,∠DCF=∠CFM=∠MCF,
∴CM=EM=MF=5,EF=10,
由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=1.
故选:B.【点睛】本题考查角平分线的定义(从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个完全相同的角,这条射线叫做这个角的角平分线),直角三角形的判定(有一个角为90°的三角形是直角三角形)以及勾股定理的运用,解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形.7、B【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各个图形进行逐一分析即可.【详解】解:第一个图形是轴对称图形,但不是中心对称图形;第二个图形是中心对称图形,但不是轴对称图形;第三个图形既是轴对称图形,又是中心对称图形;第四个图形即是轴对称图形,又是中心对称图形;∴既是轴对称图形,又是中心对称图形的有两个,故选:B.【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180°后两部分重合.8、B【解析】从几何体的正面看可得下图,故选B.9、A【解析】
先根据∠CDE=40°,得出∠CED=50°,再根据DE∥AF,即可得到∠CAF=50°,最后根据∠BAC=60°,即可得出∠BAF的大小.【详解】由图可得,∠CDE=40°,∠C=90°,∴∠CED=50°,又∵DE∥AF,∴∠CAF=50°,∵∠BAC=60°,∴∠BAF=60°−50°=10°,故选A.【点睛】本题考查了平行线的性质,熟练掌握这一点是解题的关键.10、D【解析】
判断出P的横纵坐标的符号,即可判断出点P所在的相应象限.【详解】当a为正数的时候,a+3一定为正数,所以点P可能在第一象限,一定不在第四象限,
当a为负数的时候,a+3可能为正数,也可能为负数,所以点P可能在第二象限,也可能在第三象限,
故选D.【点睛】本题考查了点的坐标的知识点,解题的关键是由a的取值判断出相应的象限.11、B【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=75°,∴∠B+∠C=180°﹣∠A=105°.∵∠1+∠2+∠B+∠C=360°,∴∠1+∠2=360°﹣105°=255°.故选B.点睛:本题考查了三角形、四边形内角和定理,掌握n边形内角和为(n﹣2)×180°(n≥3且n为整数)是解题的关键.12、B【解析】
解:根据作图过程,利用线段垂直平分线的性质对各选项进行判断:根据作图过程可知:PB=CP,∵D为BC的中点,∴PD垂直平分BC,∴①ED⊥BC正确.∵∠ABC=90°,∴PD∥AB.∴E为AC的中点,∴EC=EA,∵EB=EC.∴②∠A=∠EBA正确;③EB平分∠AED错误;④ED=AB正确.∴正确的有①②④.故选B.考点:线段垂直平分线的性质.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13、1.【解析】
根据在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,三角形内角和等于180°可得∠A,∠B,∠C的度数,它的最小边的长是2cm,从而可以求得最大边的长.【详解】∵在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,∠A+∠B+∠C=180∴∠A=30∵最小边的长是2cm,∴a=2.∴c=2a=1cm.故答案为:1.【点睛】考查含30度角的直角三角形的性质,掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.14、【解析】
首先根据题意画树状图,然后根据树状图即可求得所有等可能的结果,最后用概率公式求解即可求得答案.【详解】树状图如图所示,
∴一共有9种等可能的结果;
根据树状图知,两人选择同一种交通工具前往观看演出的有3种情况,
∴选择同一种交通工具前往观看演出的概率:,
故答案为.【点睛】此题考查了树状图法求概率.注意树状图法适合两步或两步以上完成的事件,树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.15、2(a+1)(a﹣1).【解析】
先提取公因式2,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.【详解】解:2a2﹣2,=2(a2﹣1),=2(a+1)(a﹣1).【点睛】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.16、1【解析】
