专题十五函数与方程组不等式

专题十五函数与方程组不等式第一页，共七十三页，2022年，8月28日第二页，共七十三页，2022年，8月28日第三页，共七十三页，2022年，8月28日第四页，共七十三页，2022年，8月28日第五页，共七十三页，2022年，8月28日结合近几年中考试题分析,函数与方程(组)、不等式内容的考查主要有以下特点：1.命题方式为用函数观点解决方程(组)、不等式问题，运用方程思想、不等式来解决函数相关问题,题型以解答题为主;2.命题热点为函数与方程(组)、不等式知识相融合的综合题目的考查.第六页，共七十三页，2022年，8月28日1.函数、方程(组)、不等式的基础知识是学习本讲知识的依据.在复习过程中首先要弄懂函数、方程(组)、不等式的基本知识，并注意联系各部分知识,进而掌握函数、方程、不等式的思想与方法.2.函数观点与方程思想的综合考查是中考的热点与难点,故必须采取多种形式的题目进行训练,特别是综合性较强的题目.第七页，共七十三页，2022年，8月28日第八页，共七十三页，2022年，8月28日第九页，共七十三页，2022年，8月28日第十页，共七十三页，2022年，8月28日第十一页，共七十三页，2022年，8月28日第十二页，共七十三页，2022年，8月28日第十三页，共七十三页，2022年，8月28日一次函数与方程(组)1.直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标是方程kx+b=0的解,方程kx+b=0的解是直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标.2.两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解;以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点.第十四页，共七十三页，2022年，8月28日【例1】(2011·杭州中考)点A、B、C、D的坐标如图，求直线AB与直线CD的交点坐标.【思路点拨】首先由点A、B、C、D的坐标求出直线AB、CD的方程，解两个方程组成的二元一次方程组得交点坐标.第十五页，共七十三页，2022年，8月28日【自主解答】由已知得，直线AB的方程为y=2x+6，直线CD的方程为.解方程组,得,所以直线AB与直线CD的交点坐标为(-2，2).第十六页，共七十三页，2022年，8月28日1.(2010·孝感中考)若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3(m为常数)的交点在第四象限，则整数m的值为()(A)-3，-2，-1，0(B)-2，-1，0，1(C)-1，0，1，2(D)0，1，2，3第十七页，共七十三页，2022年，8月28日【解析】选B.解方程组，解得,因为两直线的交点在第四象限,所以,解得所以整数m的值为-2，-1，0，1.第十八页，共七十三页，2022年，8月28日2.(2010·镇江中考)两直线l1：y=2x-1,l2：y=x+1的交点坐标为()(A)(-2，3)(B)(2，-3)(C)(-2，-3)(D)(2，3)【解析】选D.解方程组，得，因此两直线的交点坐标为(2，3).第十九页，共七十三页，2022年，8月28日3.(2010·聊城中考)如图，过点Q(0，3.5)的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点P，能表示这个一次函数图象的方程是()(A)3x-2y＋3.5＝0(B)3x-2y-3.5＝0(C)3x-2y+7＝0(D)3x+2y-7＝0第二十页，共七十三页，2022年，8月28日【解析】选D.设一次函数的解析式为y=kx+b，又因为过Q(0，3.5)，P(1，2)两点，代入得，整理得3x+2y-7＝0.第二十一页，共七十三页，2022年，8月28日4.(2011·连云港中考)因长期干旱，甲水库蓄水量降到了正常水位的最低值.为灌溉需要，由乙水库向甲水库匀速供水，20h后，甲水库打开一个排灌闸为农田匀速灌溉，又经过20h，甲水库打开另一个排灌闸同时灌溉，再经过40h，乙水库停止供水.甲水库每个排泄闸的灌溉速度相同，图中的折线表示甲水库蓄水量Q(万m3)与时间t(h)之间的函数关系.第二十二页，共七十三页，2022年，8月28日求:(1)线段BC的函数表达式;(2)乙水库供水速度和甲水库一个排灌闸的灌溉速度；(3)乙水库停止供水后，经过多长时间甲水库蓄水量又降到了正常水位的最低值?第二十三页，共七十三页，2022年，8月28日【解析】(1)由图象可知,B(20,500),C(40,600).设线段BC的解析式为Q=kt+b,所以,解得k=5,b=400.所以线段BC的函数表达式为Q=5t+400(20≤t≤40).