(7)函数的单调性与值域的关系

(7)函数的单调性与值域的关系LtDPAGEPAGE4函数的单调性和值域函数单调性的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值,，当<时，都有f()<f()，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值,，当<时，都有f()>()，，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数；如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。2.函数单调性的证明方法，通常用两种方法证明：①定义法②导数法（1）利用定义法证明函数单调性的一般步骤是：①取值②作差（有时也可作商）③变形④定号⑤作出结论判断.用定义法证明函数的单调性时，要比较f()与f()的大小，最常用的方法是作差（或作商）比较法。（2）用导数法证明函数单调性的理论为：若函数y=f(x)在某区间内可导，且满足>0，则f(x)在该区间上单调递增；若满足<0，则f(x)在该区间上单调递减。3.函数单调性的应用：（1）比较（函数值）大小（2）求函数的值域或最值即y≤.故所求函数的值域为(-∞,]②设sinx+cosx=t,t∈[-,],则原函数可化为:y=t+（其中t∈[-,]）以下略③设x=2cost,t∈[0,],则原函数可化为:y=2(cost+sinxt)-2,（其中t∈[0,]）以下略(①(-∞,]②[1,)③[-4,-2])（3）利用函数单调性求值域例如，求下列函数的值域①y=+②y=-③y=x-④y=(1≤x≤3)⑤y=+lnx(0<x≤3)**⑥y=(0≤x≤4)解；①函数的定义域为[1，+∞），因为g(x)=和h(x)=在[1，+∞）上均为增函数，故原函数为[1，+∞）上的增函数.所以f(x)≥f(1)=,所以原函数的值域为[,+∞）②函数的定义域为[1，+∞）,y=,易知该函数在其定义域上为减函数，所以f(x)≤f(1)=,所以原函数的值域为(0,].③函数的定义域为(-∞,],而g(x)=x和h(x)=在(-∞,]上均为增函数，故原函数为(-∞,]上的增函数.所以f(x)≤f()=,所以原函数的值域为(-∞,]④函数在[1,3]上为增函数所以函数的值域为[1，27]⑤函数在(0,3]上为增函数，所以函数的值域为(-∞,9+ln3]⑥设2x+1=t，则t∈[1,9]，且x=，从而原函数或化为y=。当t=0时，y=0,当t≠0时，可证得在[1,]上是减函数，在[,9]上是增函数。故当t∈[1,9]时,∈[2,14]，进而可求得原函数的值域为[,]（此题还有其他变换法求解）（4）利用基本不等式求值域(基本不等式：①若a,b∈R,则≥2∣ab∣≥2ab;②若a,b∈,则a+b≥2,两个不等式均为当a=b时,等号成立。)例如：求下列函数的值域①y=x+(x>0)②y=（x≥0）解：①∵x>0,∴x+≥2=2,当且仅当x=时,即x=1时,等号成立.所以函数的值域为[2，+∞）②当x=0时,y=0,当x>0时,y=,∵x>0,∴x+≥2=4,当且仅当x=2时,等号成立.所以函数的值域为y∈[0,4]注意：用均值不等式：若a,b∈,则a+b≥2求函数的最值时要“一正，二定，三等号成立”（5）利用导数求函数的值域。（其实质上是利用函数的单调性求值域）例如：求函数y=2+2的值域解：=2x(4﹣1)，故原函数在区间(-1,-),(-,0),(0,),(,2)的单调性分别为：递减，递增，递减，递增。进而可得原函数的值域为：[，30]*（6）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可利用基本函数的值域求得例如：求函数y=的值域解：函数的定义域为（-1，3）,令u=x∈（-1，3）易求得：0<u≤4因为函数y=为增函数,所以原函数的值域为：(﹣∞,2](此题还有其他解法)（7）分离常数法（常用来解决“分式型”函数的值域）例如：求函数y=的值域解：y===3+∵≠0,∴3+≠3,∴函数y==的值域为{y∈R∣y≠3}（8）最值法：对于区间上的连续函数，利用求函数最大值和最小值来求函数的值域。例如：求函数y=2sinx﹣1的值域。解：∵-1≤sinx≤1∴-3≤2sinx﹣1≤1∴所以原函数的值域为[-3,1]（9）判别式法：实质是方程思想，通过对二次方程的实根的判别求值域的方法。例如：求函数的值域。解：由得y﹣2(y+1)x+2y﹣1=0,由y=0得-2x-1=0,则x=-,∴0是函数值域中的一个值.当y≠0时,由△=﹣4y(2y﹣1)≥0得:≤y≤,故函数的值域为[,]（10）图象法：如果函数的图象较易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）例如：求函数y=∣x-3∣-∣x+1∣的值域([-4,4])此外还有观察法等7.给定函数的值域或最值，求函数中参数的取值范围例如：(1)设函数f(x)=﹣2x+2a,当x∈[-2,2]时，f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围。解法一，分离系数法；由f(x)≤0,得﹣2x+2a≤0，即2a≤-+2x，设g(x)=-+2x=﹣+1,x∈[-2,2]∵g(x)在[-2,2]的最小值为g(﹣2)=﹣8,∴2a≤﹣8,∴a≤﹣4所以实数a的取值范围为:(﹣∞,﹣4]解法二：f(x)=﹣2x+2a=+2a﹣1,f(x)在x∈[-2,2]上值域为[2a-1,2a+8],要使f(x)≤0,x∈[-2,2]恒成立，只须2a+8≤0，所以a≤-4,所以实数a的取值范围为:(﹣∞,﹣4](2).设f(x)=+ax+3,当x∈[-2,2]时,f(x)≥0恒成立，求实数的取范围。([﹣7,2])**(3).函数y=lg(+2x+m)的值是R，则实数m的取值范围是_______(﹣∞,1]8.