根据中位数的概念求解即可.【详解】这组数据按照从小到大的顺序排列为:60,60,70,80,80,90,90,90,90,100,则中位数为:=1.故答案为:1.【点睛】本题考查了中位数的概念:将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.17、5见解析.【解析】
(1)由勾股定理即可求解;(2)寻找格点M和N,构建与△ABC全等的△AMN,易证MN⊥AC,从而得到MN与AC的交点即为所求D点.【详解】(1)AC=;(2)如图,连接格点M和N,由图可知:AB=AM=4,BC=AN=,AC=MN=,∴△ABC≌△MAN,∴∠AMN=∠BAC,∴∠MAD+∠CAB=∠MAD+∠AMN=90°,∴MN⊥AC,易解得△MAN以MN为底时的高为,∵AB2=AD•AC,∴AD=AB2÷AC=,综上可知,MN与AC的交点即为所求D点.【点睛】本题考查了平面直角坐标系中定点的问题,理解第2问中构造全等三角形从而确定D点的思路.18、(2,0)【解析】【分析】作辅助线,构建三角形全等,先根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍得:∠APB=90°,再证明△BPE≌△PAF,根据PE=AF=3,列式可得结论.【详解】连接PB、PA,过B作BE⊥x轴于E,过A作AF⊥x轴于F,∵A(m,﹣3)和点B(﹣1,n),∴OE=1,AF=3,∵∠ACB=45°,∴∠APB=90°,∴∠BPE+∠APF=90°,∵∠BPE+∠EBP=90°,∴∠APF=∠EBP,∵∠BEP=∠AFP=90°,PA=PB,∴△BPE≌△PAF,∴PE=AF=3,设P(a,0),∴a+1=3,a=2,∴P(2,0),故答案为(2,0).【点睛】本题考查了圆周角定理和坐标与图形性质,三角形全等的性质和判定,作辅助线构建三角形全等是关键.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19、.【解析】
根据零指数幂和特殊角的三角函数值进行计算【详解】解:原式=1﹣4×+2﹣=1﹣2+2﹣=【点睛】本题考查了实数的运算:实数的运算和在有理数范围内一样,值得一提的是,实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算,又可以进行开方运算,其中正实数可以开平方.20、(1)如图所示见解析;(2)四边形OCED是菱形.理由见解析.【解析】
(1)根据图形平移的性质画出平移后的△DEC即可;
(2)根据图形平移的性质得出AC∥DE,OA=DE,故四边形OCED是平行四边形,再由矩形的性质可知OA=OB,故DE=CE,由此可得出结论.【详解】(1)如图所示;(2)四边形OCED是菱形.理由:∵△DEC由△AOB平移而成,∴AC∥DE,BD∥CE,OA=DE,OB=CE,∴四边形OCED是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB,∴DE=CE,∴四边形OCED是菱形.【点睛】本题考查了作图与矩形的性质,解题的关键是熟练的掌握矩形的性质与根据题意作图.21、(1)见解析;(1)tan∠BAC=;(3)⊙O的半径=1.【解析】
(1)连接DO,由圆周角定理就可以得出∠ADB=90°,可以得出∠CDB=90°,根据E为BC的中点可以得出DE=BE,就有∠EDB=∠EBD,OD=OB可以得出∠ODB=∠OBD,由等式的性质就可以得出∠ODE=90°就可以得出结论.(1)由S1=5S1可得△ADB的面积是△CDE面积的4倍,可求得AD:CD=1:1,可得.则tan∠BAC的值可求;(3)由(1)的关系即可知,在Rt△AEB中,由勾股定理即可求AB的长,从而求⊙O的半径.【详解】解:(1)连接OD,∴OD=OB∴∠ODB=∠OBD.∵AB是直径,∴∠ADB=90°,∴∠CDB=90°.∵E为BC的中点,∴DE=BE,∴∠EDB=∠EBD,∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD,即∠EDO=∠EBO.∵BC是以AB为直径的⊙O的切线,∴AB⊥BC,∴∠EBO=90°,∴∠ODE=90°,∴DE是⊙O的切线;(1)∵S1=5S1∴S△ADB=1S△CDB∴∵△BDC∽△ADB∴∴DB1=AD•DC∴∴tan∠BAC==.(3)∵tan∠BAC=∴,得BC=AB∵E为BC的中点∴BE=AB∵AE=3,∴在Rt△AEB中,由勾股定理得,解得AB=4故⊙O的半径R=AB=1.