2022-2023学年山东省聊城市莘县高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省聊城市莘县高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，，则集合的子集个数为（

）A．7 B．8 C．15 D．32【答案】B【分析】先求出集合中元素范围，然后求得交集，根据交集中元素个数可得子集个数.【详解】，，故.集合的子集个数为故选：B.2．设：，：关于的方程有1个实数解，则是的（

）A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据含参一元方程的根的个数求解的值，即可判断.【详解】q：关于的方程有1个实数解，则当时，方程为，解为符合题意；当时，若方程有1个实数解，则，即；所以：或又“”是“或”的充分且不必要条件，所以是的充分且不必要条件.故选：A.3．《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长60步，直径32步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（

）A． B． C． D．120【答案】A【分析】根据扇形面积公式得到面积为步，设出扇形圆心角，根据求出扇形圆心角.【详解】因为直径步，故半径为步，（平方步），设扇形的圆心角为，则，即．故选：.4．在中，已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由求出，而，可求值.【详解】中，由，有，∵，∴或，当时，由，解得，.当时，，与矛盾，此时无解.所以.故选：A5．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据指数函数性质可判断b的范围，利用三角函数诱导公式求得c,并利用对数函数的性质比较的大小，即得答案.【详解】因为，所以,故选：B.6．已知，，则函数的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据给定条件，分析函数性质，再判断函数图象经过的象限作答.【详解】，，函数的定义域为，而在上递增，又在上递增，因此在上递增，当时，有，，函数的图象在第三象限，当时，有，，函数的图象在第二象限，当时，有，，函数的图象在第一象限，所以函数的图象不经过第四象限.故选：D7．关于函数，下列说法正确的是（

）A．在区间上单调递增B．的图像关于直线对称C．的图像关于点对称D．的解析式可改写成【答案】B【分析】根据三角函数的性质逐项分析即可.【详解】对于A，由，可得，又由于在上不单调，从而可得在区间上也不单调，故A错误；对于B，因为，取最小值，所以得的图像关于直线对称，故B正确；对于C，由，即，不存在使得，故C错误，对于D，由，故D错误.故选：B.8．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论错误的为（

）A．是偶函数 B．C．的图象关于对称 D．【答案】D【分析】由已知奇偶性得出函数的图象关于点对称且关于直线对称，再得出函数的单调性，然后由对称性变形判断ABC，结合单调性判断D．【详解】为奇函数，为偶函数，的图象关于点对称且关于直线对称，，，，，所以是周期函数，4是它的一个周期．，，B正确；，是偶函数，A正确；因此的图象也关于点对称，C正确；对任意的，且，都有，即时，，所以在是单调递增，，，，，∴，D错．故选：D．【点睛】结论点睛：（1）的图象关于点对称，也关于点对称，则是周期函数，是的一个周期；（2）的图象关于直线对称，也关于直线对称，则是周期函数，是的一个周期；（1）的图象关于点对称，也关于直线对称，则是周期函数，是的一个周期．二、多选题9．下列函数中，能用二分法求函数零点的有（

）．A．B．C．D．【答案】ACD【分析】根据函数的单调性以及函数零点两侧函数值是否异号即可判断.【详解】ACD选项，在定义域内都是连续且单调递增，能用二分法求函数零点，B选项，，，当时，，当时，，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，故选：ACD．10．在平面直角坐标系中，角的始边为的正半轴，终边经过点，则下列式子正确的是（