第二十四页，共七十三页，2022年，8月28日(2)同(1)可求得线段CD的函数表达式为Q=-5t+800(40≤t≤80).设甲水库一个排灌闸的灌溉速度为x万m3/h，乙水库供水速度为y万m3/h.由两段函数表达式可知，解得x=10,y=15.答：乙水库供水速度为15万m3/h，甲水库一个排灌闸的灌溉速度为10万m3/h.第二十五页，共七十三页，2022年，8月28日(3)乙水库向甲水库匀速供水20h后甲水库储水500万m3，所以500-a=15×20,即a=200.设乙水库停止供水后，经过m小时甲水库蓄水量又降到了正常水位的最低值.由图象，得400-2×10m=200,解得m=10.答：乙水库停止供水后，经过10小时甲水库蓄水量又降到了正常水位的最低值.第二十六页，共七十三页，2022年，8月28日一次函数与一元一次不等式1.从函数值的角度看,不等式kx+b>0的解集为使函数值大于零(即kx+b>0)的x的取值范围;2.从图象的角度看,由于一次函数的图象在x轴上方时,y>0，因此kx+b>0的解集为一次函数在x轴上方的图象所对应的x的值的取值范围.第二十七页，共七十三页，2022年，8月28日【例2】(2009·天门中考)直线l1:y=k1x+b与直线l2:y=k2x+c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等式k1x+b<k2x+c的解集为()(A)x>1(B)x<1(C)x>-2(D)x<-2第二十八页，共七十三页，2022年，8月28日【思路点拨】先判定k1x+b=k2x+c时x的值,再判定当x取何值时,l1在l2的下方.【自主解答】选B.由图象可知,当x=1时,k1x+b=k2x+c.当x<1时,y=k2x+c的图象在y=k1x+b的图象的上方,此时k1x+b<k2x+c.第二十九页，共七十三页，2022年，8月28日5.(2010·烟台中考)如图，直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐标为(1,2)，则使y1<y2的x的取值范围为()(A)x＞1(B)x＞2(C)x＜1(D)x＜2第三十页，共七十三页，2022年，8月28日【解析】选C.由图象可知直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐标为(1,2)，则y1<y2为x=1左边的部分，所以使y1<y2的x的取值范围为x＜1.第三十一页，共七十三页，2022年，8月28日6.(2010·荆州中考)函数y1=|x|，，当y1>y2时，x的范围是()(A)x＜-1(B)-1＜x＜2(C)x＜-1或x＞2(D)x＞2第三十二页，共七十三页，2022年，8月28日【解析】选C.由函数图象知,当x=-1,x=2时,y1=y2,当x＜-1或x＞2时,函数y1的图象在函数y2的图象的上方,即y1>y2,所以当y1>y2时，x的范围是x＜-1或x＞2.第三十三页，共七十三页，2022年，8月28日7.(2010·宿迁中考)如图，已知一次函数y=x-2与反比例函数的图象交于A、B两点.(1)求A、B两点的坐标;(2)观察图象，可知一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围是_____.第三十四页，共七十三页，2022年，8月28日【解析】(1)由题意得：,解之得：或∴A、B两点的坐标分别为A(3,1)、B(-1,-3)；(2)x<-1或0<x<3.第三十五页，共七十三页，2022年，8月28日二次函数与一元二次方程1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当y=0时,就变成了ax2+bx+c=0(a≠0).2.方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标.第三十六页，共七十三页，2022年，8月28日3.(1)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点⇔一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实根⇔b2-4ac>0;(2)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个交点⇔一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实根⇔b2-4ac=0;(3)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴没有交点⇔一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实根b2-4ac<0.