2022-2023学年山东省青岛市青岛高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省青岛市青岛高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，设，求出、，利用，求出的范围．【详解】解：如图建立坐标系，设，，则，，，，，，，即，所以，当时，所以，所以．故选：C．2．已知数列中，，，则数列的前项和A． B．C． D．【答案】B【分析】根据递推关系式构造等比数列，再根据等比数列通项公式得，即得数列的通项公式，最后根据分组求和法求结果并选择.【详解】因为，所以，即，则数列是首项为，公比为2的等比数列，其通项公式为，所以，分组求和可得数列的前项和．故选B．【点睛】形如的递推关系式，利用待定系数法可化为，当时，数列是等比数列；由，两式相减，得当时，数列是公比为的等比数列．3．已知函数，则（

）A．－2 B．2 C．－4 D．4【答案】D【分析】先求导，求得得到求解.【详解】解：，则，解得，所以，故．故选：D4．如图，已知正方体棱长为，点在棱上，且，在侧面内作边长为的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点在侧面运动时，的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，根据在内可设出点坐标，作，连接，可得，作，根据空间中两点间距离公式，再根据二次函数的性质，即可求得的范围，即得最小值.【详解】根据题意，以D为原点建立空间直角坐标系，如图所示，作，交于M，连接，则，作，交于N，则即为点P到平面距离.设,则，，∵点到平面距离等于线段的长，∴，由两点间距离公式可得，化简得，则，可得，即.在中，，所以（当且仅当时取等号）.故选:B.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于建立空间直角坐标系，利用坐标运算，将几何问题转化成代数问题，通过计算二次函数的最小值来突破难点.5．设F是双曲线的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则双曲线C的离心率是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】设一渐近线的方程为，设，，由，求得点的坐标，再由，斜率之积等于，求出，代入进行运算．【详解】解：由题意得右焦点，设一渐近线的方程为，则另一渐近线的方程为，设，，，，，，，，，，，由可得，斜率之积等于，即，，．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得点的坐标是解题的关键，属于中档题．6．数列{an}，{bn}满足，an＝b，且a1＝b1＝1，且{bn}的前n项和为，记，n∈N*，数列{cn}的前n项和为Sn，则Sn的最小值为（

）A． B． C． D．-1【答案】C【分析】先求出bn＝n，an=n2，从而得到，判断出，，，当时，.即可求出Sn的最小值.【详解】记{bn}的前n项和为，所以，所以，所以.因为，所以，所以{bn}为b1＝1，公差d=1的等差数列，所以bn＝n.an＝b=n2.所以.数列{cn}的前n项和为Sn，要使Sn最小，只需把所有的负项都加完.因为，所以，，，当时，.所以Sn的最小值为.故选：C7．已知点是抛物线上一点，是抛物线的焦点，是圆的圆心，则的最小值为（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B【分析】设抛物线的准线方程为，过作的垂线，垂足为，进而转化为求的最小值，在根据几何知识得当，，在一条直线上时有最小值【详解】解：设抛物线的准线方程为，为圆的圆心，所以的坐标为，过作的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可知，所以问题求的最小值，就转化为求的最小值，由平面几何的知识可知，当，，在一条直线上时，此时，有最小值，最小值为，故选：B．8．在中，已知，是边上一点，且，，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设.由题意.则，两端平方，根据数量积运算和基本不等式可得，当且仅当时，等号成立.再由三角形面积公式可求面积的最大值【详解】设.由题意，.则，，即，当且仅当，即时，等号成立.，面积的最大值为.故选：.【点睛】本题考查利用向量求三角形的面积，考查基本不等式，属于中档题.二、多选题9．已知直线l：＝0，则下列结论正确的是（

）A．直线l的倾斜角是B．若直线m：＝0，则l⊥mC．点到直线l的距离是2D．过与直线l平行的直线方程是【答案】BCD【分析】对A，根据斜率判断即可；对B，根据直线垂直斜率之积为-1求解即可；对C，根据点到线的距离公式求解即可；对D，先求得的斜率，再根据点斜式求解即可【详解】对A，直线l：＝0，直线的斜率为：所以直线的倾斜角为：所以A不正确；对B，直线m：＝0的斜率为：因为，故两条直线垂直，所以B正确；对C，点到直线l的距离是：＝2，所以C正确；对D，的斜率为，故过与直线l平行的直线方程是，化简得正确，所以D正确；故选：BCD．10．若数列满足，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理､准晶体结构，化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据斐波那契数列的定义计算，判断A，由递推公式判断BCD．【详解】由题意，A正确；,B正确；，又，所以，C正确；，D错．故选：ABC．【点睛】关键点点睛：本题考查数列的递推公式，解题关键是利用递推公式求数列的项，对数列的项进行变形．如BD在变形以最后一项时要注意是哪一项．11．在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根据椭圆的定义结合已知条件求出，再根据椭圆的几何性质即可解出.【详解】由椭圆定义，，由椭圆的几何性质，，又e<1，∴.故选：AB.12．在直四棱柱中中，底面为菱形，为中点，点满足.下列结论正确的是（