利用函数的单调性求函数中参数的取值范围例如：已知函数f(x)=﹣6ax+1在[2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围为_______解：f(x)=﹣6ax+1=+1﹣9,因为函数f(x)在[2，+∞）上为增函数，所以由3a≤2,得a≤所以实数a的取值范围(﹣∞,]若函数y=f(x)在其定义D内,恒有f(x)≥a成立,求实数a的取值范围,就是求f(x)的最小值；若函数y=f(x)在其定义D内,恒有f(x)≤a成立,求实数a的取值范围,就是求f(x)的最大值。9.例题例1证明函数f(x)=x+在x∈(0,2)上是减函数解；（定义法）设0<<<2,则f()-f()=()-()=∵0<<<2,∴>0,∴∴从而函数f(x)在x∈(0,2)上为减函数。(此题也可用导数求解)例2`证明函数f(x)=(a<0)在(-1,1)上是增函数例3已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，且f(1)=1，若a,b∈[-1,1],a+b≠0时,有，判断函数f(x)在[-1,1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论。解：任取,∈[-1,1],且,则﹣∈[-1,1],又f(x)是奇函数，于是==,据已知<0∴<0即∴f(x)在[-1,1]上是增函数。例4讨论函数f(x)=x+的单调性(在(-∞,-1),(1,+∞)上均为增函数;在(-1,0),(0,+1)上均为减函数)例5如果二次函数f(x)=﹣(a﹣1)x+5在区间(,1)上是增函数，求f(2)的取值范围解：二次函数f(x)在区间(,1)上是增函数，由于其图象（抛物线）开口向上，故其对称轴x=或与直线x=重合或位于直线x=的左侧,于是=解之得a≤2,故f(2)≥-22+11=7,即f(2)≥7.例6定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时，f(x)>1,且对任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a)•f(b)（1）求证:f(0)=1（2）求证：对任意的x∈恒有f(x)>0（3）求证：f(x)是R上的增函数（4）若f(x)•f(2x-)>1,求x的取值范围（1）证明：令a=b=0,则f(0)=,又f(0)≠0,∴f(0)=1（2）证明：当x<0时,-x>0,∴f(0)=f(x)•f(-x)=1,∴f(-x)=,又x≥0时f(x)≥>0,∴x∈R时,恒有f(x)>0.（3）证明：设,则,∴=,∵,∴,又,∴>.∴,∴f(x)是R上的增函数.（4）解：由f(x)•f(2x-)>1,f(0)=1,得f(3x-)>f(0),又f(x)是R上的增函数,∴3x->0,∴0<x<3.练习题求下列函数的值域（1）y=3-x+2（2）y=2.求下列函数的值域（1）y=x+2（2）y=x-3.求下列函数的值域(1)y=﹣x+2x∈[1,3](2)y=ln(1-2x)(-2,-1)4．求下列函数的值域①y=2x++②y=5.（08重庆）函数f(x)=的最大值为（） ABCD16．（08安微）设函数f(x)=2x+﹣1(x<0),则f(x)（）A有最大值B有最小值C是增函数D是减函数7(07全国)设a>1，函数f(x)=在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）AB2C2D48.(09山东)对任意实数a、b，定义运算”*”如下:a*b=,则函f(x)=*的值域为（）A)[0,+∞)B(-∞,0]C(,0)D(,+∞)9.(2009年广东卷文)函数的单调递增区间是()A.B.(0,3)C.(1,4)D.21世纪教育网10.（2009全国卷Ⅱ文）设则()（A）（B）（C）（D）*11.(09山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=，则f（2009）的值为()A.-1B.0C.1D.212.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则().A.B.C.D.13.(10陕西文数)下列四类函数中，个有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f（x＋y）＝f（x）f（y）”的是()（A）幂函数（B）对数函数（C）指数函数（D）余弦函数14.（2010安徽文数）（7）设，则a，b，c的大小关系是（A）a＞c＞b（B）a＞b＞c（C）c＞a＞b（D）b＞c＞a15.（2010重庆文数）（4）函数的值域是()（A）（B）(C)（D）16.（2010山东文数）(3)函数的值域为A.B.C.D.17（2010天津文数）(6)设()(A)a<c<b(B))b<c<a(C))a<b<c(D))b<a<c*18.（2010天津理数）（8）若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是()（A）（-1，0）∪（0，1）（B）（-∞，-1）∪（1,+∞）（C）（-1，0）∪（1,+∞）（D）（-∞，-1）∪（0,1）19.（2009浙江文）若函数，则下列结论正确的是（）A．，在上是增函数21世纪教育网B．，在上是减函数C．，是偶函数D．，是奇函数20.2009湖南卷文）设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数取函数。当=时，函数的单调递增区间为()A．B．C．D．21.（2009福建卷理）下列函数中，满足“对任意，（0，），当<时，都有>的是()A．=B.=C.=D22.(2009)辽宁卷文）已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x取值范围是()（A）（，）(B)［，）(C)（，）(D)［，）23.（2009陕西卷文）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则(A)(B)(C)(D)24..(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则当时,有(A)(B)(C)(D