【点睛】本题考查了圆周角定理的运用,直角三角形的性质的运用,等腰三角形的性质的运用,切线的判定定理的运用,勾股定理的运用,相似三角形的判定和性质,解答时正确添加辅助线是关键.22、(1)一副乒乓球拍28元,一副羽毛球拍60元(2)共320元.【解析】整体分析:(1)设购买一副乒乓球拍x元,一副羽毛球拍y元,根据“购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元,购买3幅乒乓球拍和2幅羽毛球拍共需204元”列方程组求解;(2)由(1)中求出的乒乓球拍和羽毛球拍的单价求解.解:(1)设购买一副乒乓球拍x元,一副羽毛球拍y元,由题意得,,解得:答:购买一副乒乓球拍28元,一副羽毛球拍60元.(2)5×28+3×60=320元答:购买5副乒乓球拍和3副羽毛球拍共320元.23、(1),;(2)①3,②.【解析】
(1)将代入可求出a,将A点坐标代入可求出k;(2)①根据题意画出函数图像,可直接写出区域内的整点个数;②求出直线的表达式为,根据图像可得到两种极限情况,求出对应的m的取值范围即可.【详解】解:(1)将代入得a=4将代入,得(2)①区域内的整点个数是3②∵直线是过点且平行于直线∴直线的表达式为当时,即线段PM上有整点∴【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式以及函数图像的交点问题,正确理解整点的定义并画出函数图像,运用数形结合的思想是解题关键.24、(1)见解析;(2).【解析】
(1)连接OC,根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠B,∠OCB=∠F,根据垂径定理得到OF⊥BC,根据余角的性质得到∠OCF=90°,于是得到结论;
(2)过D作DH⊥AB于H,根据三角形的中位线的想知道的OD=AC,根据平行四边形的性质得到DF=AC,设OD=x,得到AC=DF=2x,根据射影定理得到CD=x,求得BD=x,根据勾股定理得到AD=x,于是得到结论.【详解】解:(1)连接OC,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠B,
∵∠B=∠F,
∴∠OCB=∠F,
∵D为BC的中点,
∴OF⊥BC,
∴∠F+∠FCD=90°,
∴∠OCB+∠FCD=90°,
∴∠OCF=90°,
∴CF为⊙O的切线;
(2)过D作DH⊥AB于H,
∵AO=OB,CD=DB,
∴OD=AC,
∵四边形ACFD是平行四边形,
∴DF=AC,
设OD=x,
∴AC=DF=2x,
∵∠OCF=90°,CD⊥OF,
∴CD2=OD•DF=2x2,
∴CD=x,
∴BD=x,
∴AD=x,
∵OD=x,BD=x,
∴OB=x,
∴DH=x,
∴sin∠BAD==.【点睛】本题考查了切线的判定和性质,平行四边形的性质,垂径定理,射影定理,勾股定理,三角函数的定义,正确的作出辅助线是解题的关键.25、(1)y=﹣10x2+130x+2300,0<x≤10且x为正整数;(2)每件玩具的售价定为32元时,月销售利润恰为2520元;(3)每件玩具的售价定为36元或37元时,每个月可获得最大利润,最大的月利润是2720元.【解析】
(1)根据题意知一件玩具的利润为(30+x-20)元,月销售量为(230-10x),然后根据月销售利润=一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式.(2)把y=2520时代入y=-10x2+130x+2300中,求出x的值即可.(3)把y=-10x2+130x+2300化成顶点式,求得当x=6.5时,y有最大值,再根据0<x≤10且x为正整数,分别计算出当x=6和x=7时y的值即可.【详解】(1)根据题意得:y=(30+x﹣20)(230﹣10x)=﹣10x2+130x+2300,自变量x的取值范围是:0<x≤10且x为正整数;(2)当y=2520时,得﹣10x2+130x+2300=2520,解得x1=2,x2=11(不合题意,舍去)当x=2时,30+x=32(元)答:每件玩具的售价定为32元时,月销售利润恰为2520元.(3)根据题意得:y=﹣10x2+130x+2300=﹣10(x﹣6.5)2+2722.5,∵a=﹣10<0,∴当x=6.5时,y有最大值为2722.5,∵0<x≤10且x为正整数,∴当x=6时,30+x=36,y=2720(元),当x=7时,30+x=3
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