量子力学期中考试考试

量子力学期中考试试题物理常数：光速：

2.998

m

；普朗克常数：

h

；玻尔兹曼常数：k1.381B

J/子质量m

原子质量m

；电子电荷：

e1.602

一、填空题：、量力学的基本征是、波数的性质是

。。、1924年，布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量

的自由粒子足布洛意关系；假电子由静止被150电压加速，求加速后电子的的物质波波长：（留有效数字宏物体而言，其对的德布洛意波波长极短，所以宏观物体的波动性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺下的大分子）在低温下会显示出波动性。计算1时C团簇（由60个C原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长：_______________保留位有效数字一粒子波函数

,)

描写则在某个区域

dV

内找到粒子的几率为。、线性谐振子的零点能为。、厄密算符的本征值必为。、氢原子能级

n

的简并度为。、完全确定三维空间的自由粒子状态需要三个力学量，它们是。、测不准关系反映了微观粒子的。10.11.通常把

等人的实验验证了德布罗意波的存在。称为束缚态。12.波数足的三个基本条件是：。13.一维线性谐振子的本能量与相应的本征函数分别为：．两力学量对易的说明：。15.坐与量的不确定关系是：。16.氢子本征函数一般可以写为：。17.何定：。束态、非束缚态及相应能级的特点。简、简并度。用坐标表示，粒子波函数表为

，写出粒子在立体角中测的几率。用坐标表示，粒子波函数表为，出粒子在球壳一子的波函数x写一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。写三维无限深势阱

rdr间的几率。

中被测到的几率。x,0yV,y,)其区域中粒子的能级和波函数。/

yxyzLLsyxyzLLsH(x)(x一量为

的粒子在一维无限深方势阱

V(x

xxxa中运动，写出其状态波函数和能级表达式。j（,）何几率流密度？写出几率流密度的表达式。10.写在z表象中的泡利矩阵。11.电子自假设的两个要点。12.

（L

2

,Lz

的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？13.写电自旋z的二本征态和本征值。,pzL,L14.给如对易关系：xyy16.完描电子运动的旋量波函数为

,/2)r,s)/2)

，准确叙述

(r/2)

及

3r(r,/

2

分别表示什么样的物理意义。18.何正塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？21.使定微扰论时，对哈密顿量有什么样的要求？22.写非并态微扰论的波函数（一级近似）和能量（二级近似）计算公式。23.量力中，体系的任意态

可用一组力学量完全集的共同本征态

展开：)

xn

，写出展开式系数

的表达式。pH()24.一运中，哈密顿量，

H

H25.什是布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。26.什样状态是定态，其性质是什么？27.简测准关系的主要内容，并写出坐标和动量

之间的测不准关系。28.厄算的本征值和本征矢有什么特点？29.全玻子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。二、计算题：、利用玻尔—索末菲量子化条件，求：（1一维谐振子的能量。（2在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。已知外磁场

B

玻尔磁子

0.923

J

求动能的量子化间隔

并与

T及

的热运动能量相比较。证明在定态中，几率流与时间无关。x一子在一维势场U()0

中运动，

，xa/

122110211ˆˆABABˆˆˆˆˆt02110311021tˆˆLˆ122110211ˆˆABABˆˆˆˆˆt02110311021tˆˆLˆ（2若已知

t

时，该粒子状态为：x)

，求

时刻该粒子的波函数；（3求

时刻测量到粒子的能量分别为

1

和

2

的几率是多少？（4求t时刻粒子的平均能量E和平均位置x。一刚性子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是

H

LI

，L为动量，与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：(1)转绕一固定轴转动：(2)转绕一固定点转动：设t=0时粒子的状态为

)A2cos]2求此时粒子的平均动量和平均动能。在维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，果粒子的状态由波函数

(x)(x)描写，A归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。设原子处于状态(r,

13R(r(,R(r()22求氢原子能量动平方及角动量Z量的可能值些能值出现的几率和这力学量的平均值。（一）已知厄密算符，足

ˆ2ˆ

2

，且

A

，求、在A象中算符、的阵表示；、在象中算符

的本征值和本征函数；、从A象到B表的幺正变换阵。（二）设原子在时于状态11r,0)R(rR(r)Y(r(2

，求、时原子的

E

、

L2

和的值几率和平均值；、t0体系的波函数，并给出此时体系的、2和L的取值几率和平均值。（六为小量时，利用微扰论求矩阵

2

20333

的本征值至

的二次项，本征矢至的一次项。/

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆe（十表中，求自旋算符c