第三十七页，共七十三页，2022年，8月28日【例3】(2010·株洲中考)二次函数y=x2-mx+3的图象与x轴的交点如图所示,根据图中信息可得到m的值是_____.【思路点拨】由图象可以看出抛物线与x轴的一个交点的坐标,把这个交点坐标代入二次函数y=x2-mx+3,解方程得m的值.第三十八页，共七十三页，2022年，8月28日【自主解答】由图象可以看出抛物线与x轴的一个交点的坐标为(1,0),把(1,0)代入y=x2-mx+3得1-m+3=0，解得m=4.答案：4第三十九页，共七十三页，2022年，8月28日8.(2010·黄冈中考)若函数则当函数值y＝8时，自变量x的值是()(A)(B)4(C)或4(D)4或【解析】选D.本题函数有两种情况(1)y=x2+2,当y＝8时,有8=x2+2,得x=,因为x≤2，所以x=；(2)y=2x,当y=8时,有8=2x,得x=4,所以自变量x的值是4或,故选D.第四十页，共七十三页，2022年，8月28日9.(2011·日照中考)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0;②b>2a;③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c>0.其中正确的命题是_____.(只要求填写正确命题的序号)第四十一页，共七十三页，2022年，8月28日【解析】因为二次函数的图象经过点(1，0)，所以当x=1时，y=a×12+b×1+c=a+b+c=0，所以①正确；由于二次函数的对称轴为x=-1,所以,所以b=2a,故②不正确；由对称轴及图象与x轴的一个交点，知另一个交点为(-3，0)，所以ax2+bx+c=0的两根为-3和1，故③正确；当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，又由上面提到b=2a,a>0，得b>0，∴a-2b+c<0，故④错误.因此正确的命题是①③.答案：①③第四十二页，共七十三页，2022年，8月28日10.(2011·南京中考)已知函数y=mx2-6x+1(m是常数).(1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值.【解析】(1)当x=0时，y=1.所以不论m为何值，函数y=mx2-6x+1的图象都经过y轴上的一个定点(0，1).第四十三页，共七十三页，2022年，8月28日(2)①当m=0时，函数y=-6x+1的图象与x轴只有一个交点；②当m≠0时，若函数y=mx2-6x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2-6x+1=0有两个相等的实数根，所以(-6)2-4m=0,m=9.综上，若函数y=mx2-6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9.第四十四页，共七十三页，2022年，8月28日第四十五页，共七十三页，2022年，8月28日二次函数与一元二次不等式1.一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)的解集,即二次函数y=ax2+bx+c使其函数值y>0(或<0)的自变量x的取值范围.2.通过观察二次函数的图象,可以得出当自变量x的取值在一定的范围内对应的函数值y的取值范围.3.当函数值y的取值在某一范围内时,在图象上可以找出自变量x对应的取值范围.第四十六页，共七十三页，2022年，8月28日【例】(2011·广东中考)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，与y轴的交点坐标为(0，3).(1)求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围.第四十七页，共七十三页，2022年，8月28日【思路点拨】把(-1，0)，(0，3)分别代入y=-x2+bx+c，得关于b、c的二元一次方程组,解方程组得b、c的值,从而得到函数值y为正数时，自变量x的取值范围.第四十八页，共七十三页，2022年，8月28日【自主解答】(1)把(-1，0)，(0，3)分别代入y=-x2+bx+c，得，解得所以二次函数的解析式为y=-x2+2x+3(2)令y=0，得-x2+2x+3=0解得x1=-1，x2=3所以，由图象可知，函数值y为正数时，自变量x的取值范围是-1＜x＜3.第四十九页，共七十三页，2022年，8月28日1.(2010·潍坊中考)已知函数y1＝x2与函数的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是()(A)(B)(C)(D)x＜-2或第五十页，共七十三页，2022年，8月28日【解析】选C.解方程组得或,所以当x=-2或时,y1=y2,因此若y1＜y2，结合图象，则自变量x的取值范围是.