）A． B．C． D．若为钝角，则【答案】CD【分析】根据终边上的点求出三角函数值进行计算，诱导公式，余弦函数在第二象限单调递减即可解决.【详解】解：因为角终边经过点，则对于：，故错误；对于：，故错误；对于：，故正确；对于：因为当，单调递减，而，即，所以，故正确.故选：CD.11．已知实数满足且，则下列结论正确的有（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】A，C选项利用基本不等式进行比较，B选项利用基本不等式中的妙用处理，D选项利用作差法结合基本不等式处理.【详解】∵且，由基本不等式，∴，故A正确；，当且仅当即，时等号成立，故B正确；，故C错误；∵，∴，∴，故D错误.故选：AB12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．在上是增函数 D．的值域是【答案】BC【解析】计算得出判断选项A不正确；用函数的奇偶性定义，可证是奇函数，选项B正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出在R上是增函数，判断选项C正确；由的范围，利用不等式的关系，可求出，选项D不正确，即可求得结果.【详解】根据题意知，.∵，，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；，∴是奇函数，B正确；在R上是增函数，由复合函数的单调性知在R上是增函数，C正确；，，，，，D错误.故选：BC.【点睛】关键点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数，然后才会对函数变形，并作出判断.三、填空题13．计算的值为______．【答案】【分析】直接根据指数对数的运算计算即可.【详解】故答案为：.14．已知函数的值域是R，则实数的最大值是______．【答案】【分析】根据条件可得在上的最小值小于或等于，判断其单调性列出不等式得出的范围．【详解】当时，．因为的值域为，则当时，．当时，，故在上单调递增，，即，解得，即的最大值为．故答案为：．15．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依据《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数，应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除．其中，基本减除费用为每年元，税率与速算扣除数见下表：级数全年应纳税所得额所在区间税率（%）速算扣除数123…………李华全年综合所得收入额为元，假定缴纳的专项扣除基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是，专项附加扣除是元，依法确定其他扣除是元，则他全年应缴纳的综合所得个税是______元．【答案】【分析】先根据题意求出专项扣除总额，再根据应纳税所得额公式求出应纳税所得额，再根据个税税额公式求出个税税额即可.【详解】由题意得，专项扣除总额为：元，应纳税所得额为：元，个税税额为：元，故答案为：.16．已知函数，若存在四个不同的实数，，，满足，且，则__．【答案】【解析】设，作出函数的图象以及，根据对称性，数形结合即可求解.【详解】作出函数的图象如图，当时，对称轴为所以，当时，，令，解得，所以时对称轴为，此时，设，若存在四个不同的实数，，，满足，则，由图可知，关于直线对称，，关于直线对称，所以，，则．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是作出函数图象，方程的根即是函数图象与轴交点横坐标当时图象关于直线对称，当时，图象关于直线关于直线对称，所以四个交点两两关于对称轴对称.四、解答题17．已知函数．(1)完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出在上的简图；0(2)求不等式在全体实数上的解集．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）将的值代入原函数求出即可完成表格，然后直角坐标系中描出表格中的5个点，用平滑的曲线连起来即可得到图像；（2）直接利用余弦函数的性质解不等式即可.【详解】（1）表格如下：0用五点法在直角坐标系中画出在上的简图如下（2）由已知，得得，即不等式在全体实数上的解集为18．已知函数，(1)若，恒成立，求实数的取值范围；(2)若函数在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，直接验证；当，利用二次函数的性质列不等式求解；（2）当时，求出，直接验证根所在范围；当时，利用二次函数的性质列不等式求解，然后单独验证有一个零点为或时，另一个零点所在范围.【详解】（1）当时，，，则不恒成立；当时，对，恒成立，则解得，综合得若，恒成立，实数的取值范围是；（2）若函数在区间内恰有一个零点，当，即时，，零点为，符合；当，即时，，解得；又令，得，此时方程另一根为，符合；令，得，此时方程另一根为，符合；综上所述：若函数在区间内恰有一个零点，实数的取值范围是19．已知函数，．(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；(2)求方程在区间上有解，求的范围，并求出取得最小值时的值．【答案】(1)；(2)，【分析】（1）利用周期公式直接求周期，令可求单调递减区间；（2）利用余弦函数的性质求出在的值域，进而可得的范围，然后可求出取得最小值时的值.【详解】（1）由已知函数的最小正周期，令，得，即函数的单调递减区间为；（2）当时，，，即，又方程在区间上有解，，当取得最小值时，，得.即当时，取得最小值.20．设函数（且）．(1)若，试判断函数的单调性，并加以证明；(2)若已知，且函数在区间上的最小值为，求实数的值．（提示：）【答案】(1)单调递增，证明见解析；(2).【分析】（1）根据给定条件，判断单调性，再利用单调性定义按步骤推理证明作答.（2）根据给定条件，求出a值，再结合换元法及二次函数在指定区间上的最值，求解作答.【详解】（1）当时，函数在R上单调递增，，，因为函数在R上单调递增，又，则，即，而，因此，即，所以函数在R上单调递增.（2）依题意，，而且，解得，即，则，，令，由（1）知，在上单调递增，因此，依题意，函数在上的最小值为，而函数图象的对称轴为，当时，，由解得，不符合题意，当时，函数在上单调递增，，由解得，而，所以实数的值为.21．新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病，面对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位．明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战．疫情爆发后，造成全球医用病毒检测设备短缺，盐城某企业计划引进医用病毒检测设备的生产线，生产这种设备的年固定成本为2500万元，每生产百台，需另投入生产成本万元，当年产量不足35百台时，；当年产量不小于35百台时，；该设备年产量最多不超过60百台，若每台设备售价6万元，通过市场分析，该企业生产的产品能全部销售完．(1)求该企业年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式（利润=销售额-成本）；(2)该企业年产量为多少百台时，所获利润最大？并求出最大利润．【答案】(1)；(2)25百台，最大利润万元.【分析】（1）根据给定条件，分段求出函数解析式即可作答.（2）利用（1）中解析式，分段求出最大值，再比较大小作答.【详解】（1）依题意，成本为万元，销售额为万元，当时，，当时，，所以所求函数关系式为.（2）由（1）知，当时，，当时，取得最大值，万元，当时，，当且仅当，即时取等号，而，即当时，，所以该企业年产量为25百台时，所获利润最大，最大利润万元.22．已知函数对任意实数，恒有，当时，，且(1)求的值，并用定义判断的奇偶性；(2)判断的单调性并求函数在区间上的值域；(3)若，，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，为奇函数(2)函数为上的减函数，证明见解析；函数在区间上的值域为(3)实数的取值范围为【分析】（1）令，再令，即可判断奇偶性；（2）设，，且，结合条件用单调性的定义证明函数为上的减函数，于是可得在区间上的单调性，从而确定值域；（3）根据函数，，恒成立，令，，则