）A．若，则四面体的体积为定值B．若平面，则的最小值为C．若的外心为，则为定值2D．若，则点的轨迹长度为【答案】ABD【分析】对于A，取的中点分别为，由条件确定的轨迹，结合锥体体积公式判断A，对于B，由条件确定的轨迹为，将原问题转化为平面上两点间的距离最小问题求解；对于C，由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断，对于D，由条件确定点的轨迹为圆弧，利用弧长公式求轨迹长度即可判断.【详解】对于A，取的中点分别为，连接，则，，，因为，，所以，，所以三点共线，所以点在，因为，，所以,平面，平面，所以∥平面，所以点到平面的距离为定值，因为的面积为定值，所以四面体的体积为定值，所以A正确，对于B，因为，因为平面，平面，所以∥平面，又平面，，平面，所以平面平面，取的中点，连接，则，，所以，所以四点共面，所以平面平面，平面平面,平面平面,所以，又，所以，所以点的轨迹为线段，翻折平面，使其与五边形在同一平面，如图，则，当且仅当三点共线时等号成立，所以的最小值为，因为，所以，，所以，在中，，，所以，所以，所以，在中，，，，所以，所以，即的最小值为，所以B正确，对于C，若的外心为，过作于，因为，所以，所以C错误，对于D，过作，垂足为，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，又在中，，所以，，在中，，，，所以，则在以为圆心，2为半径的圆上运动，在上取点，使得，则，所以点的轨迹为圆弧，因为，所以，则圆弧等于，所以D正确，故选：ABD.【点睛】本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题.三、填空题13．已知空间三点，，在一条直线上，则实数的值是___________【答案】【分析】先计算、的坐标，利用空间向量共线定理即可求解.【详解】因为，，，所以，，因为空间三点，，在一条直线上，所以，即解得，所以实数的值是，故答案为：.14．如图，是可导函数,直线l是曲线在处的切线，令，则___________.【答案】【分析】根据导数的几何意义，结合函数图像，确定的值，根据，对求导，即可求解.【详解】由图像可知，，切线过、，，求导故答案为：【点睛】导数的几何意义：函数在某一点处的导数等于在这一点处的切线的斜率.15．椭圆的右顶点为，经过原点的直线交椭圆于、两点，若，，则椭圆的离心率为________.【答案】【分析】设点在第一象限，由对称性可得，推导出，，由此能求出椭圆的离心率．【详解】解：不妨设点在第一象限，由对称性可得，，在中，，，，代入椭圆方程得：，，整理得，离心率．故答案为：．【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用，属于中档题．四、双空题16．对于正整数n，设是关于x的方程：的实根，记，其中表示不超过x的最大整数，则______；若，为的前n项和，则______．【答案】

1

506【分析】当时，化简方程，通过构造函数的方法，找到函数零点的范围，进而可求得，令，化简方程，通过构造函数的方法，找到函数零点的范围，即得的范围，分类讨论为奇数和偶数时的，从而可得出答案.【详解】解：当时，，即，令，因为函数在上都是增函数，所以函数在上都是增函数，又，，所以函数在存在唯一零点，即，则，所以，方程，即为，即为，令，则，则有，令，则函数在上递增，因为，，所以，使得，当时，，则，当时，，则，当时，，所以.故答案为：1；506.【点睛】本题考查了方程的根与函数的零点的问题，考查了数列新定义及数列求和的问题，综合性很强，对逻辑推理能力和数据分析能力要求很高，考查了分类讨论思想，难度很大.五、解答题17．已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，求的取值范围．【答案】【分析】由题，，求出，结合均值不等式讨论的值域，即可求得的范围，即可进一步求得的取值范围【详解】函数的导数为．因为，所以，所以，即；因为，所以，即．18．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，且实数，满足，求的最小值.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）先将函数解析式化为，分别讨论，，三种情况，即可得出结果；（2）先由（1）得到，得出3a−4b−5=0，根据的几何意义，即可求出结果.【详解】本题考查绝对值不等式的解法和点到直线的距离公式，考查分类讨论思想和转化思想.（1）.由，可得，或，或，解得或或.所以不等式的解集为或（2）由（1）易求得，即.所以，即.表示点与点的距离的平方.又点在直线上.因为点到直线的距离，所以的最小值为.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和点到直线的距离公式，考查分类讨论思想和转化思想,属于中档题.19．如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点．（1）求证：直线BA1平面（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出向量的坐标和平面的一个法向量，由数量积为零即可证明结论；（2）首先求得平面ADC1与平面ABA1的法向量，利用法向量的夹角求得二面角．【详解】（1）依题意得，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0，2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4),设平面ADC1的法向量为，因为＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，所以·＝0，·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量,因为，且平面所以∥；（2）取平面ABA1的一个法向量为，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为，由|cosθ|＝＝＝，因此平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算；(2)设分别为平面，的法向量，则二面角与互补或相等，求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺锈最简单的四个图案，这些图案都是由小正方向构成，小正方形数越多刺锈越漂亮，向按同样的规律刺锈（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形(1)求的值(2)求出的表达式(3)求证：当时，【答案】(1)61；(2)；(3)见解析【分析】（1）根据列举法找规律，得到的值；（2）同样根据列举法找规律，根据累加法得到的表达式；（3）根据（2）的结果，代入可得，利用累加法求和，再根据数列的单调性证明不等式.【详解】（1），，，，，.（2）∵，，，，由上式规律得出．（3）证明：当时，，∴.∵，∴命题成立.21．已知椭圆的左右焦点分别为，双曲线与共焦点，点在双曲线上．（1）求双曲线的方程：（2）已知点P在双曲线上，且，求的面积．【答案】（1）；（2）【解析】（1）首先求焦点坐标，再利用双曲线的定义，求双曲线方程；（2）结合余弦定理和双曲线的定义，求.【详解】（1）由椭圆方程可