故选C.第五十一页，共七十三页，2022年，8月28日2.(2010·日照中考)如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A(3，0)，则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是_____.第五十二页，共七十三页，2022年，8月28日【解析】因为二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，且其与x轴一交点为A(3，0)，所以二次函数与x轴另一个交点为A(-1，0)，所以不等式ax2+bx+c＜0的解集是-1＜x＜3.答案：-1＜x＜3第五十三页，共七十三页，2022年，8月28日1.(2010·十堰中考)方程x2+2x-1=0的根可看成函数y=x+2与函数的图象交点的横坐标，用此方法可推断方程x3+x-1=0的实根x所在范围为()(A)(B)(C)(D)第五十四页，共七十三页，2022年，8月28日【解析】选C.由题意知，方程x3+x-1=0的根可看成函数y=x2+1与函数的图象交点的横坐标.由函数图象知y=x2+1的图象经过一、二象限,的图象经过一、三象限,因此图象交点在第一象限,又因为当时,，当x=1时,x3+x-1=1+1-1=1>0,所以方程x3+x-1=0的实根x所在范围为，故选C.第五十五页，共七十三页，2022年，8月28日2.(2010·大连中考)如图，反比例函数和正比例函数y2=k2x的图象都经过点A(-1,2)，若y1>y2，则x的取值范围是()(A)-1<x<0(B)-1<x<1(C)x<-1或0<x<1(D)-1<x<0或x>1第五十六页，共七十三页，2022年，8月28日【解析】选D.因为反比例函数和正比例函数y2=k2x的图象都经过点A(-1,2),所以k1=k2=-2，两图象的另一个交点坐标为(1，-2),由图象知若y1>y2，则x的取值范围是-1<x<0或x>1.故选D.第五十七页，共七十三页，2022年，8月28日3.(2010·天津中考)已知一次函数y=2x-6与y=-x+3的图象交于点P，则点P的坐标为_____.【解析】根据题意，得,解得,因此，点P的坐标为(3，0).答案：(3,0)第五十八页，共七十三页，2022年，8月28日4.(2010·新疆中考)抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____.【解析】抛物线y=-x2+bx+c与x轴的一个交点坐标是(1，0),对称轴方程为直线x=-1,所以抛物线y=-x2+bx+c与x轴的另一个交点坐标是(-3,0),因此,若y＞0，则x的取值范围是-3＜x＜1.答案：-3＜x＜1第五十九页，共七十三页，2022年，8月28日5.(2010·临沂中考)某中学九年级甲、乙两班商定举行一次远足活动，A、B两地相距10千米，甲班从A地出发匀速步行到B地，乙班从B地出发匀速步行到A地.两班同时出发，相向而行.设步行时间为x小时，甲、乙两班离A地的距离分别为y1千米、y2千米，y1、y2与x的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题：第六十页，共七十三页，2022年，8月28日(1)直接写出y1、y2与x的函数关系式；(2)求甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？相遇时乙班离A地多少千米？(3)甲、乙两班首次相距4千米时所用时间是多少小时?第六十一页，共七十三页，2022年，8月28日【解析】(1)y1=4x(0≤x≤2.5),y2=-5x+10(0≤x≤2).(2)根据题意可知：两班相遇时，甲、乙离A地的距离相等，即y1=y2，由此可得一元一次方程-5x+10=4x,解这个方程，得当时，答：甲、乙两班学生出发后，小时相遇，相遇时乙班离A地千米.第六十二页，共七十三页，2022年，8月28日(3)根据题意，得y2-y1=4.即-5x+10-4x=4.解这个方程，得答：甲乙两班首次相距4千米所用时间是

小时.第六十三页，共七十三页，2022年，8月28日6.(2010·长沙中考)已知：二次函数y=ax2+bx-2的图象经过点(1,0)，一次函数图象经过原点和点(1，-b)，其中a＞b＞0且a,b为实数.(1)求一次函数的表达式(用含b的式子表示)；(2)试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；(3)设(2)中的两个交点的横坐标分别为x1,x2,求|x1-x2|的范围.第六十四页，共七十三页，2022年，8月28日【解析】(1)∵一次函数过原点，∴设一次函数的解析式为y=kx.∵一次函数过(1,-b),∴y=-bx.